1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
a) En uendelig geometrisk rekke.
b) En brøk.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Konvergerer rekka? - Finn evenetuelt summen.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
a) Forklar at rekka er geometrisk.
b) For hvilke x-verdier konvergerer rekka?
c) For hvilken x-verdi blir summen av rekka lik 2?
d) For hvilken x-verdi blir summen lik 1 ?
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a) Bestem konvergensomrâdet til rekken.
b) Løs Iikningene
Riktig svar!
Riktig svar!
I rekka er k = 2x, og absoluttverdien av x må være mindre enn 1/2 for at k skal være imellom -1 og 1.
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Bestem x slik at
Riktig svar!
Sumformelen for uendelig geometrisk rekke er gitt ved
Vi får da
Vi ser at er med i konvergensområdet til rekken, og er dermed en løsning av likningen
Riktig svar!
Siden da bli leddene mindre og mindre.
Riktig svar!
Den konvergerer mot en bestemt verdi.
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Bestem x slik at
Rekken har kvotienten og konvergerer når .
Ved å betrakte brøken ser vi at den vil ligge i området når
Konvergensområdet til rekken er
En uendelig rekke er gitt ved
-
a) Vis at , når
Det kan vises at
(1)\' + (x)\' + (x^{2})\' + (x^{3})\' + \ldots = (\frac{1}{1-x})\', når -
b) Vis at
, når -
c) Bruk resultatet i oppgave b) till å vise at
-
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
-
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme
\displaystyle \begin{align*} 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots & = \frac{1}{(1-x)^2} \\\
\Rightarrow 1 + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \ldots & = \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2} \right)^2} \\\
\Rightarrow 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots & = \frac{1}{\frac{1}{4}} \\\
\Rightarrow 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots & = 4\end{align*}
Hvilket skulle vises.
En uendelig rekke er gitt ved
-
a) Vis at , når
Det kan vises at
(1)\' + (x)\' + (x^{2})\' + (x^{3})\' + \ldots = (\frac{1}{1-x})\', når -
b) Vis at
, når -
c) Bruk resultatet i oppgave b) till å vise at
-
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
-
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme
\displaystyle\begin{align*} (1)\' + (x)\' + (x^2)\' + (x^3)\' + \ldots & = \left(\frac{1}{1-x}\right)\' \\\
\Rightarrow 0 + 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots & = \frac{0\cdot(1-x) - 1\cdot(-1)}{(1-x)^2} \\\
\Rightarrow 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots & = \frac{1}{(1-x)^2}\end{align*}
Hvilket skulle vises.
En uendelig rekke er gitt ved
-
a) Vis at , når
Det kan vises at
(1)\' + (x)\' + (x^{2})\' + (x^{3})\' + \ldots = (\frac{1}{1-x})\', når -
b) Vis at
, når -
c) Bruk resultatet i oppgave b) till å vise at
-
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
-
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme
Når , konvergerer rekken.
Formelen for summen av en uendelig, konvergerende, geometrisk rekke er
og
Hvilket skulle vises.
a) Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut
b) En geometrisk rekke er gitt ved og .
Avgjør om den uendelige rekken konvergerer. Bestem eventuelt summen av rekken.
Vet at rekken er geometrisk, så må følge formelen
For å finne bruker vi det at
Siden så konvergerer rekken
Bruker så summen av en uendelig konvergent rekke, som er:
Ser at vi trenger , så finner den ved å dele på .
Funksjonen er gitt ved
\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <div style="opacity:0.4";><p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></div></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}
Vi skal nå se på den uendelige rekken
b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at
c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for .
Resultatet fra oppgave a) var at:
S er en uendelig rekke, som vil så at . Det betyr at:
S \\leq 1 + \\inf_{1}^{\\infty} = 2
Så
Funksjonen er gitt ved
\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <div style="opacity:0.4";><p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></div></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}
Vi skal nå se på den uendelige rekken
b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at
c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for .
Setter inn i CAS og som regner det ut for oss med "Sum( Uttrykk, Variabel, Start, Slutt )".
Det betyr at summen .
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.