I denne videoen skal vi se på fem regneregler for potenser. De regnereglene er, eller kan utledes av, de definisjonene vi så på i den forrige videoen. Jeg vil faktisk si at det er viktigere at du kan definisjonene fra den forrige videoen enn at du kan reglene uten at definisjonene kommer først. Det er det aller viktigste, faktisk. Men regler er greit, for de gjør at en del regneoperasjoner kan gjøres mye raskere.

De fem reglene vi skal se på er en regel for ganging av potenser, hvor vi har ganging av to potenser med samme grunntall (vi ser at det er a på begge her i den regelen). Etterpå skal vi gå gjennom en regel for deling av to potenser med samme grunntall.

I den tredje regelen møter vi en potens hvor grunntallet er et produkt, a gange b, i n-te. I den fjerde regelen er grunntallet en brøk.

Og til slutt er grunntallet en potens.

Vi begynner på toppen, og da skal vi også se litt på sammenhengen mellom definisjonen og regelen.

Regelen sier at en potens gange en annen potens, a i m ganger a i n, er lik a opphøyd i m pluss n. Vi kan altså legge sammen eksponentene. Det vil si at når vi har a i femte ganger a i andre kan vi

legge sammen fem pluss to, og det blir a opphøyd i sjuende.

Det kan vi se er riktig hvis vi går tilbake til definisjonen av potens, som er gjentatt multiplikasjon. For a i femte er a gange a gange a gange a gange a.

Når vi multipliserer med a i andre, får vi to a-er til.

Og det ser vi at er a i sjuende. Hadde vi brukt definisjonen, hadde det tatt litt lengre tid, så denne regelen er nyttig å bruke.

På samme måte kan vi vise at regelen om deling stemmer. Men hvis vi bare bruker regelen, så sier den at a i m delt på a i n er lik a opphøyd i m minus n. Med andre ord skal vi trekke eksponenten i telleren fra eksponenten i nevneren.

Det vil si at a i femte delt på a i andre blir a opphøyd i fem minus to, som er lik a i tredje.

Vi tar oss tid til å se at dette er riktig i forhold til definisjonene. Vi gjør ikke det i eksemplene etterpå, men gjennom alle reglene er det samsvar mellom regel og definisjon. A i femte kan vi se på som a gange a gange a gange a gange a, akkurat som i stad, delt på a i andre.

Og da kan vi jo forkorte.

A mot a, slik som jeg gjør nå, og da ser vi at det står igjen

a gange a, som er a i tredje.

Så vi ser at den regelen er i samsvar med definisjonen.

Nå går vi på de neste reglene, og her vil jeg bare vise noen regneeksempler på hvordan man bruker dem. Her har vi (a b) i n-te, et produkt a gange b. Da sier regelen at vi kan ta den første faktoren opp i n-te og gange med den andre faktoren opp i n-te.

Her har vi to x i tredje.

Det er to faktorer i produktet i parentesen: vi har to og vi har x. Regelen sier at vi kan ta to i tredje ganger x i tredje.

Og to i tredje er to ganger to ganger to, som er åtte. Så svaret der blir åtte x i tredje.

Det hadde vært ganske lett å regne ut ved bare å bruke definisjonen nå, faktisk.

Men det gjør jeg ikke nå.

Når vi har en brøk som grunntall, a delt på b i n-te,

så sier regelen at vi kan opphøye teller og nevner i n-te.

Det vil si en halv i tredje. Hvis vi regner det ut nå, blir det en

opphøyd i tredje delt på to i tredje.

En opphøyd i tredje, ut fra definisjonen, er en ganger en ganger en, som er en.

To i tredje er to ganger to ganger to. Det har vi sett før i dag, så det er åtte.

Da har vi den siste regelen.

Der ser vi at grunntallet er en potens, a opphøyd i m.

Og regelen sier at når vi har en potens opphøyd i n-te, så kan vi gange de to eksponentene med hverandre.

Så fem i tredje opphøyd i åtte gir så store tall at det ikke ville vært fristende å bruke definisjonen, for da måtte vi gjentatt åtte ganger. Men regelen sier at vi bare kan gange tre og åtte, så da får vi fem opphøyd i tjuefire.