VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Litt repetisjon
18:38
25:55
21:34
34:11
25:05
14:39
15:51
29:06
20:52
Logaritmeregning
31:02
19:21
36:19
09:10
17:37
35:27
15:40
17:22
19:08
Grenseverdier og kontinuitet i funksjoner
66:44
08:47
07:03
11:44
Derivasjon i funksjoner
05:59
05:32
31:41
08:34
14:23
20:02
32:15
15:37
29:37
14:31
Sannsynlighetsregning
21:09
38:28
12:11
30:26
Modellering og regresjon
26:58
23:10
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
DEL 1 - Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
DEL 2 - Med hjelpemidler
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
07:33
Teori 1
Gjennomsnittlig vekstfart.
I denne videoen skal vi se på begrepet vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart. Det er viktige begreper, og det kan tenkes at du kanskje må se på flere videoer for å virkelig forstå konseptet helt. I denne videoen skal vi se på to eksempler, og det første vil vi begynne nede på tavla. Her er det en graf som er tegnet, og så skal det stå x bortover der. Den grafen kan vi tenke oss er høyden til en flue over et bord, hvor høyden er i centimeter som funksjon av tiden x i sekunder. Så vi ser at flua til å begynne med har høyde null. Så da er den på bordet kanskje, og så letter den, og da stiger høyden.
Quiz section 0
Hva representerer grafen i det første eksempelet?
En bils hastighet over distanse.
Temperaturen i løpet av en dag.
Fluas høyde over et bord som funksjon av tid.
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og så etter hvert så kommer den ganske høyt, og så går den nedover. Hva er det som skjer her? Her er den faktisk under bordet, det går jo også an, så da vil det være negative høyder.
Quiz section 1
Hva betyr det når grafen viser negative høyder?
Tiden er negativ.
Flua er under bordet.
Flua flyr høyere enn før.
Så det er kun høyden vi ser på i forhold til bordet da.
Quiz section 2
Hva ser vi på i forhold til bordet?
Kun høyden.
Fluas vekt.
Tiden det tar å fly.
Det vi skal se på her, eller skal svare på på en måte, er spørsmålet: Hva er gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund mellom x lik én og x lik tre?
Quiz section 3
Mellom hvilke x-verdier beregner vi gjennomsnittlig stigning i høyde?
x = 0 og x = 2
x = 1 og x = 3
x = 2 og x = 4
Gjennomsnittlig vekstfart kan vi si. Det illustrerer her, jeg har kalt det stigning siden det handler om en flue som stiger.
Quiz section 4
Hvorfor kaller vi vekstfarten for "stigning" i dette eksempelet?
Fordi flua synker i høyde.
Fordi flua stiger i høyde.
Fordi tiden øker.
Og det var snakk om mellom x lik én og x lik tre, så da prøver vi å finne det på grafen. x lik én er der, og da må det svare til det punktet.
Quiz section 5
Hvordan finner vi punktene for x = 1 og x = 3 på grafen?
Ved å identifisere punktene som tilsvarer disse x-verdiene.
Ved å trekke en linje gjennom origo.
Ved å bruke en formel for y-verdi.
Vi finner her oppe, og x lik tre det har vi her borte et sted.
Quiz section 6
Hva indikerer en høyere y-verdi ved x = 3 sammenlignet med x = 1?
At flua har steget i høyde.
At flua har sunket i høyde.
At flua har stått stille.
Kom vi opp hit.
Quiz section 7
Hvorfor ser vi på punktene ved x = 1 og x = 3?
For å beregne gjennomsnittlig stigning.
For å finne maksimumshøyden.
For å måle tidsforskjellen.
Og vi ser at flua stiger fordi den er høyere ved tre sekunder enn ett sekund.
Quiz section 8
Hva viser det at flua er høyere ved tre sekunder enn ett sekund?
At flua synker i høyde over tid.
At flua stiger i høyde over tid.
At flua beveger seg horisontalt.
Og den økningen er snakk om i høyde, den kan vi se her.
Quiz section 9
Hva representerer økningen i y på grafen?
Endringen i fluas høyde.
Tidsintervallet mellom målinger.
Fluas vektendring.
Ved å lage en sånn hjelpetrekant.
Quiz section 10
Hva bruker vi for å illustrere endringene på grafen?
En rett linje.
En sirkel.
En hjelpetrekant.
Så her borte, hvis vi går vannrett bortover sånn, så får vi den lille ekstra høyden.
Quiz section 11
Hva får vi ved å gå vannrett bortover på grafen?
Endringen i x, eller delta x.
Økningen i y, eller delta y.
Ingen endring.
Økningen i y, og økningen i y den kaller vi delta y. Det er et nytt begrep delta, det er egentlig en gresk bokstav.
Quiz section 12
Hva kalles økningen i y-verdi?
Delta y.
Gamma y.
Delta x.
Og det symbolet er nok valgt fordi det står for differanse. Det er en differanse mellom y-verdien her nede i det punktet der og y-verdien der oppe.
Quiz section 13
Hva representerer symbolet delta (Δ) i matematikk?
Produktet av verdier.
Differansen mellom verdier.
Summen av verdier.
Og tilsvarende så har vi hatt en økning i x, og den kaller vi da delta x.
Quiz section 14
Hva kaller vi økningen i x-verdi?
Delta x.
Delta y.
Delta z.
Når vi skal finne gjennomsnittlig stigning i høyde i løpet av de to sekundene snakk om, fra ett sekund til tre sekund, hvis vi bare tenker praktisk på det så ser vi at høyden etter ett sekund den er cirka én komma ni.
Quiz section 15
Hvordan beregner vi gjennomsnittlig stigning mellom to punkter?
Ved å dele delta y på delta x.
Ved å multiplisere delta y med delta x.
Ved å subtrahere delta x fra delta y.
Høyden etter tre sekunder den er kanskje tre komma seks. Jeg tror jeg skal sette opp de koordinatene, så vi har en koordinat her hvor vi skriver opp x-verdien én først, og så vil jeg si denne én komma ni.
Quiz section 16
Hva trenger vi for å sette opp koordinatene til et punkt?
x-verdi og tilsvarende y-verdi.
Bare x-verdi.
Bare y-verdi.
Sånn, det er punktkoordinatene til det punktet her.
Quiz section 17
Hva representerer punktkoordinatene på grafen?
Et punkt med spesifikk x- og y-verdi.
Bare tidsforløpet.
Grafens helhetlige trend.
Her oppe er x lik tre, så det er første koordinaten.
Quiz section 18
Hva er første koordinaten i et punkt?
y-verdien.
x-verdien.
Delta y.
Og høyden ser ut til å være et tre komma, skal vi si tre komma tre kanskje.
Quiz section 19
Hva gjør vi etter å ha funnet x-verdien på grafen?
Tegner en ny graf.
Endrer x-verdien.
Leser av tilsvarende y-verdi.
Og da kan vi jo, unnskyld, bare ved hoderegning se at fra ett sekund og til tre sekunder her var den én komma ni og der er den tre komma tre, det blir vel en høydeforskjell på
Quiz section 20
Hvorfor er det nyttig å gjøre hoderegning i dette eksempelet?
For å unngå å bruke kalkulator.
For å raskt finne høydeforskjellen.
For å teste matematikkferdigheter.
Én komma fire.
Quiz section 21
Hva er resultatet av å subtrahere startverdien fra sluttverdien?
Produktet av de to verdiene.
Endringen eller økningen mellom to punkter.
Gjennomsnittet av de to verdiene.
Centimeter.
Quiz section 22
Så det må bety at stigningen er snakk om er én komma fire.
Quiz section 23
Nå skal jeg ta den litt sånn i sakte kino fordi vi kan illustrere hva det egentlig handler om ved å ta tre komma tre minus én komma ni. Det var det jeg sa jeg gjorde i hodet, og tre komma tre minus én komma ni det skulle bli én komma fire.
Quiz section 24
Så det er økningen i verdier.
Quiz section 25
Hva representerer delta y i beregninger?
Økningen i x-verdi.
Økningen i y-verdi.
Den totale y-verdien.
Stigningen.
Quiz section 26
Delta x fra ett sekund til tre sekunder det er jo to sekunder, men igjen kan vi jo
Quiz section 27
Si at det svarer til tre minus én
Quiz section 28
Hvordan finner vi delta x mellom to tidspunkter?
Ved å trekke start x-verdi fra slutt x-verdi.
Ved å legge sammen x-verdiene.
Ved å multiplisere x-verdiene.
Som er lik to.
Quiz section 29
Og hvis vi skal finne hva den gjennomsnittlige stigningen er per sekund, så var det altså en stigning på én komma fire centimeter på to sekunder, så da må det jo hvert sekund bli halvparten av det.
Quiz section 30
Delta y på delta x, én komma fire delt på to, det blir null komma syv.
Quiz section 31
Hva får vi ved å dele delta y på delta x?
Total tidsforløp.
Gjennomsnittlig stigning per sekund.
Sum av høydeendringene.
Så svaret på spørsmålet hva gjennomsnittlig stigning i høyde per sekund, det må bli null komma syv centimeter per sekund.
Quiz section 32
Her oppe står en sånn generell regel for gjennomsnittlig vekstfart delta y på delta x, det har vi allerede sett at vi har brukt. y to minus y en delt på x to minus x en. Det er jo ikke nødvendig å bruke en sånn formel, men det svarer til akkurat det vi gjorde her. Vi tok y-verdien til slutt minus y-verdien til å begynne med, y to minus y en, og så ser vi delta x, det er x-verdien til slutt x to minus x-verdien til å begynne med x en.
Quiz section 33
Hva uttrykker formelen delta y delt på delta x?
Totalt areal under grafen.
Gjennomsnittlig vekstfart eller stigningstall.
Forskjellen mellom x-verdier.
Da har vi avsluttet den, og så går vi opp og ser på en lineær funksjon, en rett linje av graf. Da er vekstfarten samme som stigningstallet. Bortsett fra det så er det samme prosedyre delta y på delta x.
Quiz section 34
Hva er spesielt med en lineær funksjon i forhold til vekstfart?
Vekstfarten er konstant og lik stigningstallet.
Vekstfarten varierer hele tiden.
Den har ingen vekstfart.
Her har vi to punkter som allerede er markert. Det ene punktet har x-verdien én og y-verdien to, og det andre punktet har x-verdien fire og y-verdien fire.
Quiz section 35
Hva er stigningstallet til en rett linje?
Forholdet mellom delta y og delta x.
Summen av x- og y-verdiene.
Differansen mellom x-verdiene.
Og da blir delta y
Quiz section 36
Hva trenger vi for å beregne delta y?
Y-verdien til slutt minus y-verdien til start.
X-verdien til slutt minus x-verdien til start.
Produktet av x og y.
Fire som er y-verdien til slutt minus y-verdien til å begynne med som er to, fire minus to, og det er jo
Quiz section 37
To. Økningen fra det punktet der til det punktet der er to.
Quiz section 38
Hva er delta x hvis x-verdiene er 1 og 4?
2
5
3
Delta x til slutt er x-verdien fire, og til å begynne med var x-verdien én, fire minus én.
Quiz section 39
Og det er tre.
Quiz section 40
Så stigningstallet til den linja vi har her er to tredjedeler.
Quiz section 41
Hva forteller stigningstallet oss om en linje?
Hvor mange punkter linjen har.
Hvor bratt linjen stiger eller synker.
Linjens totale lengde.
Som igjen er det samme som vekstfarten til den funksjonen som har den grafen.
Quiz section 42
Quiz section 43
Quiz section 44
05:15
Teori 2
Momentan vekstfart.
04:22
Teori 3
Den deriverte - stigningstallet til tangenten.
11:51
Teori 4
Den deriverte - definisjonen (full pakke).
05:39
Teori 5
Gjennomsnittlig vekstfart - i et konkret tilfelle.
05:05
Teori 6
Fortegnet til den deriverte.
05:59
Oppgave 1
Høyden til en plante, målt i cm, er t dager etter spiring gitt ved funksjonen
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene
a) [0,5] b) [5,10] c) [10,15]
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene
a) [0,5] b) [5,10] c) [10,15]
07:46
Oppgave 2
Gitt funksjonen
a) Tegn grafen for x mellom -2 og 2
b) Finn gjennomsnittlig vekstfaktor mellom x-verdiene 0 og 2.
c) Finn den momentane vekstfarten i x = 0 grafisk.
d) Finn den momentane vekstfarten i x = 1 grafisk.
a) Tegn grafen for x mellom -2 og 2
b) Finn gjennomsnittlig vekstfaktor mellom x-verdiene 0 og 2.
c) Finn den momentane vekstfarten i x = 0 grafisk.
d) Finn den momentane vekstfarten i x = 1 grafisk.
03:35
Oppgave 3
Gitt funksjonen , der . Bestem hvilken verdi for a slik at den gjennomsnittlige vekstfarten til i intervallet er lik 1.
03:15
Oppgave 4
Bruk definisjonen av den deriverte til å finne når
01:45
Oppgave 5
Gitt funksjonen , der . Bestem hvilken verdi må ha for at den momentane vekstfarten i er lik 2.
Hva beskriver gjennomsnittlig vekstfart?
00:00
Hva representerer Δy/Δx?
00:17
Hva er Δy/Δx definert som?
00:27
Hva gjør man for å forstå en funksjon visuelt?
00:35
Hva kalles en linje som skjærer gjennom en kurve på to punkter?
00:44
Hva kan brukes for å få oversikt over funksjonsverdiene?
00:57
Hva trenger man for å illustrere funksjonen grafisk?
01:17
Hva plasserer man i koordinatsystemet for å danne en graf?
01:36
Hvordan finner man grafens form?
01:41
Hva slags kurve danner en funksjon som x²?
01:51
Hvilken type funksjon danner ofte en parabel?
02:02
Hvilken metode brukes for å finne gjennomsnittlig vekstfart?
02:06
Hva representerer Δy?
02:25
Hva trenger man for å beregne Δy?
02:36
Hvor kan man hente funksjonsverdier for beregninger?
02:39
Hva kalles verdien man får ved å sette inn x i funksjonen?
02:48
Hvordan finner man endringen i y?
02:51
Hva tilsvarer Δy i en funksjon?
02:58
Hva beskriver f(a)-f(b)?
03:05
Hva er Δx?
03:24
Hva trenger du for å beregne gjennomsnittlig vekstfart?
03:32
Hvordan får man gjennomsnittlig vekstfart?
03:35
Hvis Δy=8 og Δx=2, hva er gjennomsnittlig vekstfart?
03:40
Hva kan Δy også kalles i en funksjon f?
03:45
Hva representerer f vanligvis?
03:48
Hva er Δf et alternativt uttrykk for?
03:52
Hva kalles en linje som går gjennom to punkter på en kurve?
04:15
Hvilken linje illustrerer gjennomsnittlig vekstfart?
04:49
En sekant er en linje relatert til hva?
04:56
Mellom hvilke typer x-verdier kan en sekant trekkes?
04:58
Hva tilsvarer stigningstallet til sekanten?
05:08
Hva bør man huske om gjennomsnittlig vekstfart og sekant?
05:29
Hva representerer grafen i det første eksempelet?
00:00
Hva betyr det når grafen viser negative høyder?
00:54
Hva ser vi på i forhold til bordet?
01:05
Mellom hvilke x-verdier beregner vi gjennomsnittlig stigning i høyde?
01:10
Hvorfor kaller vi vekstfarten for "stigning" i dette eksempelet?
01:27
Hvordan finner vi punktene for x = 1 og x = 3 på grafen?
01:37
Hva indikerer en høyere y-verdi ved x = 3 sammenlignet med x = 1?
01:49
Hvorfor ser vi på punktene ved x = 1 og x = 3?
01:55
Hva viser det at flua er høyere ved tre sekunder enn ett sekund?
01:59
Hva representerer økningen i y på grafen?
02:05
Hva bruker vi for å illustrere endringene på grafen?
02:12
Hva får vi ved å gå vannrett bortover på grafen?
02:16
Hva kalles økningen i y-verdi?
02:23
Hva representerer symbolet delta (Δ) i matematikk?
02:36
Hva kaller vi økningen i x-verdi?
02:51
Hvordan beregner vi gjennomsnittlig stigning mellom to punkter?
02:59
Hva trenger vi for å sette opp koordinatene til et punkt?
03:15
Hva representerer punktkoordinatene på grafen?
03:35
Hva er første koordinaten i et punkt?
03:41
Hva gjør vi etter å ha funnet x-verdien på grafen?
03:46
Hvorfor er det nyttig å gjøre hoderegning i dette eksempelet?
03:57
Hva er resultatet av å subtrahere startverdien fra sluttverdien?
04:13
Hva representerer delta y i beregninger?
04:43
Hvordan finner vi delta x mellom to tidspunkter?
04:59
Hva får vi ved å dele delta y på delta x?
05:20
Hva uttrykker formelen delta y delt på delta x?
05:41
Hva er spesielt med en lineær funksjon i forhold til vekstfart?
06:18
Hva er stigningstallet til en rett linje?
06:35
Hva trenger vi for å beregne delta y?
06:47
Hva er delta x hvis x-verdiene er 1 og 4?
07:03
Hva forteller stigningstallet oss om en linje?
07:20
Hva er stikkordene for å forstå forskjellen mellom gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart?
00:00
Hvilken funksjon har vi tegnet grafen til?
00:24
Hvilken farge har kurven til funksjonen \( f(x) = x^2 \) i vår tegning?
00:41
Hva representerer den blå streken i tegningen?
00:47
Hva trenger vi for å beregne gjennomsnittlig vekstfart?
01:05
Hvordan beregner vi gjennomsnittlig vekstfart?
01:18
Hva representerer gjennomsnittlig vekstfart i grafen?
01:57
Hva har vi nettopp beregnet?
02:13
Hva viser delta y og delta x i denne sammenhengen?
02:16
Hva er sammenhengen mellom momentan vekstfart og tangenten?
02:28
Hvordan berører tangenten og sekanten grafen forskjellig?
02:52
Ved hvilken x-verdi undersøker vi tangenten?
03:07
Hvorfor kan det være vanskelig å vite nøyaktig hvor tangenten treffer aksene?
03:12
Hvordan kan man tegne en eksakt tangent til en funksjon?
03:20
Hva kan skje når man tegner tangenter på øyemål?
03:34
Hvor mange punkter har tangenten til \( f(x) = x^2 \) felles med grafen?
03:46
Hva bruker vi for å beregne stigningstallet til tangenten?
04:07
Hvordan sammenlignes stigningstallet til tangenten med stigningstallet til sekanten?
04:19
Er gjennomsnittlig vekstfart større enn momentan vekstfart i dette eksempelet?
04:34
Hva kalles linjen mellom to punkter når vi ser på gjennomsnittlig vekstfart?
04:41
Hva avhenger verdiene av stigningstallet av?
04:57
Hva representerer momentan vekstfart i grafen?
05:07
Hva viser fortegnet til den deriverte?
00:00
Hva representerer den deriverte?
00:14
Når f'(x) > 0, hvordan er tangenten?
00:29
Hva betyr f'(2) > 0?
00:52
Hva er f'(x) ved et toppunkt?
01:06
Hva skjer med f'(x) når grafen synker?
01:22
Når grafen er stigende i et intervall, hvordan er f'(x)?
01:39
Hva er f'(x) nøyaktig ved et toppunkt?
01:52
Hvis grafen begynner å stige igjen senere, hvordan er f'(x)?
01:58
Hva viser en positiv derivert over et intervall?
02:04
Hva indikerer en negativ derivert?
02:12
Hvordan beveger grafen seg i et intervall med negativ derivert?
02:28
Hva betyr negativ derivert mellom to x-verdier?
02:30
Hva betyr f'(x)=0?
02:37
Hvor er f'(x) vanligvis null?
02:41
Kan f'(x)=0 også skje ved et bunnpunkt?
02:44
Betyr f'(x)=0 at grafen er flat i punktet?
02:52
Kan den deriverte være null i mer enn ett punkt?
02:56
Hvordan kan f'(x) finnes grafisk?
03:00
Hva trenger vi for å finne stigningstallet til en tangent?
03:11
Hva representerer delta y og delta x?
03:34
Hvordan finner man stigningstallet?
03:39
Hva trenger man for å beregne stigningstallet?
03:45
Hva representerer x-aksen?
03:49
Hva angir y-aksen?
03:51
Kan funksjonen ha negative y-verdier?
03:56
Hvordan får man stigningstallet fra delta y og delta x?
04:09
Hvordan kan man forenkle en brøk?
04:33
Hvorfor forkorter man en brøk?
04:35
Hva oppnår du ved å dele teller og nevner med samme tall?
04:43
Er den deriverte lik over hele grafen?
04:50
For å finne f'(x) i et punkt, hva må vi vite?
04:56
Hvilket begrep introduseres i videoen?
00:00
Hva tilsvarer momentan vekstfart?
00:06
Hva er et annet navn for momentan vekstfart?
00:26
Hvordan noteres den deriverte av en funksjon?
00:34
Hva representerer f-derivert av 2?
00:46
Hva bør vi automatisk gjenkjenne den deriverte som?
01:23
Hvordan finner vi stigningstallet til en tangent?
01:36
Hva er formelen for stigningstallet?
01:49
Hva er tangenten til en rett linje?
02:14
Hva er stigningstallet til en lineær funksjon f(x) = ax + b?
02:40
Hva representerer koeffisienten foran x i en lineær funksjon?
03:00
Hva er uttrykket for en konstant funksjon med verdi 2?
03:11
Hva er stigningstallet til en konstant funksjon?
03:16
Hvorfor har en horisontal linje stigningstall null?
03:37
Hvordan finner vi den deriverte for en krum linje?
03:41
Hvordan kan vi se at den deriverte ved x=4 er større enn ved x=2?
04:15
y er en funksjon av x. Når x øker fra 4 til 7, øker y fra -3 til 3
Riktig svar!
Stigningstallet er .
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene K ved å produsere x enheter av varen per dag er
,
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til K i intervallet . Hva forteller dette svaret oss?
b) Bestem K\'(100). Hva forteller dette svaret oss?
Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet null til hundre:
Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 40. Det betyr at kostnadene ved å produsere en enhet mere øker med 40.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hvis x øker fra 4 til 7, hva er da ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hvordan finne den momentane vekstfarten i x = a grafisk?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Den lineære går da bare gjennom det ene punktet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Den deriverte til en funksjon i x = a, er definert som
Riktig svar!
Slik er definisjonen.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Når den deriverte er negativ
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Fordi endringen er negativ.
Hva vil du si at uttrykket representerer?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Så det man får er endringen i y.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (2,f(2)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [ 1, 3 ] .
b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (a, f(a)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [a-1,a+1]. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
Se løsning og registrer oppgaven
Man får samme resultat som i a, men nå rent generelt for x = a.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (2,f(2)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [ 1, 3 ] .
b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (a, f(a)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [a-1,a+1]. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
Se løsning og registrer oppgaven
Man observerer at den momentane vekstfarten i (2,f(2)) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1,3].
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Se løsning og registrer oppgaven
Det at den momentane vekstfarten er 15 vil si at den deriverte er 15.
\begin{align} f\'(x) &= 15 \\\ 3x^2 + 3 &= 15 \\\ 3x^2 &= 12 \\\ x^2 &= 4 \\\ x &= \pm 2 \end{align}
Funksjonen har en momentan vekstfart på 15 når
og når
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Se løsning og registrer oppgaven
Siden den deriverte så vil alltids være større enn 0. Dette er fordi ikke kan bli negativt.
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Se løsning og registrer oppgaven
Deriverer funksjonen og setter så inn for x.
\begin{align} f(x) &= x^3 + 3x \\\ f\'(x) &= 3x^2 + 3 \\\ f\'(1) &= 3 + 3 = 6
Det dette tallet forteller oss er at funksjonen har en momentan vekstfart 6. Det vil si at om funksjonen ville fortsatt med samme vekstfart så ville den økt med 6 per 1 økning i x.
Funksjonen f er gitt ved
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at
Se løsning og registrer oppgaven
Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er:
Vi får da:
Hvilket skulle vises. (Delta x går jo mot null, så de to midterste leddene bortfaller.)
En funksjon f er gitt ved
Bruk definisjonen av den deriverte til a vise at
Se løsning og registrer oppgaven
Har at definisjonen av den deriverte er:
\begin{equation} f\'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \notag \end{equation}
Vi har allerede fått oppgitt at så det eneste vi trenger å finne er
\begin{align*} f(x+h)&=(x+h)^2 + 2(x+h) \\\ f(x+h)&=x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h \end{align*}
Setter så inn i definisjonen til den deriverte:
\begin{align*} f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h -(x^2 +2x)}{h}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 +2h}{h}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{\not{h}(2x + h +2)}{\not{h}}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} 2x+2 +h\\\ f\'(x)&=\underline{\underline{2x+2}} \end{align*}
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.