1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
Vi har nå tegnet grafen til funksjonen sinus x.
klikk her for 10 sekunders quiz
Og den ser vi har verdier mellom minus en og en, og det er jo på grunn av enhetssirkelen. Sinus er jo andre koordinaten til skjæringspunktet mellom vinkelbeina og enhetssirkelen.
Hva er det mer eller mindre enn, og så ser vi at når vi kommer til to pi, så gjentar alt seg, og det er jo fordi perioden til Sinus funksjon er lik to pi. Det går også på at da er vi jo bare på [..] runde nummer to på enhetssirkelen. Alt gjentar seg.
Vi har nå lagt til en funksjon til.
To sin x. Og da ser vi at den funksjonen er jo ganske lik sinus x, som var den [..] funksjonen. Forskjellen er at alt blir to ganger så stort. Alle i-verdier er dobbelt så store som de var i stad.
Vi sier at amplituden til den funksjonen er lik to.
Nå vil jeg skissere funksjonen to sin x minus en.
Og da skal jeg bruke helt trukken linje. Det er jo veldig mye likt med den over der. Men det som er forskjell, er at argumentet til Sinus funksjon blir jo en mindre hele tiden, så det betyr at hvis nullpunktet til Sinus funksjonen som vi tegner i stad, den der to sin x, den var på null. Nå vil det tilsvarende nullpunktet bli når x = en, for da blir det jo en minus en som er null. Det er det samme som når du bare står nu der oppe, så det betyr egentlig at den funksjonen kommer til å bli kliss lik.
Den funksjonen.
Vi tegnet i stad.
Bare at den er forskyvd. Det kalles å være faseforskyvd.
I forhold til.
En vanlig sinusfunksjon, så den er faseforskyvd.
Vi skal nå tegne funksjonen når to [..] sinus x minus en, det var det vi hadde der, pluss en.
For det betyr jo at alle i-verdier til den funksjonen der oppe blir jekka opp med en, så vi får en ny likevektslinje. Ser vi at vi får likevektslinja x = en, og så går sinusfunksjonen.
Det var altså den funksjonen der, så alt blir ett hakk større. Så i stedet for at nullpunktet blir på x pluss en, blir det skjæringen med likevektslinja, og bunnpunktet vil fortsatt være på samme sted som i stad, et eller annet sted jeg var borti her. Nå er det også litt større, og så fikk en der det var et nullpunkt i stad, og så skjæring med den nye likevektslinja, og toppunktet blir liggende på samme sted. Skal vi se? Det er null komma fem hundre der.
Ja.
Sånn og sånn. Da har hele veien er funksjonen blitt ett hakk større, kan være at ikke det. Og vi må tenke vertikalt, og det skal alltid være avstand, enig, mellom de to grafene. Det er ikke sikkert jeg fikk det perfekt til, men sånn cirka.
Nå har vi tegnet enda en graf, og da begynner det å bli veldig mange grafer her, men det er den svarte linja to sinus. Det hadde vi fra før. Amplituden er to sinus, og i stedet for x minus en, to x minus en, og så pluss en til slutt, sammen likevektslinjen i = en. Men nå er det altså to foran x, og det gjør at funksjonen svinger dobbelt så fort, for å si det sånn, så nå blir det dobbelt så mange toppunkter.
I hvert intervall på en måte, så mellom null og to pi nå, så har vi to topper og to bunder, og en, to, tre, fire nullpunkter, eller fire passeringer rundt likevektslinja, kan vi si.
Så den er litt mer ja.
Ting går fortere, og nå begynner det å bli veldig rotete der, så vil også anbefale den videoen vi gjør i GeoGebra. Da er det lettere å se disse tingene kanskje.
Oppsummert: a Sinus Bx pluss c pluss d. Hvis vi har en sånn funksjon, kan vi se på a som amplituden – hvor mye den svinger, hvor høyt den svinger på en måte. Perioden, det er altså hvor ofte ting gjentar seg. Den har å gjøre med b-en nå. Er det ikke sånn b-en er perioden? Perioden er faktisk to pi delt på B. Vi husker jo det at når vi startet med sinus x, da er b lik en. Da var perioden to pi. Og hvis vi går over til sinus to x i stedet, så blir perioden to pi delt på to, som er en pi. Så den siste funksjonen vi tegner, denne perioden gikk en tid. Så var det det der at når vi trekker fra et tall, så blir det en faseforskyvning.
I det tilfellet her, så er [..] faseforskyvningen en. Men hvis det står et tall foran der, sånn som det totale, så må vi dele på det, så det blir C delt på B. Så det betyr at her hadde vi en fortsatt faseforskyvning på en, og her nede har vi faktisk bare en faseforskyvning på en halv. Og så var det likevektslinjen. Det var altså det der leddet vi har til slutt her, det er liksom det må ... Ja, i.
a) Når er temperaturen høyest, og hvor mange grader er det da?
b) Når er temperaturen lavest, og hvor mange grader er det da?
c) Hva er gjennomsnittstemperaturen?
a) Hva er vanndybden kl 6 om morgenen?
b) Forklar hvorfor den største vanndybden blir 5,1 meter.
c) Hva blir den minste vanndybden?
d) Hva er perioden til funksjonen f ?
Riktig svar!
Siden økningen i x som trengs for å få en endring på 2 pi er mindre når det er 3x enn når det er 2x.
Riktig svar!
Siden g får sin-verdiene som f har litt senere enn f gjøre.
Gitt funksjonen . Amplituden er
Riktig svar!
Siden sin(3x) kan gå mellom 1 og -1, ganget med 2 blir det fra 2 til - 2, og amplituden blir da 2.
Gitt funksjonen . Perioden er
Riktig svar!
Fordi når x endrer seg så mye vil 3x ha endret seg 2 pi.
Gitt funksjonen . Likevektslinja er
Riktig svar!
Likevekstlinja er leddet som er plusset på utenfor sinus.
En funksjon f er gitt ved
Grafen til funksjonen har et toppunkt i (0,7). Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunltet er (2,3).
-
a) Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives
-
b) Lag en skisse av grafen til f for .
.
Hvilket skulle vises.
En funksjon f er gitt ved
Grafen til funksjonen har et toppunkt i (0,7). Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunltet er (2,3).
-
a) Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives
- b) Lag en skisse av grafen til f for .
Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen gitt ved
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene og i modellen .
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
Funksonen er på formen:
Hvor perioden er gitt ved:
Det betyr at det tar 12,5 timer mellom vannstanden er på samme høyde.
Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen gitt ved
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene og i modellen .
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
148 forteller oss likevekstlinjen til svingningen. Det vil si at 148 cm er "nullnivået" til vannstanden i Tromsø.
130 forteller amplituden til funksjonen. Praktisk sett så vil det si langt ifra likevekstlinjen, i dette tilfellet 148 cm, vannstanden er på sitt høyeste eller laveste.
Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen gitt ved
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene og i modellen .
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
Løser dette i CAS.
Det betyr at vannstanden øker med 50 cm per time klokken: 02.27, 12.13 og 15.00 den dagen.
London Eye er et pariserhjul med diameter lik . En runde tar . Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger over bakkenivå
Etter t min fra ombordstigning er en passasjer over bakkenivå. Det kan vises at
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til h for . Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.
b) Bestem vendepunktene på grafen til h.
Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av og gir.
Bruker kommandoen «Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» i GeoGebra og tegner grafen i oppgitt intervall.
Vi legger inn linjen i samme koordinatsystem som grafen til h. Ved å bruke verktøyet «skjæring mellom to objekt» finner vi skjæringspunktene A og B, se graf. Vi finner at passasjeren er 50 meter over bakken etter 6 minutt og 6 sekund og etter 23 minutter og 56 sekund.
London Eye er et pariserhjul med diameter lik . En runde tar . Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger over bakkenivå
Etter t min fra ombordstigning er en passasjer over bakkenivå. Det kan vises at
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til h for . estem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.
b) Bestem vendepunktene på grafen til h.
Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av og gir.
Vi får vendepunkt der funksjonen krysser likevektslinjen. I vårt tilfelle får vi vendepunktene og , se punkt C og D nedenfor.
Vi kunne også finner vendepunktene til h ved å løse likningen h\'\'(t) = 0. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra vil vi kun få løsning ved å bruke kommandoen «løs numerisk».
Vi må da se at grafen til h har perioden
Det betyr at vi får vendepunkt ved .
og viser den største endringshastigheten til pariserhjulet. Etter er hastigheten 14,14 meter/minutt oppover og etter er hastigheten 14,14 meter/minuttet nedover.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.