I denne videoen skal vi se på prosentvis vekst og noe som heter eksponentialfunksjoner. Men for å bli kjent med det begrepet, så vil vi først ta for oss et eksempel: en bakteriepopulasjon. Den består innledningsvis av tjue tusen individer. Ja, det er ikke tjue tusen da. Men her har vi noen bakterier, og når de har det bra, de bakteriene, så vil de kunne formere seg ganske kjapt. Og da vil det være sånn at de vil kanskje øke med ti prosent; antallet vil øke ti prosent per minutt. Det vil jo bare gjelde så lenge det er god tilgang på mat her borte da.

Og at de ikke er alt for tett på hverandre, og en del andre ting som har med biologi å gjøre.

Men vi har ti prosent vekst per minutt. Og da kan vi, som har lært om vekstfaktor, regne hvilken vekstfaktor det svarer til: en pluss ti delt på hundre, det blir en komma en.

Når vi så tenker på at da vil jo bakteriepopulasjonen vokse, så kan vi tenke oss en funksjon b av x, som skal være bakterietallet etter x minutter.

Og til å begynne med har vi tjue tusen, og vekstfaktoren en komma en null eller en komma en. Den må vi jo gange med hvert eneste minutt. Så etter det første minuttet, så må vi gange med en komma en. Når vi så får et nytt minutt, så må vi gange med en komma en en gang til, og da blir det opphøyd i andre.

Etter tre minutter så vil det være enda en faktor en komma en, og da blir det opphøyd i tredje. Så etter x minutter så må det jo bli

Tjue tusen ganger en komma en opphøyd i x.

En sånn funksjon, som er et tall ganger noe opphøyd i x, det kalles en eksponentialfunksjon. Så vi kan si generelt sett at vi da har et sånt uttrykk: et tall. Det må jo ikke være tjue tusen; det kan være bare en eller annen verdi a, som vi ikke vil spesifisere nå. Og vi har en eller annen faktor, det må ikke være vekstfaktor heller egentlig.

Men det må være en eller annen, et eller annet tall b opphøyd i x. Da har vi det som heter en eksponentialfunksjon. Og det er verdt å sammenligne det litt med det vi har lært før om vekst. For vi har jo hatt noe som vi kan kalle lineær vekst, at noe har en verdi b til å begynne med, og så stiger det jevnt og trutt med samme tall, for eksempel hvert minutt. Da får vi det som heter lineær vekst, og da har vi den lineære funksjonen a x pluss b. Det kan vi også kalle en førstegradsfunksjon. Så grafen til den funksjonen her vil typisk være en rett linje, og det har vi jo lært om tidligere i

Har vi sett teori-videoer på tidligere. En rett linje som skjærer y-aksen i verdien b, og som har et stigningstall lik a. Og så, litt ettersom hvilken verdi det er, så jo mer eller mindre bratt vil den funksjonen være. En eksponentialfunksjon, den vil typisk se ut omtrent som dette her: at den begynner på en eller annen verdi, og det er den verdien a der.

Og så vil den stige på en måte mer og mer, fordi for hver tidsenhet så ganger vi med, eller for hver økning i x, så ganger vi på nytt, for eksempel med tallet en komma en. Så den funksjonen her blir brattere og brattere. Vi kan også for så vidt la den gå bakover i tid, sånn at vi går forbi

Y-aksen som

Så omtrent sånn ser typiske eksponentialfunksjoner ut. Det går også an å tenke seg at vi har negativ vekst, som for eksempel

Jeg bare skriver det med en annen farge nå. La oss si vi har en funksjon c da, bare for å skille den. Som hadde vært at hvis det var en bakteriekultur som også besto av tjue tusen, men som i stedet minket med ti prosent av en eller annen grunn. Kanskje det var for lite mat, sånn at bakteriene rett og slett døde. Og da vil vi, en ti prosent nedgang, det vil være null komma ni.

Og hvis vi tenker oss at sånn er det hvert minutt, så vil vi ha null komma ni opphøyd i x. Da vil den kulturen også starte på tjue tusen, som vi kan si er det tallet vi har der da, og så vil den ha gått nedover på den måten der.

Mens derimot hvis vi kunne gå tilbake i tid, så var det jo mer tidligere.

Så den da som kan se sånn ut. Så hvis den verdien b er større enn en, da er det typisk at det vokser, for da er vekstfaktoren større enn en. Mens hvis vi har en vekstfaktor mindre enn en, så får vi den nedadgående kurven. Begge deler er eksponentialfunksjoner.