1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på gjennomsnittlig vekstfart, og det har vi sett på allerede i en tidligere video. Men i denne videoen skal vi ha et funksjonsuttrykk å jobbe med. I dette tilfellet er f av x lik x i andre.
klikk her for 10 sekunders quiz
På toppen av tavla står det en del formler. Dette er standarduttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, delta y på delta x.
Det blir y to minus y en over x to minus x en, og så står det noe her borte som vi kan kommentere til slutt.
Tegn grafen for x mellom null og fem. Gjør en litt mer lettelse på det.
Skulle bare ta den mellom null og fire, og deretter finner gjennomsnittlig vekstfart mellom x = en og x = tre, og til slutt stikkord sekant.
Tegn grafen for x mellom null og fire. Da må vi fylle ut en tabell. x i andre er en ganske grei funksjon: null i andre blir null, en i andre blir en, to i andre blir fire, tre i andre blir ni og fire i andre blir seksten. Og så trenger vi ikke femmeren.
Og så har vi jukset litt, så vi har et koordinatsystem som passer for den funksjonen. Koordinatsystemet går fra null til seksten på y-aksen. Han setter på y der, og så er det x der. Da holder det med null til fire, så punktet null null.
Og så kommer en, en, og en. Det blir liggende nedi der et sted.
To, da var y lik fire. Skal vi se, det blir her omtrent. På tre er vi på ni, og det skulle være her omtrent.
Og på fire har vi seksten. Da må vi tegne en glatt kurve, så får vi den typiske parabelen.
Som er som kurven til andregradsfunksjoner.
Det var på en måte bare oppvarmingen. Her har vi da en graf. Finn gjennomsnittlig vekstfart mellom x = en og x = tre, og da er stikkordet å bruke delta y på delta x. Så da kan vi først regne ut delta i.
Og delta x hver for seg. Delta y er altså y to minus y en, som det het, og da snakker vi om det punktet når x er en.
Og når x er tre.
Og da trenger vi ikke gå inn på grafen. Nå kan vi jo like gjerne finne tallene i tabellen.
Når x var tre, så var y ni.
Så økningen i y blir ni minus y-verdien når x var en, som er en.
Og det svarer til y to minus y en. Legg også merke til at det svarer til funksjonsverdien.
Når x var [..]. Vi kan si at det vi har gjort er å ta f av tre minus f av en. Det er det vi på en måte har gjort. Men uansett, ni minus en er jo åtte.
Og delta x, når x starter på en og slutter på tre, da er det en økning på tre minus en, som er to.
Og da blir det.
Gjennomsnittlig vekstfart, delta y på delta x.
Åtte delt på to, som er fire.
Men når vi opererer med
En funksjon som heter f.
Det heter jo her oppe. I stedet for å si delta y kunne de like gjerne sagt delta f, for det er økningen i funksjonen. Det er egentlig sånn at de tingene som står på tavla her bare er alternative skrivemåter. Det er for så vidt ikke noe nytt å tenke på, bortsett fra at man ikke bør bli skremt av å se noe sånt.
Og så var stikkordet sekant. En sekant er en linje som skjærer gjennom en graf eller en kurve. Det vi er ute etter her er egentlig den sekanten som går fra der x = en til der x = tre. Så det blir den linja. Jeg skal gå foran her nå så jeg får litt mer nøyaktig, og det beste er å bruke en linjal selvfølgelig.
Så den linja jeg tegnet der, det er sekanten.
Til grafen.
Mellom, jeg skriver det, for det er litt viktig å være presis, [..] ikke gjennom x = tre.
Og hvis vi skulle funnet stigningstallet til den linja, så hadde vi gjort akkurat det samme. Da hadde vi også tatt delta y på delta x, og så hadde vi tatt to punkter, og de to punktene er jo akkurat de to punktene vi har brukt. Dermed ser vi at den gjennomsnittlige vekstfarten svarer til stigningstallet til sekanten.
Det er verdt å ha litt i bakhodet videre i det temaet vi er på nå.
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene
a) [0,5] b) [5,10] c) [10,15]
a) Tegn grafen for x mellom -2 og 2
b) Finn gjennomsnittlig vekstfaktor mellom x-verdiene 0 og 2.
c) Finn den momentane vekstfarten i x = 0 grafisk.
d) Finn den momentane vekstfarten i x = 1 grafisk.
Riktig svar!
Stigningstallet er .
En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene K ved å produsere x enheter av varen per dag er
,
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til K i intervallet . Hva forteller dette svaret oss?
b) Bestem K\'(100). Hva forteller dette svaret oss?
Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?
Riktig svar!
Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet null til hundre:
Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 40. Det betyr at kostnadene ved å produsere en enhet mere øker med 40.
Riktig svar!
Riktig svar!
Den lineære går da bare gjennom det ene punktet.
Riktig svar!
Slik er definisjonen.
Riktig svar!
Fordi endringen er negativ.
Riktig svar!
Så det man får er endringen i y.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (2,f(2)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [ 1, 3 ] .
b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (a, f(a)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [a-1,a+1]. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
Man får samme resultat som i a, men nå rent generelt for x = a.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (2,f(2)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [ 1, 3 ] .
b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet (a, f(a)) og den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [a-1,a+1]. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
Man observerer at den momentane vekstfarten i (2,f(2)) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1,3].
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Det at den momentane vekstfarten er 15 vil si at den deriverte er 15.
\begin{align} f\'(x) &= 15 \\\ 3x^2 + 3 &= 15 \\\ 3x^2 &= 12 \\\ x^2 &= 4 \\\ x &= \pm 2 \end{align}
Funksjonen har en momentan vekstfart på 15 når
og når
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Siden den deriverte så vil alltids være større enn 0. Dette er fordi ikke kan bli negativt.
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem . Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen har momentan vekstfart lik 15 for to x-verdier.
c) Bestem disse x-verdiene.
Deriverer funksjonen og setter så inn for x.
\begin{align} f(x) &= x^3 + 3x \\\ f\'(x) &= 3x^2 + 3 \\\ f\'(1) &= 3 + 3 = 6
Det dette tallet forteller oss er at funksjonen har en momentan vekstfart 6. Det vil si at om funksjonen ville fortsatt med samme vekstfart så ville den økt med 6 per 1 økning i x.
Funksjonen f er gitt ved
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at
Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er:
Vi får da:
Hvilket skulle vises. (Delta x går jo mot null, så de to midterste leddene bortfaller.)
En funksjon f er gitt ved
Bruk definisjonen av den deriverte til a vise at
Har at definisjonen av den deriverte er:
\begin{equation} f\'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \notag \end{equation}
Vi har allerede fått oppgitt at så det eneste vi trenger å finne er
\begin{align*} f(x+h)&=(x+h)^2 + 2(x+h) \\\ f(x+h)&=x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h \end{align*}
Setter så inn i definisjonen til den deriverte:
\begin{align*} f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h -(x^2 +2x)}{h}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 +2h}{h}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{\not{h}(2x + h +2)}{\not{h}}\\\ f\'(x)&=\lim_{h \to 0} 2x+2 +h\\\ f\'(x)&=\underline{\underline{2x+2}} \end{align*}
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.