VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Litt repetisjon
18:38
25:55
21:34
34:11
25:05
14:39
15:51
29:06
20:52
Logaritmeregning
31:02
19:21
36:19
09:10
17:37
35:27
15:40
17:22
19:08
Grenseverdier og kontinuitet i funksjoner
66:44
08:47
07:03
11:44
Derivasjon i funksjoner
05:59
05:32
31:41
08:34
14:23
20:02
32:15
15:37
29:37
14:31
Sannsynlighetsregning
21:09
38:28
12:11
30:26
Modellering og regresjon
26:58
23:10
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
DEL 1 - Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
DEL 2 - Med hjelpemidler
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
03:55
Teori 1
Kontinuitet. Når en funksjon er kontinuerlig kan vi tegne en sammenhengende graf. Kravene til kontinuitet i et punkt er knyttet til grenseverdi.
I denne videoen skal vi se på hva som menes med kontinuitet og hva som menes med kontinuerlige funksjoner. Vi tar de viktigste tingene her, men det er sikkert lurt at du også ser på noen eksempelvideoer for å se litt mer konkrete detaljer.
Quiz section 0
Hva beskriver kontinuerlige funksjoner?
At de ikke har noen definert verdi
At de kan tegnes uten avbrudd
At de bare består av rette linjer
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Kontinuitet, det er det vi assosierer med en sammenhengende graf. En funksjon er kontinuerlig hvis vi klarer å tegne den som en sammenhengende graf. Så betyr det at hvis vi skal tegne sånn som her, har vi en funksjon som er tegnet opp.
Quiz section 1
Hva kjennetegner en sammenhengende graf?
Den har alltid bare positive verdier
Den har ingen hopp
Den er alltid stigende
Du kan bruke pennen og dra nedover, men når du kommer hit, gjør funksjonen et byks, og da blir det ikke sammenhengende. Da kan du si at her kan du ha kontakt mellom tusjen eller pennen og papiret hele veien, men når du kommer dit, må du løfte den opp, for da skal du fortsette der. Så kan du gjøre det på samme vis her borte. Er det noe greier også? Funksjonen er liksom definert der oppe plutselig. F av fem er lik to, og så fortsetter den igjen der. Da måtte jeg også løfte blyanten. Så det er to steder hvor den funksjonen ikke er kontinuerlig. Og så er resten av området kontinuerlig. Det vil si, her har vi skrevet at funksjonen f er kontinuerlig i hele definisjonsområdet, og det betyr hele definisjonsområdet sitt.
Quiz section 2
Hva indikerer et hopp i en funksjon?
At funksjonen ikke er kontinuerlig der
At funksjonen er periodisk
At funksjonen ikke har noen grenseverdi
Unntatt når X er en. Skal vi se hvor det var: der er minus fire, minus to, null og to. Da må en være der. Ja, det var der den hoppet.
Quiz section 3
Hva skjer ved et punkt med diskontinuitet?
Grafen må løftes for å fortsette
Grafen endrer retning, men uten hopp
Grafen forsvinner helt
Der er den ikke kontinuerlig, og X = fem. Ja, det var det andre stedet. Det var et eller annet rart her borte også. Du kommer til å se litt tydeligere hva disse tingene er i en eksempelvideo, som sagt.
Quiz section 4
Hva kalles et punkt der en funksjon ikke er kontinuerlig?
Et diskontinuitetspunkt
Et makspunkt
Et konstantpunkt
Og der den ikke er kontinuerlig, kan vi si at den er diskontinuerlig.
Quiz section 5
Hva kalles en funksjon som ikke er kontinuerlig ved et punkt?
Diskontinuerlig der
Periodisk der
Deriverbar der
Krav til kontinuitet i ett punkt: La oss si X = A.
Quiz section 6
Hva er et grunnleggende krav for kontinuitet i et punkt?
Grenseverdien må eksistere
Funksjonen må være synkende
Funksjonen må være periodisk
For det første må grenseverdien eksistere. Lim X går mot A til funksjonen, grenseverdien må eksistere.
Quiz section 7
Hva må være oppfylt for at en funksjon skal være kontinuerlig ved et punkt?
Funksjonen må være definert bare ved heltall
Grenseverdien må eksistere og tilsvare funksjonsverdien
Funksjonen må alltid være økende
Det er det første punktet, og det andre punktet er at den grenseverdien, når den eksisterer, er den samme som funksjonsverdien. Hvis vi ser på de to diskontinuitetspunktene hvor disse kravene ikke var innfridd, for det er egentlig sånn at det er sånn over alt. Hvis jeg går til det punktet her for å begynne der, da er det helt i orden alt sammen. Hvis du går med funksjonen, kommer... Hva nærmer funksjonsverdien seg når X går mot minus to?
Quiz section 8
Hva må grenseverdien være lik?
En vilkårlig verdi
Derivasjonen i punktet
Funksjonsverdien i punktet
Det ser ut som at den går mot en, blir det vel. Hvis du går fra andre kanten også, og selve funksjonsverdien er en, alt er i orden, begge krav er innfridd. Men hvis vi ser når X = en, når vi går fra venstre mot minus en, nærmer vi oss den verdien der som ser ut til å være minus en komma to, kanskje.
Quiz section 9
Hva om venstre- og høyregrensen ved et punkt er ulike?
Da eksisterer ikke en entydig grenseverdi
Da blir funksjonen lineær
Da blir funksjonen kontinuerlig
Mens når vi kommer fra høyre og nærmer oss [..], så stopper funksjonen. Den ser ut som en funksjonsverdi nærmer seg en. Det er jo to forskjellige verdier. Da er det ikke en grenseverdi.
Quiz section 10
Hva mangler hvis venstre- og høyregrenser ikke samsvarer?
En definert funksjonsverdi
En entydig grenseverdi
En negativ verdi
Så da er det det kravet der at grensa ikke eksisterer i det hele tatt som er problemet. Grenseverdien eksisterer ikke. Hva var problemet med X = fem? Jo, da er det jo... Det ser jo faktisk ut som at det er en grenseverdi, for funksjonen nærmer seg jo en egentlig, enten man går fra høyre eller venstre. Disse pilene betyr at funksjonen er definert fram til X = fem.
Quiz section 11
Hva betyr det når grenseverdien ikke eksisterer?
Punktet er alltid null
Punktet er et maksimum
Punktet er ikke kontinuerlig
Men akkurat med [..], så er jo verdien to, og grenseverdien var en, og funksjonen for den er to. Da ser vi at det kravet der ikke er innfridd, derfor ble det diskontinuerlig.
Quiz section 12
Hva om funksjonsverdien i punktet ikke samsvarer med grenseverdien?
Funksjonen er diskontinuerlig i det punktet
Funksjonen blir periodisk
Funksjonen blir deriverbar
Quiz section 13
Quiz section 14
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.