I denne videoen skal vi se på derivasjonsregler.

Her på toppen av tavla har vi derivert noen funksjoner. X derivert blir en. Står det x i andre, deriverte er lik 2x. Den har vi jo sett tidligere i en teorivideo hvor vi brukte definisjonen av den deriverte til å finne ut at x i andre derivert ble 2x. Akkurat det samme gjelder disse andre reglene som står her, at man kan bruke den definisjonen og vise at det er riktig at x derivert er lik en, og at x i tredje derivert blir tre x i andre. Generelt sett, hvis vi har en funksjon opphøyd i en eller annen potens, så vil x opphøyd i den potensen derivert bli det tallet, eller den eksponenten, ganger x opphøyd i noe som er et hakk mindre. Det ser vi jo stemmer her: x i andre, da har to-tallet hoppet foran, og så blir det ganger x opphøyd i første.

På samme måte med x i tredje. Deriverer vi det, så hopper tre-tallet foran, og så blir det x i andre i stedet. Det stemmer også for x i første, for da har en-tallet, når det står x i første, det står jo bare x, men det er jo x i første. Så en-tallet hoppet foran, ganger x opphøyd i null, og x i nullte er jo en. Så det stemmer for alle disse, og det stemmer også for negative tall.

X i femte.

Blir da fem som hopper foran, x opphøyd i et hakk mindre, det vil si fire.

I en over x kan vi bruke den regelen også på den.

Det kan vi. Hvis vi vet at en over x er det samme som x i minus en, så deriverer vi ned i stedet, og da har vi det akkurat på den formen vi vil. Minus en hopper foran.

Og så skal tallet bli et hakk mindre, og da blir det jo minus to.

Så da kan vi gå tilbake igjen til den formen vi hadde: det blir minus en delt på x i andre.

Så den regelen her gjelder for alle mulige eksponenter.

En annen regel.

Som også kan vises gjennom definisjonen av den deriverte, men nå tar vi det bare som en regel. Hvis vi har en funksjon som består av f av x ganger et tall, en konstant k.

Så kan vi bare ta den konstanten k og gange først, og deretter derivere den andre funksjonen. Hva betyr egentlig det? Det høres litt vanskelig ut kanskje, men det er det ikke i det hele tatt. Minus tre x i andre, minus tre, det er den konstanten vår, så den bare står foran.

Og så ganger vi x i andre, slik som vi alltid gjør. Det vil si slik som vi gjorde.

Her oppe i stad. X i andre, da hopper to-tallet foran.

Og så ganger vi det med x i første, og da blir det her minus seks x.

Tilsvarende med minus to tredeler x i tredje. Konstanten vår er minus to tredeler, den bare blir med på lasset som en faktor. Så deriverer vi x i tredje på vanlig måte: tre x i andre.

Og da kan vi ta.

Og tenke at tre er det samme som [..].

Og i stedet for å [..], kan vi dele tre på tre med en gang. Så vi får minus to.

X i andre.

På den.

Det var den regelen med en konstant ganger en funksjon, og hvordan man deriverer det.

En annen viktig regel er hvis vi har to ledd.

U av x er da et eller annet funksjonsuttrykk pluss et annet funksjonsuttrykk. Så når vi skal derivere hele den greia, så deriverer vi bare ledd for ledd, U-derivert pluss V-derivert.

Og igjen, regelen er nesten mer komplisert enn det blir når vi gjør det. For eksempel her: ved en funksjon to x i tredje minus tre halve x i annen pluss to x minus tre, da har vi fire forskjellige ledd. Når vi skal derivere funksjonen, så deriverer vi hvert ledd for seg. To ganger x i tredje, da har vi det totale.

Som igjen var den regelen vi nettopp snakket om.

Sånn.

Tre halvdeler blir med først.

Så har vi x i andre, da var det og to-tallet foran.

Og x.

Så har vi to x derivert. Det var bare en.

Hva så med tallet tre når vi deriverer det?

Ja, det enkleste er jo bare å vite at alle konstanter derivert blir null. Men vi kan jo si at tre, det er det samme som at det står tre ganger en, og en er jo det samme som x i nullte. Så hvis vi går opp igjen hit, så kan vi bare vise det som en egen regel på en måte. En

Derivert. Det er det samme som x i nullte derivert, og da skal nullen hoppe foran, og så skal vi gange med x opphøyd i null minus en. Men null ganger noe, det er jo null.

Så en derivert er null, og da må også tre derivert være null.

Og da oppsummerer vi ved å gange sammen seks x i andre.

Minus tre x pluss to.