1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på funksjonene cosinus x og sinus x. Vi har definert sinus og cosinus i en vinkel ved hjelp av enhetssirkelen. Det er nå den generelle definisjonen. Da er det en der og en der og minus en der og mindre [..].
klikk her for 10 sekunders quiz
Da er det skjæringspunktet mellom den andre vinkelen som definerer cosinus og sinus.
Men da ser vi at det skjæringspunktet der oppstår ikke bare ved regningen ved akkurat det samme skjæringspunktet mellom vinkelbeinet og enhetssirkelen. Det oppstår hvis vi tar en runde til og kommer til samme sted, eller enda en runde, eller hvis vi går andre veien for den saks skyld. Det betyr at cosinus, som er den første koordinaten der oppe, får vi akkurat samme koordinat hver gang vi plusser på et helt tall ganger trehundre og seksti grader. Det er det som står her: cosinus til v pluss k ganger trehundre og seksti er det samme som cosinus v, der k er et helt tall.
Og da betyr det at ting gjentar seg. Verdiene gjentar seg for hver trehundre og seksti grad, og da blir det perioden til funksjonen, sier vi, da perioden.
[..] Vi skal nå prøve å skissere den grafen vi får til funksjonen cosinus x.
Og da bruker vi [..] til å legge inn noen punkter. Så kan man tenke seg at man kan bruke kalkulator eller et annet digitalt verktøy for den saks skyld til å finne flere verdier hvis man ønsker det. Så nå gjør vi bare en kjapp skisse. Cosinus. Nå har jeg tenkt å starte på null og så gå helt opp til syvhundre og tjue grader.
Null grader [..] cosinus er første koordinaten til det punktet der borte. Og det er jo en, så cosinus starter der.
Så går vi rett opp til nitti grader, sånn. Hva er cosinusverdien da? Det står en der, men det er jo y-verdien, så det er jo sinus som er en der oppe. For den første koordinaten i det punktet er jo null, så da har vi allerede ramlet ned til null.
Og så dreier vi nitti grader til. Da kommer vi til etthundre og åtti, og da er x-verdien minus en, så da har vi plutselig havnet nedi her.
Og hvis vi nå går enda nitti grader så kommer vi til tohundre og sytti grader, og da er jo y-verdien minus en, men vi er ikke opptatt av [..] Vi er opptatt av den første koordinaten, eller x-verdien. X-verdien her nede er null, så da er den opp igjen på null. Og på trehundre og seksti er vi jo tilbake dit hvor verdien var en. Da har vi nemlig gått hele runden. Så da, og hvordan ser grafen ut nå? Nå kunne man tenke seg bare dra noen slike rette streker, men hvis vi hadde tatt oss bryet med å tatt med flere punkter, eller fått hjelp av [..] til å tegne grafen, eller et annet verktøy da.
Så hadde man sett at funksjonen hadde gått litt sånn mykt.
Sånn som det der.
Men så er det jo periodisk, og så skjer akkurat det samme på de neste trehundre og seksti gradene, fordi da er det jo akkurat de samme punktene på nytt som definerer alt sammen.
Skjæringspunktet mellom vinkelen.
Og igjen. Og da får vi en sånn vakker kurve [..] som egentlig ligger og oscillerer, for å bruke et fint ord, svinger mellom minus en og en.
Og den funksjonen blir så.
Harmonisk at cosinusfunksjonen faktisk kalles en harmonisk funksjon, men det trenger ikke du vite for så vidt. Det er en veldig pen kurve, og den blir du kjent med når du går på [..].
Da skal vi se på sinusfunksjonen. Og da har vi faktisk noe av det samme, fordi sinus er jo den andre koordinaten til skjæringspunktet mellom vinkelen og [..].
Eventuelt, og det er klart at det punktet gjentar seg, det sa vi. Hvis vi dreier en runde til, så kommer vi på akkurat samme sted, så sinusverdien vil også [..].
Bli den samme når du plusser på trehundre og seksti grader. Så sinus til vinkelen pluss et helt tall ganger trehundre og seksti grader er fortsatt lik sinus.
Eller er det samme som sinus bare til vinkelen. Perioden trehundre og seksti grader gjelder også for sinus. Og så har vi et koordinatsystem her nede hvor vi har tenkt å plotte sinusfunksjonen. Da gjør vi akkurat samme leken at vi begynner på null grader, som er der.
Sinusverdien, husk at det er y-verdien, den blir startet på null. Så da er vi her.
Og så går vi til nitti grader. Dreier nitti grader opp, sånn. Sinus er y-verdien, og den er jo en der oppe, så den funksjonen her er kommet opp sånn. Og så fortsetter vi å dreie ned igjen dit da har vi vinkel på etthundre og åtti grader. Da står det minus en der, men husk at det er x-verdien, y-verdien er null.
Så går vi der.
Og så drar vi videre.
Sånn at du kommer ned på en vinkel på tohundre og sytti grader, da er y-verdien minus en.
Som er [..]. Og så har vi gått en hel runde, sånn trehundre og seksti grader. Da er vi tilbake der vi startet. Y-verdien er null.
Og så, og så kan vi tegne.
Tilsvarende kunne vi tenkt oss at vi hadde tatt med flere punkter underveis. Vi kunne for eksempel lagt inn tretti grader, eller førtifem, eller seksti. Det gjorde vi ikke. Men da hadde grafen, hvis vi hadde tatt med masse punkter, [..].
Eller hvis vi får hjelp av data eller [..], så viser det seg at det også blir en slik harmonisk funksjon.
Harmonisk graf.
Bare at den starter et annet sted. Den begynner på null mens cosinusfunksjonen startet på en.
Egentlig akkurat lik form på de to kurvene, og fordi perioden er trehundre og seksti grader, så gjentar alt seg, og da får vi et nytt slikt bilde.
På den neste [..]. Det er ikke noe sånn at hvorfor stoppet jeg på syvhundre og tjue grader. Det var ikke noen spesiell grunn til det. Jeg kunne godt tegnet et større område enn det.
Men det var liksom bare for å illustrere, for det vil jo fortsette i det uendelige på den måten. Og det samme gjelder her borte. Vi kunne jo tatt med negative vinkler også, og grafene hadde bare fortsatt å sett akkurat maken ut.
- og for hvilke x-verdier inntreffer dissse y-verdiene?
Riktig svar!
I noen verdier så er de like: 45 grader og 315 grader.
Riktig svar!
Der hvor både cosinus og sinus er samme absoluttverdi , men med motsatt fortegn, vil tangens være likt.
Gitt funksjonen . Amplituden er
Riktig svar!
Siden sin(3x) kan gå mellom 1 og -1, ganget med 2 blir det fra 2 til - 2, og amplituden blir da 2.
Gitt funksjonen . Likevektslinja er
Riktig svar!
Likevekstlinja er leddet som er plusset på utenfor sinus.
Riktig svar!
Siden økningen i x som trengs for å få en endring på 2 pi er mindre når det er 3x enn når det er 2x.
Riktig svar!
Siden g får sin-verdiene som f har litt senere enn f gjøre.
Gitt funksjonen . Perioden er
Riktig svar!
Fordi når x endrer seg så mye vil 3x ha endret seg 2 pi.
Riktig svar!
Sinus går mellom 1 og -1. Sinusleddet er ganget med 3 så det går da fra 3 til -3, men siden man plusser på 1 går funksjonen fra 4 til -2.
En funksjon f er gitt ved
Grafen til funksjonen har et toppunkt i (0,7). Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunltet er (2,3).
-
a) Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives
-
b) Lag en skisse av grafen til f for .
.
Hvilket skulle vises.
Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen gitt ved
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene og i modellen .
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
Funksonen er på formen:
Hvor perioden er gitt ved:
Det betyr at det tar 12,5 timer mellom vannstanden er på samme høyde.
Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen gitt ved
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene og i modellen .
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
Løser dette i CAS.
Det betyr at vannstanden øker med 50 cm per time klokken: 02.27, 12.13 og 15.00 den dagen.Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen gitt ved
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene og i modellen .
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
148 forteller oss likevekstlinjen til svingningen. Det vil si at 148 cm er "nullnivået" til vannstanden i Tromsø.
130 forteller amplituden til funksjonen. Praktisk sett så vil det si langt ifra likevekstlinjen, i dette tilfellet 148 cm, vannstanden er på sitt høyeste eller laveste.
En funksjon f er gitt ved
Grafen til funksjonen har et toppunkt i (0,7). Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunltet er (2,3).
-
a) Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives
- b) Lag en skisse av grafen til f for .
London Eye er et pariserhjul med diameter lik . En runde tar . Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger over bakkenivå
Etter t min fra ombordstigning er en passasjer over bakkenivå. Det kan vises at
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til h for . estem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.
b) Bestem vendepunktene på grafen til h.
Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av og gir.
Vi får vendepunkt der funksjonen krysser likevektslinjen. I vårt tilfelle får vi vendepunktene og , se punkt C og D nedenfor.
Vi kunne også finner vendepunktene til h ved å løse likningen h\'\'(t) = 0. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra vil vi kun få løsning ved å bruke kommandoen «løs numerisk».
Vi må da se at grafen til h har perioden
Det betyr at vi får vendepunkt ved .
og viser den største endringshastigheten til pariserhjulet. Etter er hastigheten 14,14 meter/minutt oppover og etter er hastigheten 14,14 meter/minuttet nedover.
London Eye er et pariserhjul med diameter lik . En runde tar . Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger over bakkenivå
Etter t min fra ombordstigning er en passasjer over bakkenivå. Det kan vises at
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til h for . Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.
b) Bestem vendepunktene på grafen til h.
Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av og gir.
Bruker kommandoen «Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» i GeoGebra og tegner grafen i oppgitt intervall.
Vi legger inn linjen i samme koordinatsystem som grafen til h. Ved å bruke verktøyet «skjæring mellom to objekt» finner vi skjæringspunktene A og B, se graf. Vi finner at passasjeren er 50 meter over bakken etter 6 minutt og 6 sekund og etter 23 minutter og 56 sekund.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.