Riktig svar!

$\displaystyle \int 2x \cdot \sin (x^2) \, \mathrm{d}x$
La $\displaystyle u = x^2$
\displaystyle \begin{align*} \Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x \\\ \Rightarrow \mathrm{d}u = 2x \ \mathrm{d}x \end{align*}
$\displaystyle \int 2x \cdot \sin (x^2) \, \mathrm{d}x = \int \sin u \, \mathrm{d}u = -\cos u + C = -\cos (x^2) + C$

Riktig svar!

$u=u(x)=e^{x}+1\Rightarrow u\'=\frac{du}{dx}=e^{x}$

$\int \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}dx=\int \frac{\frac{du}{dx}}{u^{2}}dx=\int \frac{1}{u^{2}}du=\frac{1}{-1}u^{-1}+C=-\frac{1}{e^{x}+1}+C$

Riktig svar!

Riktig svar!

Vi bruker delbrøkoppspalting.
Vi kan faktorisere nevneren til $(x-2)(x+1)$ og kan da skrive
$\int \frac{3x}{x^{2}-x-2}dx = \int(\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1})dx$
$\int \frac{3x}{x^{2}-x-2}dx = A\int \frac{1}{x-2}dx + B\int \frac{1}{x-1}dx$
Vi finner koeffisientene A og B
$\frac{4}{x^{2}-x-2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \\\ \frac{3x}{x^{2}-x-2} = \frac{A(x+1)}{(x-2)(x+1)} + \frac{B(x-2)}{(x+1)(x-2)} \\\ \frac{3x}{x^{2}-x-2} = \frac{Ax+A+Bx-2B}{(x-2)(x+1)} \\\ \frac{3x+0}{x^{2}-x-2} = \frac{(A+B)x+(A-2B)}{(x-2)(x+1)} \\\ A+B=3 \wedge A-2B=0 \\\ B=3-A \wedge A=2B \\\ B=3-2B \wedge A=2B \\\ B=1 \wedge A=2$
Vi stter A og B inn i det opprinnelige integralet og får
$\int \frac{3x}{x^{2-x-2}}dx = A\int\frac{1}{x-2}dx + B\int\frac{1}{x+1}dx \\\ = 2\int\frac{1}{x-2}dx + 1\int\frac{1}{x+1}dx \\\ = 2ln|x-2| - ln|x+1|+C$