$x^{2}-2x+y^{2}+6y+z^{2}-4z-11=0$
$(4)^{2}-2(4)+(1)^{2}+6(1)+(2)^{2}-4(2)-11=0$
$16 - 8 + 1 + 6 + 4 - 8 - 11 = 0$
$0=0,VH=HS$
Punktet P tilfredsstiller likninga for kuleflaten.

$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 6z + 2 = 0$

$\displaystyle 2^2 + 3^2 + 5^2 - 2(2) - 2(3) - 6(5) + 2 = 4 + 9 + 25 - 4 - 6 - 30 + 2 = 40 - 40 = 0$

$\displaystyle\Rightarrow$ punktet ligger på kulen.

Siden kuleflaten tangerer $\alpha$ så betyr det at radiusen $\overrightarrow{r}$ og planet står normalt på hverandre, altså $\angle{(\alpha , \overrightarrow{r})} = 90^{\circ}$

Det vil videre si at radiusen $\overrightarrow{r}$ og normalvektoren $\overrightarrow{n}$ til $\alpha$ er parallelle. Kuleflaten tangerer i $A$, og siden linjen gjennom $A$ med retningsvektor $\overrightarrow{n}$ er linjen $\ell$, så er sentrumet $S$ til kuleflaten ligger på linjen $\ell$.

$S = \left( 3 +1 , 1-4t , t\right)$

Avstanden fra $A$ til $S$ er radiusstørrelsen $|\overrightarrow{AS}|$. Det vil si:

$\overrightarrow{AS} = \left[t, -4t, t \right]$

$r = |\overrightarrow{AS}| = \left | \left[t, -4t, t\right] \right | = \sqrt{t^2 + 16t^2 + t^2} = \sqrt{18t^2}$

Bruker så likning for kuleflate og får at:

$K: \ (x-(3+t))^2 + (y-(1-4t))^2 + (z-t)^2 = (\sqrt{18t^2})^2$

$K: \sapce (x- 3- t)^2 + (y-1+4t)^2 + (z-t)^2 = 18t^2$

Det er det vi skulle vise og oppgaven er da ferdig.