I denne videoen skal vi se på begrepet vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart. Det er viktige begreper, og det kan tenkes at du kanskje må se på flere videoer for å virkelig forstå konseptet helt. I denne videoen skal vi se på to eksempler, og det første vil vi begynne nede på tavla. Her er det en graf som er tegnet, og så skal det stå x bortover der. Den grafen kan vi tenke oss er høyden til en flue over et bord, hvor høyden er i centimeter som funksjon av tiden x i sekunder. Så vi ser at flua til å begynne med har høyde null. Så da er den på bordet kanskje, og så letter den, og da stiger høyden.

Og så etter hvert så kommer den ganske høyt, og så går den nedover. Hva er det som skjer her? Her er den faktisk under bordet, det går jo også an, så da vil det være negative høyder.

Så det er kun høyden vi ser på i forhold til bordet da.

Det vi skal se på her, eller skal svare på på en måte, er spørsmålet: Hva er gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund mellom x lik én og x lik tre?

Gjennomsnittlig vekstfart kan vi si. Det illustrerer her, jeg har kalt det stigning siden det handler om en flue som stiger.

Og det var snakk om mellom x lik én og x lik tre, så da prøver vi å finne det på grafen. x lik én er der, og da må det svare til det punktet.

Vi finner her oppe, og x lik tre det har vi her borte et sted.

Kom vi opp hit.

Og vi ser at flua stiger fordi den er høyere ved tre sekunder enn ett sekund.

Og den økningen er snakk om i høyde, den kan vi se her.

Ved å lage en sånn hjelpetrekant.

Så her borte, hvis vi går vannrett bortover sånn, så får vi den lille ekstra høyden.

Økningen i y, og økningen i y den kaller vi delta y. Det er et nytt begrep delta, det er egentlig en gresk bokstav.

Og det symbolet er nok valgt fordi det står for differanse. Det er en differanse mellom y - verdien her nede i det punktet der og y - verdien der oppe.

Og tilsvarende så har vi hatt en økning i x, og den kaller vi da delta x.

Når vi skal finne gjennomsnittlig stigning i høyde i løpet av de to sekundene snakk om, fra ett sekund til tre sekund, hvis vi bare tenker praktisk på det så ser vi at høyden etter ett sekund den er cirka én komma ni.

Høyden etter tre sekunder den er kanskje tre komma seks. Jeg tror jeg skal sette opp de koordinatene, så vi har en koordinat her hvor vi skriver opp x - verdien én først, og så vil jeg si denne én komma ni.

Sånn, det er punktkoordinatene til det punktet her.

Her oppe er x lik tre, så det er første koordinaten.

Og høyden ser ut til å være et tre komma, skal vi si tre komma tre kanskje.

Og da kan vi jo, unnskyld, bare ved hoderegning se at fra ett sekund og til tre sekunder her var den én komma ni og der er den tre komma tre, det blir vel en høydeforskjell på

Én komma fire.

Centimeter.

Så det må bety at stigningen er snakk om er én komma fire.

Nå skal jeg ta den litt sånn i sakte kino fordi vi kan illustrere hva det egentlig handler om ved å ta tre komma tre minus én komma ni. Det var det jeg sa jeg gjorde i hodet, og tre komma tre minus én komma ni det skulle bli én komma fire.

Så det er økningen i verdier.

Stigningen.

Delta x fra ett sekund til tre sekunder det er jo to sekunder, men igjen kan vi jo

Si at det svarer til tre minus én

Som er lik to.

Og hvis vi skal finne hva den gjennomsnittlige stigningen er per sekund, så var det altså en stigning på én komma fire centimeter på to sekunder, så da må det jo hvert sekund bli halvparten av det.

Delta y på delta x, én komma fire delt på to, det blir null komma syv.

Så svaret på spørsmålet hva gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund, det må bli null komma syv centimeter per sekund.

Her oppe står en sånn generell regel for gjennomsnittlig vekstfart delta y på delta x, det har vi allerede sett at vi har brukt. y to minus y en delt på x to minus x en. Det er jo ikke nødvendig å bruke en sånn formel, men det svarer til akkurat det vi gjorde her. Vi tok y - verdien til slutt minus y - verdien til å begynne med, y to minus y en, og så ser vi delta x, det er x - verdien til slutt x to minus x - verdien til å begynne med x en.

Da har vi avsluttet den, og så går vi opp og ser på en lineær funksjon, en rett linje av graf. Da er vekstfarten samme som stigningstallet. Bortsett fra det så er det samme prosedyre delta y på delta x.

Her har vi to punkter som allerede er markert. Det ene punktet har x - verdien én og y - verdien to, og det andre punktet har x - verdien fire og y - verdien fire.

Og da blir delta y

Fire som er y - verdien til slutt minus y - verdien til å begynne med som er to, fire minus to, og det er jo

To. Økningen fra det punktet der til det punktet der er to.

Delta x til slutt er x - verdien fire, og til å begynne med var x - verdien én, fire minus én.

Og det er tre.

Så stigningstallet til den linja vi har her er to tredjedeler.

Som igjen er det samme som vekstfarten til den funksjonen som har den grafen.