1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (2 poeng)
Løs likningssettet
Oppgave 2 (1 poeng)
Løs likningen
Oppgave 3 (2 poeng)
Regn ut og skriv svaret på standardform
Oppgave 4 (1 poeng)
Vis at
Oppgave 5 (2 poeng)
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
Oppgave 6 (3 poeng)
a) Vis atb) Løs likningen
Oppgave 7 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 8 (3 poeng)
Funksjonener gitt vedFor hvilke verdier av har grafen til
- ingen skjæringspunkter med x-aksen
- ett skjæringspunkt med x-aksen
- to skjæringspunkter med x-aksen
Oppgave 9 (3 poeng)
a) Vis atb) Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 10 (4 poeng)
En funksjon er gitt ved
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til i intervallet .
b) Bestem likningen for tangenten til grafen til i punktet .
Oppgave 11 (3 poeng)
- Terningene viser samme antall øyne.
- Summen av antall øyne er 5 eller mindre.
Oppgave 12 (6 poeng)
I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60° . Høyden på en av sidene halverer denne siden.
Høyden deler den likesidete trekanten i to likestore rettvinklete trekanter.
I denne rettvinklete trekanten er vinklene 30° , 60° og 90° . I tillegg er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.
Denne sammenhengen kalles 30° , 60° og 90° - setningen. Ovenfor ser du to avsnitt fra en lærebok for 10. klasse. a) Vis at b) Bruk til å vise at .
Oppgave 13 (4 poeng)
Fire andregradsfunksjoner p , q , r og s er gitt ved
Oppgave 1 (6 poeng)
a) Legg opplysningene i tabellen ovenfor inn som punkter i et koordinatsystem der x-aksen viser antall år etter 1970 og y-aksen viser pris (kroner).
Funksjonen f er gitt vedb) Tegn grafen til i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave a).
I resten av denne oppgaven skal du bruke funksjonen som en modell som viser prisen kroner for en kroneis år etter 1970.c) Når var prisen for en kroneis 16 kroner, ifølge modellen?
d) Hvor mye har prisen for en kroneis i gjennomsnitt steget med per år fra 1975 til 2015?
Oppgave 2 (4 poeng)
Ved en videregående skole er det 640 elever. I en undersøkelse ble elevene spurt om når de legger seg kvelden før en skoledag.- av elevene svarte at de legger seg før klokka 23.
- av elevene som legger seg før klokka 23, har et karaktersnitt over fire
- av elevene som legger seg etter klokka 23, har et karaktersnitt over fire
a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
Tenk deg at vi trekker ut en elev ved skolen tilfeldig.b) Bestem sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire.
Tenk deg at den eleven vi trakk i oppgave b), har et karaktersnitt over fire.c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka 23 kvelden før en skoledag.
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave 4 (6 poeng)
- 1)
- 2)
a) Vis at Maria har rett
For å bestemme arealet av vil Maria regne slik:b) Bruk blant annet resultatet fra oppgave a), og vis at dette uttrykket for arealet kan skrives som
Mats bruker arealsetningen og får at arealet av trekanten også kan skrives slik:c) Bruk dette uttrykket og uttrykket du har for arealet fra oppgave b), til å vise at
Oppgave 5 (6 poeng)
En funksjon f er gitt veda) Vis at tangeten til grafen til i punktet er parallell med linjen som går gjennom punktet og .
Nedenfor ser du grafen til en funksjon gitt ved
b) Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til g i punktet
c) Vis at linjen gjennom punktene P(p,g(p)) og Q(q,g(q)) er parallell med tangenten i oppgave b).
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi regne ut gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart knyttet til en funksjon og en graf, og vi skal prøve å merke oss noen viktige forskjeller mellom begrepet gjennomsnittlig vekstfart og begrepet momentan vekstfart. Stikkordet til det handler litt om er tangent og sekant.
klikk her for 10 sekunders quiz
Vi skal komme tilbake til det. Vi har allerede gjort litt, skrevet en del på tavla. Som du ser, vi har tegnet grafen til x i andre, f av x er lik x opphøyd i to. Jeg kan kanskje skrive det opp, at det er det vi har gjort.
Og den grafen er den svarte kurven. Den har flere ting.
Det ene er at vi har en blå strek som kanskje ikke er så veldig lett å se. Det er en sekant, og så har vi tegnet en tangent i punktet x er lik en, f av en. Det er den røde streken.
Gjennomsnittlig vekstfart, da må vi jo snakke om gjennomsnittet mellom to, mellom to tider eller mellom to x-verdier. Og her skal vi regne ut mellom x er lik en og x er lik to.
Og da er det jo slik at da ser vi her er grafen når x er en her nede, og så går jo grafen oppover da, og når x er blitt to så er y-verdien blitt fire, og det betyr at den endringen, vekstfarten om vi vil, er da delta y på delta x. Delta y det er da y-verdien der oppe, fire, minus y-verdien der nede, en, delt på x-verdien der oppe som er to, minus x-verdien der nede som er en. Og da ser vi at dette blir tre delt på en, som er tre.
Så den gjennomsnittlige vekstfarten, og det tilsvarer stigningstallet til den, unnskyld, til den blå rette streken fra det punktet her og til det punktet der. La oss si at det punktet her heter A da, og så heter det punktet der B.
Så det er den gjennomsnittlige vekstfarten.
Og her ser vi da delta y som var tre, og der ser vi delta x som var to minus en som er en. X har økt med en, mens y økte med tre.
Så har vi et spørsmål om å finne momentan vekstfart i x er lik en. Jeg har juksa litt. Se nå. Det er altså stigningstallet til tangenten, fordi det bør vi merke oss: momentan vekstfart er det samme som stigningstallet til tangenten, og tangenten den er den røde streken som akkurat toucher.
Grafen bare i ett punkt. Legg merke til at sekanten den hadde jo to steder hvor den krysset grafen på en måte. Tangenten den bare toucher i det ene punktet, så tangenten til grafen i x er lik en.
Grafen i x er lik en.
Men vi kan jo fortsatt se at den tangenten treffer her nede på null minus en, og så kan du lure på hvorfor vet jeg at det var der den traff.
Det er kanskje fordi jeg har jukset og tegnet denne funksjonen på GeoGebra, og også bedt om å tegne tangent, eller at jeg er veldig god til å tegne tangent fordi jeg har gjort det mange ganger før. Men det er faktisk en riktig tangent.
Hvis man skal bare ha en graf og skal tegne selv, så hender det man bruker øyemål, og da er det ikke sikkert man får akkurat den perfekte verdien, sånn som jeg faktisk har gjort nå.
Men da ser vi at vi har et punkt, tangenten er der. Men den er også her nede, det punktet er vi ikke på grafen, men det er fortsatt et punkt som heter null minus en, for det er kun punkt en en hvor den toucher grafen.
Og da blir delta y på delta x, det blir da en der oppe.
Minus y-verdien der nede som er minus en, delt på x-verdien en der oppe minus null som er x-verdien der, og da ser vi det blir to delt på en, som er to.
Så stigningstallet i tangenten er to, mot stigningstallet til sekanten, gjennomsnittlig vekstfart mellom A og B, som var tre. Og vi ser at sekanten er litt brattere, så det gir jo mening at tallet er tre.
Litt større enn tallet to, som var den momentane vekstfarten da.
Moralen med dette er egentlig bare å prøve å se for seg gjennomsnittlig vekstfart. Da snakker vi om to punkter, og da får vi en sånn linje som kalles en sekant. Stigningstallet til den er delta y på delta x, det er det alltid på en måte.
Men hva de verdiene er, det kommer jo an på hva linja er på en måte. Momentan vekstfart.
Stigningstallet til tangenten, og den var den vi fant her nede.
Funksjonen f er gitt ved
- a) Bestem den momentane vekstfarten til f når .
- b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet
Riktig svar!
f^{\'}\left( x \right)=3x^{2}-10x+3
f^{\'}\left( 2 \right)=3\cdot4-10\cdot2+3=-5
Riktig svar!
Den lineære går da bare gjennom det ene punktet.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem nullpunktene til f.
b) Vis at grafen til f har bunnpunktet
c) Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet (2, (f2)).
En rett linje l går gjennom punktet (3, 7) og er parallell med tangenten i oppgave c).
d) Bestem skjæringspunktene mellom linjen l og grafen til f ved regning.
e) Tegn grafen til f , tangenten i oppgave c) og den rette linjen i oppgave d) i samme koordinatsystem.
Riktig svar!
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem nullpunktene til f ved regning.
b) Grafen til f har en tangent med stigningstall 2. Bestem likningen til denne tangenten.
c) Tegn grafen til f sammen med tangenten fra oppgave b).
Riktig svar!
Tangeringspunkt. ( 0 , f(0) ) som er (0, -3)
Likning for tangenten:
Den siste utregningen kunne vi sløyfet i dette tilfellet, siden vi vet at tangeringen skjer på y aksen (x = 0).
Grete observerer en bakteriekultur. Funksjonen B gitt ved
viser antall bakterier B(x) i bakteriekulturen x timer etter at hun startet observasjonene.
a) Tegn grafen til B for
b) Bestem toppunktet på grafen og skjæringspunktene mellom grafen og aksene.
c) Hva forteller svarene i oppgave b) om bakteriekulturen?
d) Bestem den momentane vekstfarten til bakteriekulturen etter 40 timer.
Den momentane veksten i time 40 er det samme som f\'(40):
f\' (x)= -0,4x^3+ 16,5x^2-300x+5500
f\' (40) = -0,4 \cdot 40^3+16,5 \cdot 40^2 -300 \cdot 40 + 5500
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem nullpunktene til f ved regning.
b) Grafen til f har en tangent med stigningstall 2. Bestem likningen til denne tangenten.
c) Tegn grafen til f sammen med tangenten fra oppgave b).
Dette er del en, så du må tegne for hånd. Lag verditabell. Du må også markere hva som er x-akse og y-akse.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.