VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Vektorer & romgeometri
47:13
23:11
29:25
07:03
25:18
47:19
18:32
13:06
35:23
05:34
27:40
14:06
07:42
11:36
Tallfølger og rekker
09:41
15:19
02:19
08:08
05:02
19:30
10:17
17:10
14:47
28:33
08:26
16:24
Trigonometriske funk
31:20
03:26
13:30
10:48
27:33
07:02
19:22
05:54
18:56
30:28
13:18
32:51
28:58
Funksjoner og grafer
05:44
12:42
04:37
08:45
Integrasjon
07:47
10:26
12:45
13:07
37:50
15:14
44:57
22:29
11:54
07:58
Differensiallikninger
10:18
16:44
26:49
45:38
47:02
03:48
07:23
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
01:48
Teori 1
Hva er en omdreiningsfigur?
I denne videoen skal vi se hva som menes med omdreiningsfigur, og da ser vi at vi her har en graf f av x, og så har vi x-aksen og y-aksen. Men nå må vi tenke tre dimensjoner, og det vi da gjør er at vi tenker oss at ja, at vi dreier det punktet om x-aksen. Da mener vi det at når vi sier det, så betyr det at alltid så skal avstanden, akkurat som vi tar det punktet og så snurrer det rundt x-aksen, sånn at alltid avstanden er den samme ned til x-aksen. Men da blir det ut sånn, og så kommer vi dit, og så går vi på baksiden opp igjen. Så den der greia der, det blir jo da en sirkel. Hvis vi gjør det her borte, så ser vi at det blir en litt mindre sirkel, fordi der er det kortere avstand. Og hvis vi gjør dette over alt.
Quiz section 0
Hvilket tverrsnitt dannes ved rotasjon av en kurve rundt en akse?
Sirkel
Kvadrat
Trekant
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Så får vi jo, og la oss si at vi begrenser oss til å gjøre det mellom A og B, x-verdien a og x-verdien b. Da vil du bli her [..]. For det første så blir jo dette på en måte et sånn speilbilde.
Quiz section 1
Hva kalles tallene som markerer start og slutt på et intervall?
Grenseverdier
Uendelige tall
Tilfeldige tall
Som går litt opp igjen der.
Quiz section 2
Hvor mange dimensjoner har en omdreiningsfigur?
Tre
To
Én
Og det blir noe sånn da, men men så er det jo sånn at dette blir jo.
Quiz section 3
Hva kalles linjen en figur dreies rundt?
Akse
Punkt
Overflate
I hele veien.
Quiz section 4
Fører full rotasjon til en lukket form?
Ja
Bare iblant
Nei
Så da blir det egentlig en sånn vase, nærmest. Skal vi se sånn.
Quiz section 5
Hvilken gjenstand kan en rotert form ligne på?
Trekant
Vase
Penn
Da blir det en slags vase.
Quiz section 6
Hvilken form har tverrsnittet i en omdreiningsfigur?
Linje
Kvadrat
Sirkel
Hele veien så er det et [..] der vi kapper av, der er det en sirkel. Uansett hvor vi er, så er den sirkel sånn liksom tverrsnittet, som det heter. Så vi har en romfigur med sirkulært tverrsnitt, en liggende vase, og det vi skal se på i de neste videoene, det er jo da hvordan vi regner ut volumet til den vasen.
Quiz section 7
Hva kan man beregne for en tredimensjonal omdreiningsfigur?
Volum
Perimeter
Vinkel
Quiz section 8
Quiz section 9
Hvilket tverrsnitt dannes ved rotasjon av en kurve rundt en akse?
00:00
Hva kalles tallene som markerer start og slutt på et intervall?
00:50
Hvor mange dimensjoner har en omdreiningsfigur?
01:06
Hva kalles linjen en figur dreies rundt?
01:09
Fører full rotasjon til en lukket form?
01:14
Hvilken gjenstand kan en rotert form ligne på?
01:18
Hvilken form har tverrsnittet i en omdreiningsfigur?
01:23
Hva kan man beregne for en tredimensjonal omdreiningsfigur?
01:26
Hva skal vi finne her?
00:00
Rundt hvilken akse dreies figuren?
00:12
Hva deles vasen inn i?
00:34
Hvilken form ligner én slik skive på?
00:56
Hva er radien på skiven?
01:04
Hvilken metode brukes for å summere volumet?
01:31
Hva skal vi øve på i neste steg?
02:29
Hva er den mest presise geometriske tolkningen uttrykket ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Det er volumet av et omdreiningslegeme som representeres når man legger alle de volumene sammen.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen gitt ved
Vi dreier grafen til f om -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.
- a) Bestem volumet av omdreiningslegemet.
-
b) Bestem . omdreiningslegemet har overflateareal O(a). Forklar at O(a) > .
-
c) Vi lar Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.
Bestem og dersom grenseverdiene eksisterer. kommenter svarene.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
\displaystyle\begin{align*} V(a) & = \pi \int_1^a \left(\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{d}x \\\ & = \pi \int_1^a \frac{1}{x^2}\\ \mathrm{d}x \\\ & = \pi \left[-\frac{1}{x}\right]_1^a \\\ & = \pi \left(-\frac{1}{a} - \left( -\frac{1}{1}\right)\right) \\\ & = \pi \left( 1 - \frac{1}{a}\right) \end{align*}
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen gitt ved
Vi dreier grafen til f om -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.
-
a) Bestem volumet V(a) av omdreiningslegemet.
-
b) Bestem . omdreiningslegemet har overflateareal O(a). Forklar at O(a) > .
-
c) Vi lar Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.
Bestem og dersom grenseverdiene eksisterer. kommenter svarene.
Riktig svar!
\displaystyle\begin{align*} & O(a) > \int_1^a f(x)\ \mathrm{d}x \\\
& \Rightarrow \lim_{a \to \infty } O(a) > \lim_{a \to \infty } \int_1^a f(x)\ \mathrm{d}x \\\
& \Rightarrow \lim_{a \to \infty } O(a) > \lim_{a \to \infty } \ln a \\\
& \Rightarrow \lim_{a \to \infty } O(a) = \infty \end{align*}
Dette resultatet tilsier at når Gabriels horn blir uendelig langt, er limitverdien til hornets volum lik , mens overflatearealet vokser seg større og større mot uendelighet. Illustrasjonen nedenfor oppgaven beskriver det praktiske paradokset om Gabriels horn, som går ut på at det trengs en uendelig mengde maling for å male hele overflatearealet til hornet, mens man kan helle en endelig mengde maling nedi hornet for å fylle dets volum.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hva slags omdreiningsfigur finner vi volumet til ved ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Man roterer om x-aksen.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
=
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Kvadratrot og opphøying i andre nullerer hverandre.
Funksjonen f er gitt ved
Vi roterer grafen til grader om x-aksen.
Vis at volumet V av omdreiningslegemet blir
Se løsning og registrer oppgaven
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.