1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (2 poeng)
Løs likningssettet
Oppgave 2 (1 poeng)
Løs likningen
Oppgave 3 (2 poeng)
Regn ut og skriv svaret på standardform
Oppgave 4 (1 poeng)
Vis at
Oppgave 5 (2 poeng)
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
Oppgave 6 (3 poeng)
a) Vis atb) Løs likningen
Oppgave 7 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 8 (3 poeng)
Funksjonener gitt vedFor hvilke verdier av har grafen til
- ingen skjæringspunkter med x-aksen
- ett skjæringspunkt med x-aksen
- to skjæringspunkter med x-aksen
Oppgave 9 (3 poeng)
a) Vis atb) Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 10 (4 poeng)
En funksjon er gitt ved
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til i intervallet .
b) Bestem likningen for tangenten til grafen til i punktet .
Oppgave 11 (3 poeng)
- Terningene viser samme antall øyne.
- Summen av antall øyne er 5 eller mindre.
Oppgave 12 (6 poeng)
I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60° . Høyden på en av sidene halverer denne siden.
Høyden deler den likesidete trekanten i to likestore rettvinklete trekanter.
I denne rettvinklete trekanten er vinklene 30° , 60° og 90° . I tillegg er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.
Denne sammenhengen kalles 30° , 60° og 90° - setningen. Ovenfor ser du to avsnitt fra en lærebok for 10. klasse. a) Vis at b) Bruk til å vise at .
Oppgave 13 (4 poeng)
Fire andregradsfunksjoner p , q , r og s er gitt ved
Oppgave 1 (6 poeng)
a) Legg opplysningene i tabellen ovenfor inn som punkter i et koordinatsystem der x-aksen viser antall år etter 1970 og y-aksen viser pris (kroner).
Funksjonen f er gitt vedb) Tegn grafen til i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave a).
I resten av denne oppgaven skal du bruke funksjonen som en modell som viser prisen kroner for en kroneis år etter 1970.c) Når var prisen for en kroneis 16 kroner, ifølge modellen?
d) Hvor mye har prisen for en kroneis i gjennomsnitt steget med per år fra 1975 til 2015?
Oppgave 2 (4 poeng)
Ved en videregående skole er det 640 elever. I en undersøkelse ble elevene spurt om når de legger seg kvelden før en skoledag.- av elevene svarte at de legger seg før klokka 23.
- av elevene som legger seg før klokka 23, har et karaktersnitt over fire
- av elevene som legger seg etter klokka 23, har et karaktersnitt over fire
a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
Tenk deg at vi trekker ut en elev ved skolen tilfeldig.b) Bestem sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire.
Tenk deg at den eleven vi trakk i oppgave b), har et karaktersnitt over fire.c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka 23 kvelden før en skoledag.
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave 4 (6 poeng)
- 1)
- 2)
a) Vis at Maria har rett
For å bestemme arealet av vil Maria regne slik:b) Bruk blant annet resultatet fra oppgave a), og vis at dette uttrykket for arealet kan skrives som
Mats bruker arealsetningen og får at arealet av trekanten også kan skrives slik:c) Bruk dette uttrykket og uttrykket du har for arealet fra oppgave b), til å vise at
Oppgave 5 (6 poeng)
En funksjon f er gitt veda) Vis at tangeten til grafen til i punktet er parallell med linjen som går gjennom punktet og .
Nedenfor ser du grafen til en funksjon gitt ved
b) Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til g i punktet
c) Vis at linjen gjennom punktene P(p,g(p)) og Q(q,g(q)) er parallell med tangenten i oppgave b).
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på begrepet vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart. Det er viktige begreper, og det kan tenkes at du kanskje må se på flere videoer for å virkelig forstå konseptet helt. I denne videoen skal vi se på to eksempler, og det første vil vi begynne nede på tavla. Her er det en graf som er tegnet, og så skal det stå x bortover der. Den grafen kan vi tenke oss er høyden til en flue over et bord, hvor høyden er i centimeter som funksjon av tiden x i sekunder. Så vi ser at flua til å begynne med har høyde null. Så da er den på bordet kanskje, og så letter den, og da stiger høyden.
klikk her for 10 sekunders quiz
Og så etter hvert så kommer den ganske høyt, og så går den nedover. Hva er det som skjer her? Her er den faktisk under bordet, det går jo også an, så da vil det være negative høyder.
Så det er kun høyden vi ser på i forhold til bordet da.
Det vi skal se på her, eller skal svare på på en måte, er spørsmålet: Hva er gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund mellom x lik én og x lik tre?
Gjennomsnittlig vekstfart kan vi si. Det illustrerer her, jeg har kalt det stigning siden det handler om en flue som stiger.
Og det var snakk om mellom x lik én og x lik tre, så da prøver vi å finne det på grafen. x lik én er der, og da må det svare til det punktet.
Vi finner her oppe, og x lik tre det har vi her borte et sted.
Kom vi opp hit.
Og vi ser at flua stiger fordi den er høyere ved tre sekunder enn ett sekund.
Og den økningen er snakk om i høyde, den kan vi se her.
Ved å lage en sånn hjelpetrekant.
Så her borte, hvis vi går vannrett bortover sånn, så får vi den lille ekstra høyden.
Økningen i y, og økningen i y den kaller vi delta y. Det er et nytt begrep delta, det er egentlig en gresk bokstav.
Og det symbolet er nok valgt fordi det står for differanse. Det er en differanse mellom y - verdien her nede i det punktet der og y - verdien der oppe.
Og tilsvarende så har vi hatt en økning i x, og den kaller vi da delta x.
Når vi skal finne gjennomsnittlig stigning i høyde i løpet av de to sekundene snakk om, fra ett sekund til tre sekund, hvis vi bare tenker praktisk på det så ser vi at høyden etter ett sekund den er cirka én komma ni.
Høyden etter tre sekunder den er kanskje tre komma seks. Jeg tror jeg skal sette opp de koordinatene, så vi har en koordinat her hvor vi skriver opp x - verdien én først, og så vil jeg si denne én komma ni.
Sånn, det er punktkoordinatene til det punktet her.
Her oppe er x lik tre, så det er første koordinaten.
Og høyden ser ut til å være et tre komma, skal vi si tre komma tre kanskje.
Og da kan vi jo, unnskyld, bare ved hoderegning se at fra ett sekund og til tre sekunder her var den én komma ni og der er den tre komma tre, det blir vel en høydeforskjell på
Én komma fire.
Centimeter.
Så det må bety at stigningen er snakk om er én komma fire.
Nå skal jeg ta den litt sånn i sakte kino fordi vi kan illustrere hva det egentlig handler om ved å ta tre komma tre minus én komma ni. Det var det jeg sa jeg gjorde i hodet, og tre komma tre minus én komma ni det skulle bli én komma fire.
Så det er økningen i verdier.
Stigningen.
Delta x fra ett sekund til tre sekunder det er jo to sekunder, men igjen kan vi jo
Si at det svarer til tre minus én
Som er lik to.
Og hvis vi skal finne hva den gjennomsnittlige stigningen er per sekund, så var det altså en stigning på én komma fire centimeter på to sekunder, så da må det jo hvert sekund bli halvparten av det.
Delta y på delta x, én komma fire delt på to, det blir null komma syv.
Så svaret på spørsmålet hva gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund, det må bli null komma syv centimeter per sekund.
Her oppe står en sånn generell regel for gjennomsnittlig vekstfart delta y på delta x, det har vi allerede sett at vi har brukt. y to minus y en delt på x to minus x en. Det er jo ikke nødvendig å bruke en sånn formel, men det svarer til akkurat det vi gjorde her. Vi tok y - verdien til slutt minus y - verdien til å begynne med, y to minus y en, og så ser vi delta x, det er x - verdien til slutt x to minus x - verdien til å begynne med x en.
Da har vi avsluttet den, og så går vi opp og ser på en lineær funksjon, en rett linje av graf. Da er vekstfarten samme som stigningstallet. Bortsett fra det så er det samme prosedyre delta y på delta x.
Her har vi to punkter som allerede er markert. Det ene punktet har x - verdien én og y - verdien to, og det andre punktet har x - verdien fire og y - verdien fire.
Og da blir delta y
Fire som er y - verdien til slutt minus y - verdien til å begynne med som er to, fire minus to, og det er jo
To. Økningen fra det punktet der til det punktet der er to.
Delta x til slutt er x - verdien fire, og til å begynne med var x - verdien én, fire minus én.
Og det er tre.
Så stigningstallet til den linja vi har her er to tredjedeler.
Som igjen er det samme som vekstfarten til den funksjonen som har den grafen.
Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f
a) For hvilke verdier av x er
For hvilke verdier av x er
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra til .
Riktig svar!
Gjennomsnittlig vekstfart:
Riktig svar!
Funksjonen f er gitt ved
- a) Bestem den momentane vekstfarten til f når .
- b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet
Riktig svar!
Riktig svar!
Stigningstallet er .
En funksjon er gitt ved
Nedenfor ser du en skisse av grafen . Her er
a) Forklar at
Grafen til funksjonen er en rett linje som går gjennom punktet og står vinkelrett på grafen til . Se skissen nedenfor.
b) Forklar at og er formlike
(Tips: Forklar at begge trekantene er formlike med .)
c) Bruk resultatet fra oppgave b) til å vise at .d) Vis at påstanden er riktig
Påstand: Dersom grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, vil produktet av stigningstallene være lik -1.
Fra figuren kan man se at har stigningstallet siden endringen i y er negativ. Funksjonen på figuren har stigningstallet . Siden vil:
For at to linjer skal krysse må de gå i motsatte retninger, så de vil alltid ha motsatt fortegn på stigningstallet. Derfor vil produktet alltid bli -1 (så lenge vel å merke).
En funksjon er gitt ved
Nedenfor ser du en skisse av grafen . Her er
a) Forklar at
Grafen til funksjonen er en rett linje som går gjennom punktet og står vinkelrett på grafen til . Se skissen nedenfor.
Forklar at og er formlike
(Tips: Forklar at begge trekantene er formlike med .)
c) Bruk resultatet fra oppgave b) til å vise at .
d) Vis at påstanden er riktig
Påstand: Dersom grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, vil produktet av stigningstallene være lik -1.
Du får vite dette om fire funksjoner p, q r og s:
- p\'(0) = 0 og p\'(-1) < 0
- q\'(1) = -2 og q\'(2) = -2
- Den gjennomsnittlige vekstfarten til r i intervallet [-2, 0] er 3
- Tangenten til grafen til s i punktene (-2, s(-2)) og (2, s(2)) har likningene: og
Siden funksjonen p har stigningstall 0 i x = 0 så vil den ha enten et topppunkt eller bunnpunkt der. Siden den deriverte negativ i x = -1 betyr det er et bunnpunktpunkt (siden grafen synker så stiger). Det er bare graf A som har et bunnpunkt i x = 0. Graf er A er grafen til funksjonen p. Den eneste grafen som kan ha lik stigningstall i x = 1 og x = 2 er grafen C og E. Siden stigningstaller skal være -2 i begge punktene, må det være graf E som tilhører funksjonen q siden den har stigningstallet -2. For grafen til r ser man etter hvilken graf som har gjennomsnittlig vekstfart 3 i intervallet [-2, 0]. Det er graf F siden i intervallet [-2, 0] er \Delta{y} = 6[{/latex] og [latex]\Delta{x} = 2 noe som gir et stigningstall . Man vet at stigningstallet til grafen til et punkt er lik stigningstallet til tangenten til det punktet. Derfor vet man at grafen s har samme stigningstall i x = 2 og x = -2, stigningstallet -8. Siden det er tangent, så er det snakk om enten A, B , D eller F. A, D og F har derimot umulig likt stigningstall i x = 2 og x = -2 siden de de stiger i det enen punktet og synker i det andre. Derfor tilhører graf B til funksjonen s.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.