VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Litt repetisjon
18:38
25:55
21:34
34:11
25:05
14:39
15:51
29:06
20:52
Logaritmeregning
31:02
19:21
36:19
09:10
17:37
35:27
15:40
17:22
19:08
Grenseverdier og kontinuitet i funksjoner
66:44
08:47
07:03
11:44
Derivasjon i funksjoner
05:59
05:32
31:41
08:34
14:23
20:02
32:15
15:37
29:37
14:31
Sannsynlighetsregning
21:09
38:28
12:11
30:26
Modellering og regresjon
26:58
23:10
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
DEL 1 - Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
DEL 2 - Med hjelpemidler
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
06:24
Teori 1
Vi ser på sannsynlighetsbegrepet.
I denne videoen skal vi se litt på sannsynlighetsbegrepet.
Quiz section 0
Hva er hovedtemaet i videoen?
Sannsynlighetsbegrepet
Algebra
Mekanikk
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og før vi drøfter det skal vi se på det motsatte på mange måter, hvis vi har å gjøre med prosesser som er deterministiske.
Quiz section 1
Hva kjennetegner deterministiske prosesser?
Helt uforutsigbare
Ulike resultater hver gang
Samme resultat hver gang
Deterministiske betyr at ting gjentar seg hver gang vi gjør forsøket. For eksempel, hvis vi koker opp vann, varmer opp vann, og når vannet koker, så leser vi av temperaturen, og da vil det bli omtrent som vi har vist her at resultatet vil være en temperatur på hundre grader.
Quiz section 2
Hva skjer i en deterministisk prosess?
Resultatet er ukjent
Resultatet varierer tilfeldig
Resultatet er det samme hver gang
Det kan vi på en måte si på forhånd, fordi vi kjenner til kokepunktet til vann, de fleste av oss.
Quiz section 3
Kan vi forutsi resultatet i en deterministisk prosess?
Ja, det kan forutsies
Nei, det kan aldri forutsies
Bare noen ganger
Så forsøk, hvor det er determinisme, da kan vi gjøre forsøket en gang, og så kan vi gjøre det en gang til, og enda en gang, og vi vil få samme resultat hver gang.
Quiz section 4
Hva kjennetegner et deterministisk forsøk?
Ulike utfall hver gang
Avhenger av tilfeldigheter
Samme utfall hver gang
Det motsatte er tilfellet med såkalte tilfeldige forsøk. Mange tilfeldige forsøk har å gjøre med ting som spill og gambling og sånn. For eksempel, hvis vi triller en terning, da er det seks forskjellige utfall på terningen: en, to, tre, fire, fem eller seks. Men vi kan ikke på forhånd vite hvilket utfall terningen kommer til å få, hvor mange øyne terningen vil vise. Det samme gjelder kron og mynt; der er det bare to utfall, kron eller mynt.
Quiz section 5
Hva er spesielt med et tilfeldig forsøk?
Utfallet er ikke kjent på forhånd
Utfallet er alltid det samme
Utfallet er helt bestemt
Men på forhånd vet vi ikke hva det blir.
Quiz section 6
Kan vi vite utfallet av et tilfeldig forsøk på forhånd?
Nei, det kan vi ikke
Ja, alltid
Bare i noen tilfeller
Å trekke et kort. Det er ikke alltid det blir en [..], ofte blir det noe annet. Det er ikke bare i spill vi har sånne tilfeldige prosesser. For eksempel, når man får barn, så kan det jo bli gutt, men det kan også bli jente, og i utgangspunktet så vil kanskje mange si at det er omtrent femti femti, omtrent samme sannsynligheten for å få jente som å få gutt. Går vi inn i tallmaterialet, så viser det seg at det faktisk er litt, det bitte grann flere gutter enn jenter som blir født, og da betyr det at sannsynligheten for gutt er litt større enn sannsynligheten for jente.
Quiz section 7
Kan sannsynligheten avvike fra det vi intuitivt forventer?
Ja, den kan avvike litt
Nei, den er alltid som forventet
Den kan aldri endres
Vi skal se på et tilfeldig forsøk, og det er basert på at vi skal ha tre lapper. Det blir en slags loddtrekning. På den ene lappen står det et tall, på den andre står det et to-tall, og på den tredje står det et tre-tall. Så vi har tre utfall: trekkerlodd utfall en, to, tre.
Quiz section 8
Kan et tilfeldig forsøk ha flere mulige utfall?
Ja, det kan ha flere
Nei, bare ett
Maksimum to
Nå skal jeg gjøre en slik trekning. Da legger jeg
Quiz section 9
Kan vi utføre et tilfeldig forsøk fysisk?
Ja, ved å trekke lapper
Nei, aldri
Bare digitalt
Jeg bare legger lappen opp i en slik bag, og så må jeg ikke se opp i baggen. Så nå blir det spennende hva det blir.
Quiz section 10
Må vi unngå å se resultatet før trekningen?
Ja, vi må unngå å se utfallet på forhånd
Nei, det spiller ingen rolle
Bare noen ganger
Det blir en tre.
Quiz section 11
Kan utfallet av et tilfeldig forsøk være et tall?
Bare hvis tallet er 1
Nei, aldri
Ja, det kan være et tall
Ok. Det kunne vi ikke vite på forhånd, men når vi skal snakke om sannsynligheten.
Quiz section 12
Er utfallet av et tilfeldig forsøk kjent på forhånd?
Nei, det er ikke kjent
Ja, alltid
Ja, om vi gjetter
Så kan vi for eksempel lure på hva sannsynligheten er for å trekke en ener. Her har vi, her har jeg gjort litt research på forhånd på det forsøket. Jeg gjorde det forsøket tretti ganger.
Quiz section 13
Kan vi estimere sannsynlighet ved gjentatte forsøk?
Bare med ett forsøk
Nei, ikke i det hele tatt
Ja, ved mange gjentakelser
Og da ble det ni enere.
Quiz section 14
Kan vi telle antall ganger et bestemt utfall oppstår?
Ja, vi kan telle dem
Nei, vi kan ikke telle
Bare om vi gjetter
Så eneren oppsto i ni trettiendeler av alle gangene. Da sier vi at den relative frekvensen er ni trettiendeler, og hvis vi regner ut det som desimaltall, så er det null komma tre null null.
Quiz section 15
Hva kalles forholdet mellom antall hendelser og totalt antall forsøk?
Sannsynlighetsmodell
Relativ frekvens
Absolutt frekvens
Men jeg synes dette var veldig spennende. Så jeg gjorde det faktisk et hundre og tjue ganger, og så telte jeg opp enerne. Da ble det trettini enere. Trettini etthundreogtjueendeler blir den relative frekvensen, og det blir da null komma tre to fem. Men jeg stoppet ikke der, jeg fortsatte faktisk både sju hundre og tjue.
Quiz section 16
Blir sannsynlighetsestimatet bedre med flere forsøk?
Det endrer seg ikke
Nei, mindre presist
Ja, mer presist med flere forsøk
Og et tusen ni hundre og tjue, og jeg gjorde det faktisk tre tusen fem hundre og tjue ganger. Det er litt sært å gjøre den trekningen så mange ganger, men da ble det et tusen to hundre og tretten enere, og den relative hyppigheten da ble null komma tre fire fem.
Quiz section 17
Påvirker et større antall forsøk vår forståelse av sannsynlighet?
Det blir mer forvirrende
Nei, ingen forskjell
Ja, vi forstår den bedre
Da vil jeg si at enerne de dukker opp cirka trettifire komma fem prosent av gangene, så jeg vil si at sannsynligheten for å få en ener ligger i nærheten av null komma tre fire fem. Det er ikke sikkert det er akkurat det, men det ligger i nærheten, og det illustrerer en regel.
Quiz section 18
Kan sannsynlighet uttrykkes i prosent?
Ja, i prosent
Nei, aldri
Bare i heltall
Som på mange måter definerer sannsynlighet. Sannsynligheten for et utfall er den relative hyppigheten ved uendelig mange forsøk, og uendelig mange forsøk kan man ikke gjøre, men man kan gjøre veldig mange. Jeg gjorde tre tusen fem hundre og tjue forsøk, og jeg kunne fortsatt enda mer. Da hadde dere blitt kommet enda nærmere den virkelige sannsynligheten.
Quiz section 19
Hvordan defineres sannsynlighet formelt?
Som et gjetningstall
Som et enkelt utfall
Som relativ frekvens ved uendelig mange forsøk
Det vi også kan tenke litt på, som kanskje ikke har med dette å gjøre, er: Hva tror vi sannsynligheten er for å få en ener?
Quiz section 20
Kan vi anslå sannsynligheter ved logisk resonnement?
Ja, vi kan anslå med logikk
Nei, aldri
Bare med eksakt beregning
Jeg tror du er enig med meg i at sannsynligheten for å få en ener må være en tredjedel, fordi det er tre utfall, og det er vel omtrent like sannsynlig å få eneren som å få toeren og treeren. Og hvis det er sånn, så skulle jo resultatet ha blitt en tredjedel, som er null komma tre tre. Så ved det eksperimentet, når vi gjorde det på den måten, så fikk vi null komma tre fire fem, og det er jo ikke så langt unna en tredjedel som er null komma tre tre tre. Men det å tenke i en tredjedel og den logikken vi brukte, som bare var at vi tenkte oss hva sannsynligheten skulle bli, det er egentlig å bruke en sannsynlighetsmodell, og det kommer vi tilbake til senere.
Quiz section 21
Hvis alle utfall er like sannsynlige, hva blir sannsynligheten for hvert?
Lik for hvert utfall
Den varierer mye
Alltid null
Men måten å finne sannsynligheter på helt konkret, er faktisk å gjøre mange, mange, mange forsøk. Og så kan jeg røpe at jeg gjorde ikke tre tusen fem hundre og tjue trekninger. Det jeg gjorde, var at jeg fant en random generator, som det heter, en på nettet, slik at jeg fikk et slikt program på nettet til å simulere trekningen. Så det finnes masse slike simulatorer der ute. Men det er jo ikke sikkert at den simulatoren er akkurat det samme som å trekke lappene, men jeg tror den simulatoren var ganske grei.
Quiz section 22
Kan vi bruke simuleringer for å undersøke sannsynligheter?
Ja, simuleringer kan brukes
Nei, aldri
Bare i visse fag
Quiz section 23
Quiz section 24
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.