1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på ulikheter. Ulikheter er ganske like ligninger. Forskjellen er at det ikke er et likhetstegn, men et ulikhetstegn. For eksempel x minus to er mindre enn tre x minus én. Vi ser vi har noe på venstresiden og noe på høyresiden, ikke av et likhetstegn, men av ulikhetstegnet, og vi kan bruke stort sett de samme metodene når vi løser ulikheter som når vi løser ligninger.
klikk her for 10 sekunders quiz
Spesielt gjelder det førstegradsulikheter som vi har her. Det er første grad fordi det er x i første og tre x. Det er ikke opphøyd i andre eller tredje eller noe sånt.
Her repeterer vi de reglene som gjelder ligninger, som også kan brukes. Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet. Vi kan gange eller dele med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet. Men her måtte jeg skrive positivt, fordi det er nemlig en egen greie når man ganger eller deler med negative tall, da må vi nemlig snu ulikhetstegnet.
Og det kan vi se på i det første eksempelet her: x minus to er mindre enn tre x minus én. Strategien fra ligninger er å ha x-ene på den ene siden av likhetstegnet og tallene på den andre, så i dette tilfellet blir det da
Vi vil ha x-ene på venstre side i dette eksemplet, så hvis vi trekker fra tre x på begge sider
av ulikhetstegnet.
Så står det på en måte tre x minus én, og så minus tre x da.
Da har vi trukket fra tre x på begge sider, og da forsvinner jo tre x på høyresiden.
Minus to.
Så hvis vi nå plusser på to på begge sider
Så vil jo minus to pluss to bli null, og da har vi med andre ord flyttet to over på høyre side.
Så det er jo det vi gjør når vi har litt dårligere tid, så bare flytter vi leddene fra den ene siden til den andre, men da husker vi å skifte fortegn. Sånn som vi ser her: tre x står det der, og der står det minus tre x. Minus to sto det der, og nå står det pluss to på høyre side, akkurat som i likninger. Men da, når vi trekker sammen, så får vi minus to x er mindre enn
En minus en pluss to er lik en, og da kommer vi til siste skritt, som er å dele på minus to. Og da gjør vi det; vi gjør det ikke akkurat på linja her, vi bare gjør det under. Så da blir det minus to x delt på minus to, men da må vi snu pila.
En over minus to
Og da får vi x blir større enn minus én.
Ha, så det blir løsningen.
[..]
Nå kan vi se på en ulikhet til: x minus to er mindre enn x minus tre.
Samme greia, så vi flytter over, så da får vi x, og så flytter vi den x-en fra høyresiden, da blir det minus x.
Blir mindre enn minus tre, flytter over to.
Men da får vi en litt interessant situasjon, da får vi nemlig null.
x-er er mindre enn
minus én.
Null er mindre enn minus én. Er det riktig at null er mindre enn minus én?
Det er vel ikke riktig det, for minus én er et negativt tall, så det er mindre enn null. Så her har vi fått en situasjon hvor vi får ingen løsning.
Ja, vi har ikke gjort noe galt. Vi har bare kommet fram til at den ulikheten har ingen løsning.
Til slutt kan vi se på et eksempel som egentlig er akkurat det samme som her oppe, bare at her står
Ulikheten på en litt annen måte. Her står høyresiden på venstresiden, og så er pila motsatt.
Det er egentlig akkurat den samme påstanden, at tre x minus én skal være større enn x minus to. Det må jo bety at x minus to skal være mindre enn tre x minus [..] hvis vi nå bruker reglene for
Som jeg har lov å bruke, så kan vi flytte tall over. Så da får vi tre x minus x, da får vi to x. Gjør jeg det litt fortere siden dette er et kjent eksempel.
Flytter over minus én, og da får vi
minus to
pluss én som er minus én
Nå ser vi at vi har et positivt tall
foran x, så da kan vi dele på to, og da trenger vi ikke snu pila. Da blir løsningen x er større enn minus
Det er jo akkurat den samme løsningen som vi fikk i stad, for det var jo akkurat den samme ulikheten. Men vi ser at når vi deler på et positivt tall, da kan vi beholde pilretningen.
Når det gjelder den løsningen x er større enn minus en halv, så kan vi bare ta en liten kikk på det på en tallinje.
Så da ser vi altså det vi snakker om her. Hvis vi har en tallinje, så kan vi ta med null bare som et sånt referansepunkt. Så ligger minus en halv
Litt til venstre for null, og da er altså løsningen på ulikheten alle tall som ligger til høyre for
[..]
Hopp. Noen ganger når vi løser ulikheter, så bruker vi noe som heter løsningsmengde, og da kunne vi jo skrevet det som minus en halv
komma og så pil oppover.
Det betyr alle tall som er større enn minus en halv.
Så den skrivemåten her kan det være greit å se, for det hender du finner den i fasitter, for eksempel.
Løs ulikheten
Riktig svar!
Riktig svar!
Når du deler eller multipliserer med et negativt tall byttes fortegnene, og ulikheten må da være omvendt.
Vi tegner grafene til og . Kan dette hjelpe oss til å løse ulikheten ?
Riktig svar!
Da oppfylles kravene, altså .
Figuren nedenfor viser et blått område som er avgrenset av lineære ulikheter.
a) Bestem ulikhetene som avgrenser området.
b) Bestem den største verdien størrelsen kan ha når ligger i det blå området.
En størrelse skal ha størst verdi i punktet når ligger i det blå området.
c) Bestem den minste verdien tallet kan ha da.
Riktig svar!
Ser hva den største verdien skal være ved å sette inn for x og y i størrelsen:
Ser på de andre hjørnene av området siden om ingen av ytterpunktene av området bryter premisset, vil ikke resten av området gjøre det.
For punkt :
\begin{align} 0 - 3a &< 2\\\ -3a &< 2 \\\ a &> -\frac{2}{3} \end{align}
For punkt :
\begin{align}\frac{14}{5} - a \cdot \frac{8}{5} &< 2 \\\ - a \cdot \frac{8}{5} &< -\frac{4}{5} \\\ a > \frac{1}{2}\end{align}
Riktig svar!
Riktig svar!
Da kan man sette det til venstre lik null, og da se når den er positiv og når den er negativ.
Riktig svar!
Siden y = 0 på x-aksen, vil y > 0 over x-aksen.
Løsningen til ulikheten er …
Riktig svar!
Siden y = 0 på x-aksen, vil y > 0 over x-aksen.
En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene.
Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg mel.
La x være antall kilogram kjøttkaker av type A og y antall kilogram kjøttkaker av type B som lages en uke.
a) Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene nedenfor.
Ulikhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem.
Prisen på kjøttkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram.
b) Anta at butikken får solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen.
c) Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uken for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
: Man kan ikke produsere mindre enn null kg av noen av typene.
, er begrensningen på mel.
, er begrensningen på kjøttdeig.
En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene.
Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg mel.
La x være antall kilogram kjøttkaker av type A og y antall kilogram kjøttkaker av type B som lages en uke.
a) Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene nedenfor.
Ulikhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem.
Prisen på kjøttkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram.
b) Anta at butikken får solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen.
c) Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uken for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
Inntektene blir størst om de produserer 1100 kg av type A og 700 kg av type B. Inntektene blir da:
kroner.
En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene.
Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg mel.
La x være antall kilogram kjøttkaker av type A og y antall kilogram kjøttkaker av type B som lages en uke.
a) Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene nedenfor.
Ulikhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem.
Prisen på kjøttkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram.
b) Anta at butikken får solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen.
c) Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uken for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
Dersom de kun har kapasitet til å produsere 1500 kg, har man at x + y = 1500 (se linje i figur over). Den optimale produksjonen blir da 500 kg av A og 1000 kg av B. Inntektene blir da 145000 kroner.
Figuren nedenfor viser et blått område som er avgrenset av lineære ulikheter.
a) Bestem ulikhetene som avgrenser området.
b) Bestem den største verdien størrelsen kan ha når ligger i det blå området.
En størrelse skal ha størst verdi i punktet når ligger i det blå området.
c) Bestem den minste verdien tallet kan ha da.
Ser på stigningstall og krysninger med y-aksen for å avgjøre likningene for de to linjene.
Ser at den ene linjen krysser y-aksen i . Den samme linjen synker også fra y = 6 til y = 0 når x endrer seg fra 0 til 3. Det betyr at stigningstallet er:
Da kan man skrive linjen som likningen:
Ser at den andre linjen krysser y-aksen i og at den stiger fra y = 2 til y = 4 når x går fra 0 til 4. Da vet vi at stigningstallet blir:
Kan da skrive linjen som:
Ser at området er avgrenset av x- og y-aksen også. Området er over x-aksen, til høyre for y-aksen, under og på begge linjene: og . Det betyr at området er bestemt av ulikhetene.
\begin{align} x &\geq 0 \\\ y &\geq 0 \\\ y &\leq -2x + 6 \\\ y &\leq \frac{1}{2}x + 2 \end{align}
På grunn av streik har bakermester Snipp begrenset tilgang på råvarer. En dag har han til rådighet:
- 50 kg mel
- 7 kg sukker
- 8,5 kg smør
Han lager kaker av type A og B. Tabellen nedenfor viser ingrediensene i én kake for hver av de to kaketypene.
La x være antall kaker han baker av type A, og y antall kaker han baker av type B, denne dagen.
a Forklar at og må tilfredsstille ulikhetene:
\begin{align} x &\geq 0 \\\ y &\geq 0 \\\ 3x + 5y &\leq 500 \\\ 2x + y &\leq 140 \\\ 5x + 2y &\leq 340 \end{align}
b) Skraver i et koordinatsystem området som er avgrenset av ulikhetene.
Bakermester Snipp har en fortjeneste på 160 kroner per kake for kaker av type A og 120 kroner per kake for kaker av type B.
c) Hvor mange kaker av hver type må han bake for at fortjenesten skal bli størst mulig? Hva blir fortjenesten da?
En dag er en av ovnene han bruker til å steke kaker av type B i, i ustand. Dette gjør at han høyst kan lage 70 kaker av type B denne dagen.
d) Hvor mange kaker av hver type må han bake denne dagen for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Han kan ikke bake et negativt antall kaker så.
\begin{align} x &\geq 0 \\\ y &\geq 0 \end{align}
Fra listen over ingredienser til kakene så kan man se at antall kg mel brukt er
Med de begrensede råvarene så må:
For sukker bli det:
Og for smør:
På grunn av streik har bakermester Snipp begrenset tilgang på råvarer. En dag har han til rådighet:
- 50 kg mel
- 7 kg sukker
- 8,5 kg smør
Han lager kaker av type A og B. Tabellen nedenfor viser ingrediensene i én kake for hver av de to kaketypene.
La x være antall kaker han baker av type A, og y antall kaker han baker av type B, denne dagen.
a Forklar at og må tilfredsstille ulikhetene:
\begin{align} x &\geq 0 \\\ y &\geq 0 \\\ 3x + 5y &\leq 500 \\\ 2x + y &\leq 140 \\\ 5x + 2y &\leq 340 \end{align}
b) Skraver i et koordinatsystem området som er avgrenset av ulikhetene.
Bakermester Snipp har en fortjeneste på 160 kroner per kake for kaker av type A og 120 kroner per kake for kaker av type B.
c) Hvor mange kaker av hver type må han bake for at fortjenesten skal bli størst mulig? Hva blir fortjenesten da?
En dag er en av ovnene han bruker til å steke kaker av type B i, i ustand. Dette gjør at han høyst kan lage 70 kaker av type B denne dagen.
d) Hvor mange kaker av hver type må han bake denne dagen for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Bruker geogebra ved å skrive inn:
a: x >= 0 ? y >= 0 ? 3x + 5y <= 500 ? 2x + y <= 140 ? 5x + 2y <= 340
Et område D er bestemt av ulikhetene
a) Skraver området D i et koordinatsystem.
b) Bestem punktet (x,y) i området D slik at 3x + 2y blir størst mulig.
Et område D er bestemt av ulikhetene
a) Skraver området D i et koordinatsystem.
b) Bestem punktet (x,y) i området D slik at 3x + 2y blir størst mulig.
Sjekker hjørnene i trekanten (-1, 0), (-1, 6) og (2, 3)
Uttrykket blir størst i punktet (2, 3)
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.