1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på begrepet vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart. Det er viktige begreper, og det kan tenkes at du kanskje må se på flere videoer for å virkelig forstå konseptet helt. I denne videoen skal vi se på to eksempler, og det første vil vi begynne nede på tavla. Her er det en graf som er tegnet, og så skal det stå x bortover der. Den grafen kan vi tenke oss er høyden til en flue over et bord, hvor høyden er i centimeter som funksjon av tiden x i sekunder. Så vi ser at flua til å begynne med har høyde null. Så da er den på bordet kanskje, og så letter den, og da stiger høyden.
klikk her for 10 sekunders quiz
Og så etter hvert så kommer den ganske høyt, og så går den nedover. Hva er det som skjer her? Her er den faktisk under bordet, det går jo også an, så da vil det være negative høyder.
Så det er kun høyden vi ser på i forhold til bordet da.
Det vi skal se på her, eller skal svare på på en måte, er spørsmålet: Hva er gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund mellom x lik én og x lik tre?
Gjennomsnittlig vekstfart kan vi si. Det illustrerer her, jeg har kalt det stigning siden det handler om en flue som stiger.
Og det var snakk om mellom x lik én og x lik tre, så da prøver vi å finne det på grafen. x lik én er der, og da må det svare til det punktet.
Vi finner her oppe, og x lik tre det har vi her borte et sted.
Kom vi opp hit.
Og vi ser at flua stiger fordi den er høyere ved tre sekunder enn ett sekund.
Og den økningen er snakk om i høyde, den kan vi se her.
Ved å lage en sånn hjelpetrekant.
Så her borte, hvis vi går vannrett bortover sånn, så får vi den lille ekstra høyden.
Økningen i y, og økningen i y den kaller vi delta y. Det er et nytt begrep delta, det er egentlig en gresk bokstav.
Og det symbolet er nok valgt fordi det står for differanse. Det er en differanse mellom y - verdien her nede i det punktet der og y - verdien der oppe.
Og tilsvarende så har vi hatt en økning i x, og den kaller vi da delta x.
Når vi skal finne gjennomsnittlig stigning i høyde i løpet av de to sekundene snakk om, fra ett sekund til tre sekund, hvis vi bare tenker praktisk på det så ser vi at høyden etter ett sekund den er cirka én komma ni.
Høyden etter tre sekunder den er kanskje tre komma seks. Jeg tror jeg skal sette opp de koordinatene, så vi har en koordinat her hvor vi skriver opp x - verdien én først, og så vil jeg si denne én komma ni.
Sånn, det er punktkoordinatene til det punktet her.
Her oppe er x lik tre, så det er første koordinaten.
Og høyden ser ut til å være et tre komma, skal vi si tre komma tre kanskje.
Og da kan vi jo, unnskyld, bare ved hoderegning se at fra ett sekund og til tre sekunder her var den én komma ni og der er den tre komma tre, det blir vel en høydeforskjell på
Én komma fire.
Centimeter.
Så det må bety at stigningen er snakk om er én komma fire.
Nå skal jeg ta den litt sånn i sakte kino fordi vi kan illustrere hva det egentlig handler om ved å ta tre komma tre minus én komma ni. Det var det jeg sa jeg gjorde i hodet, og tre komma tre minus én komma ni det skulle bli én komma fire.
Så det er økningen i verdier.
Stigningen.
Delta x fra ett sekund til tre sekunder det er jo to sekunder, men igjen kan vi jo
Si at det svarer til tre minus én
Som er lik to.
Og hvis vi skal finne hva den gjennomsnittlige stigningen er per sekund, så var det altså en stigning på én komma fire centimeter på to sekunder, så da må det jo hvert sekund bli halvparten av det.
Delta y på delta x, én komma fire delt på to, det blir null komma syv.
Så svaret på spørsmålet hva gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund, det må bli null komma syv centimeter per sekund.
Her oppe står en sånn generell regel for gjennomsnittlig vekstfart delta y på delta x, det har vi allerede sett at vi har brukt. y to minus y en delt på x to minus x en. Det er jo ikke nødvendig å bruke en sånn formel, men det svarer til akkurat det vi gjorde her. Vi tok y - verdien til slutt minus y - verdien til å begynne med, y to minus y en, og så ser vi delta x, det er x - verdien til slutt x to minus x - verdien til å begynne med x en.
Da har vi avsluttet den, og så går vi opp og ser på en lineær funksjon, en rett linje av graf. Da er vekstfarten samme som stigningstallet. Bortsett fra det så er det samme prosedyre delta y på delta x.
Her har vi to punkter som allerede er markert. Det ene punktet har x - verdien én og y - verdien to, og det andre punktet har x - verdien fire og y - verdien fire.
Og da blir delta y
Fire som er y - verdien til slutt minus y - verdien til å begynne med som er to, fire minus to, og det er jo
To. Økningen fra det punktet der til det punktet der er to.
Delta x til slutt er x - verdien fire, og til å begynne med var x - verdien én, fire minus én.
Og det er tre.
Så stigningstallet til den linja vi har her er to tredjedeler.
Som igjen er det samme som vekstfarten til den funksjonen som har den grafen.
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene
a) [0,5] b) [5,10] c) [10,15]
a) Tegn grafen for x mellom -2 og 2
b) Finn gjennomsnittlig vekstfaktor mellom x-verdiene 0 og 2.
c) Finn den momentane vekstfarten i x = 0 grafisk.
d) Finn den momentane vekstfarten i x = 1 grafisk.
Riktig svar!
Stigningstallet er .
En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene K ved å produsere x enheter av varen per dag er
,
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til K i intervallet . Hva forteller dette svaret oss?
b) Bestem K\'(100). Hva forteller dette svaret oss?
Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?
Riktig svar!
Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet null til hundre:
Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 40. Det betyr at kostnadene ved å produsere en enhet mere øker med 40.
Riktig svar!
Riktig svar!
Den lineære går da bare gjennom det ene punktet.
Riktig svar!
Slik er definisjonen.
Riktig svar!
Fordi endringen er negativ.
Riktig svar!
Så det man får er endringen i y.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (2,f(2)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [ 1, 3 ] .
b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (a, f(a)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [a-1,a+1]. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
Man får samme resultat som i a, men nå rent generelt for x = a.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (2,f(2)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [ 1, 3 ] .
b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (a, f(a)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [a-1,a+1]. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
Man observerer at den momentane vekstfarten i (2,f(2)) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1,3].
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Det at den momentane vekstfarten er 15 vil si at den deriverte er 15.
\begin{align} f\'(x) &= 15 \\\ 3x^2 + 3 &= 15 \\\ 3x^2 &= 12 \\\ x^2 &= 4 \\\ x &= \pm 2 \end{align}
Funksjonen har en momentan vekstfart på 15 når
og når
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Siden den deriverte så vil alltids være større enn 0. Dette er fordi ikke kan bli negativt.
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Deriverer funksjonen og setter så inn for x.
\begin{align} f(x) &= x^3 + 3x \\\ f\'(x) &= 3x^2 + 3 \\\ f\'(1) &= 3 + 3 = 6
Det dette tallet forteller oss er at funksjonen har en momentan vekstfart 6. Det vil si at om funksjonen ville fortsatt med samme vekstfart så ville den økt med 6 per 1 økning i x.
Funksjonen f er gitt ved
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at
Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er:
Vi får da:
Hvilket skulle vises. (Delta x går jo mot null, så de to midterste leddene bortfaller.)
En funksjon f er gitt ved
Bruk definisjonen av den deriverte til a vise at
Har at definisjonen av den deriverte er:
\begin{equation} f\'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \notag \end{equation}
Vi har allerede fått oppgitt at så det eneste vi trenger å finne er
\begin{align*} f(x+h)&=(x+h)^2 + 2(x+h) \\\ f(x+h)&=x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h \end{align*}
Setter så inn i definisjonen til den deriverte:
\begin{align*} f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h -(x^2 +2x)}{h}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 +2h}{h}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{\not{h}(2x + h +2)}{\not{h}}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} 2x+2 +h\\\ f\'(x)&=\underline{\underline{2x+2}} \end{align*}
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.