I denne videoen skal vi se på tall og tallmengder. Det er et tema som ikke er knyttet til en bestemt del av matematikken, men det er nyttig å ha bakgrunnskunnskap om tall og tallmengder. Man trenger det egentlig overalt. For eksempel, ser du i fasiten i matteboka di, så hender det kanskje at du ser løsninger skrevet som en mengde. Og sånne ting kommer vi litt inn på her.

På tavla her har jeg skrevet opp en del forskjellige tallmengder.

Egentlig så er det den mengden her nede som på en måte er det spesielle, de reelle tallene, og det er tallene på tallinja. Men før vi går inn på de, så begynner vi med de naturlige tallene. Det er en tallmengde som består av tallene en, to, tre og så videre. Det er sånne tall man bruker når man teller.

Så har vi hele tall. Her er den mengden skrevet opp på listeform. Vi ser det begynner et eller annet sted nedi her: minus to, minus en, null, en og to. Det er de naturlige tallene pluss null og pluss de tilsvarende negative tallene. De kaller vi hele tall, og det skjønner du sikkert hvorfor vi kaller det hele tall. Det er ikke noe desimaltall der, for eksempel.

Så har vi de rasjonale tallene. Det er tall som kan skrives som en brøk av to hele tall.

Jeg har også skrevet at nevneren ikke kan være null, for vi kan ikke dele på null. Rasjonale tall finnes det veldig, veldig mange av. Her har jeg skrevet opp noen rasjonale tall, for eksempel minus en halv. Det er jo minus en delt på to. Da er både teller og nevner hele tall.

Tallet 3,14. Da tenker jeg faktisk ikke på tallet Pi, da tenker jeg bare på desimaltallet 3,14. Det kan vi skrive som

tre hundre og fjorten delt på hundre.

Og da ser vi at det også

oppfyller definisjonen av et rasjonalt tall.

Et tall som kan skrives som en brøk av to hele tall.

Det samme gjelder det hele tallet sju. Det er også et rasjonalt tall, så vi kan, hvis vi vil, skrive det som sju delt på en.

Og igjen, da har vi fått på denne rasjonale formen. Da er vi klare for de reelle tallene. Det er tallene på tallinja.

Nå har vi litt lite plass her. Vi skulle kanskje tegne en tallinje et sted. Men

jeg sier det bare nå, så skal vi se en tallinje etterpå. De reelle tallene består både av rasjonale tall og det som heter irrasjonale tall. Det er tall som ikke kan skrives som en brøk av to hele tall. Eksempler på det er tallet Pi.

For Pi er ikke det samme som 3,14. Pi er nemlig et tall med uendelig mange desimaler.

Du kan få kalkulatoren din til å skrive Pi med kanskje tolv, tretten desimaler, men det er mange, mange flere igjen. Det er uendelig mange desimaler i tallet Pi.

Roten av to er også et irrasjonalt tall. Det kan man heller ikke uttrykke som en brøk med et helt tall i teller og nevner. Og vi kan også lage flere tall, for eksempel Pi tredjedeler. Siden telleren er irrasjonal, så vil det tallet der også være irrasjonalt.

De reelle tallene fyller altså hele tallinja. Nå skal vi se på skriveformen for tallmengder, og da har vi to

typer tallmengder. Vi kan ha en tallmengde som består av isolerte tall, og det skal jeg bare vise med to eksempler. Hva er for eksempel naturlige tall som er mindre enn fem? Det er de tallene vi har på tallinjen her. Vi har fire, tre, to

og en. Vi ser det ligger hver for seg på linja. De kan vi skrive på listeform, og da blir det at vi lager en klamme og så skriver vi en, to, tre og fire med komma i mellom.

Vi har en mengde til vi kan prøve å uttrykke også. Mengden B er hele tall større enn minus tre.

Og da har vi alle tallene fra minus to og oppover, alle de hele tallene. Og den vil vi da skrive om: minus to, minus en, null

og så fortsetter det sånn. Vi kan ta med en til kanskje. Og så bare prikk prikk prikk

Tre prikker, det er faktisk et etablert symbol som betyr 'og så videre'.

Så kan vi se på hvordan man skriver sammenhengende tallmengder. Da bruker vi en skriveform som kalles intervall. Vi kan se på det første eksempelet her. Her er x gitt ved at x skal være større enn to og samtidig skal det være mindre enn Pi. Hvis vi ser på en tallinje, så har vi to her. Kanskje også Pi er litt større enn to, for Pi er omtrent 3,14, så det ligger kanskje borti her et sted.

Da kan vi skrive at tallmengden er fra to til Pi med en sånn

en sånn

pil sånn

To, Pi

Hake kaller man de symbolene.

Og da betyr det at to ikke er med i mengden. Det er bare tall som er større enn to, og det betyr også at Pi ikke er med, men vi er helt opp til Pi. Så langt, så nært Pi vi bare kan komme, og det er veldig nært. De som driver med tallteori vet at det finnes utrolig masse tall, uendelig mange tall i nærheten av Pi, men vi skal helt bort til, men ikke ha med Pi.

Hvis vi derimot vil ha med endepunktene to og Pi i et intervall, da skriver vi i stedet mengden som

To

Komma Pi, sånn. Og da så dere at jeg brukte sånne hake, sånne klammer i stedet, sånn firkantede parenteser.

Og så, hvis jeg skal si at x er medlem i en mengde, så bruker jeg et sånt symbol som betyr 'element i'.

Elementer

Hvis du skal imponere på russekortet ditt, så kan du bruke det symbolet, for det betyr omtrent det samme som 'member of'.

Til slutt så ser vi på x større enn to og mindre eller lik Pi, bare for å se at vi ser systemet her. Vi skal altså være større enn to, da bruker vi

den haken

Og så Pi skulle få lov til å være med

Så da blir det en sånn firkantet parentes der, og så sånn 'member of' symbol. Så skal vi se på mengden av alle x'er som er mindre eller lik to, og to har vi på tallinjen der. Og mindre eller lik to betyr jo til venstre for to på tallinjen, ja, og der er det veldig mange tall. Der er det uendelig mange tall nedover, og tallinjen går jo endeløst nedover mot venstre. Og da vil jo mengden være sånn at den blir avsluttet med en sånn firkantet parentes fordi to er endepunktet og det

Det sier er det opprinnelige utdraget vårt. X skulle være mindre eller lik to, så to får lov å være med, men alle tall som er mindre enn to de uttrykker vi rett og slett ved hjelp av en pil.

Vi kan se her borte også. Hvis vi vil uttrykke x, alle x'er som er større enn tallet Pi, så blir det tilsvarende. Siden vi ikke hadde større eller lik men bare større, så blir det Pi, komma, og så pil oppover.