VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Følger og rekker
07:59
08:38
28:45
49:28
40:20
37:31
28:19
27:38
Integrasjon
50:14
21:01
10:10
13:14
44:32
83:00
34:51
23:29
44:01
Trigonometri
10:20
08:45
09:01
03:26
65:54
40:27
19:22
13:56
31:47
19:57
Modeller
10:13
Romgeometri
17:44
05:22
41:05
27:34
16:06
21:08
14:54
11:48
39:04
13:56
40:51
19:51
27:40
16:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
06:29
Teori 3
Arealet under graf, med geogebra.
Arealet under en graf med GeoGebra.
Quiz section 0
Hvilken metode brukes for å beregne arealet under en kurve?
Integrasjon
Derivasjon
Multiplikasjon
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Integrasjon.
Quiz section 1
Kan integrasjon brukes til å summere små biter av areal?
Ja
Nei
Usikkert
Da går vi inn i GeoGebra og tar et par tilfeldig valgte funksjoner, mer eller mindre. Det er et par ting [..] faktisk som vi skal tenke litt på etter hvert. La oss ta en enkel og grei ting som sinus x.
Quiz section 2
Er det mulig å integrere ulike funksjoner?
Nei
Ja
Bare lineære
Her [..], harmonisk og fin.
Quiz section 3
Finnes det funksjoner med periodiske egenskaper?
Ja
Nei
Bare i geometri
Og så vil vi ha det arealet mellom null og ti. Og da skriver jeg da integral. Vi ser at det er noe, vi ser jo at det er noe som skjer her nede.
Quiz section 4
Kan man bruke integrasjon for å finne areal over et gitt intervall?
Nei
Ja
Bare for negative intervaller
Integral.
Quiz section 5
Hva kalles prosessen for å finne en antiderivert?
Ingen av delene
Integrasjon
Derivasjon
Ja.
Quiz section 6
Er integrasjon og derivasjon omvendte prosesser?
Ja
Nei
Bare i visse tilfeller
Komma.
Quiz section 7
Kan desimaler være viktige ved angivelse av grenser for integrasjon?
Bare ved hele tall
Nei
Ja
null komma fire.
Quiz section 8
Må man spesifisere intervallgrenser nøyaktig for integrasjon?
Ja
Nei
Bare for negative tall
Velkommen skravert og greier. A er lik to centimeter, så det var de alle der. Det er lik to.
Quiz section 9
Kan integraler representere geometriske størrelser?
Vet ikke
Nei
Ja
Og sånn kan vi jo bytte ut hvis vi for eksempel går mellom null og to pi i stedet. La oss bare gjøre det om til to pi.
Quiz section 10
Kan man justere integrasjonsgrenser etter behov?
Ja
Nei
Bare ved spesielle funksjoner
Sånn.
Quiz section 11
Kan integralet av en periodisk funksjon over en hel periode være null?
Ja
Nei
Alltid positivt
Og da sier han at det arealet er null. Det er fordi det er like mye positivt her som negativt der, og summen blir da null. Så det betyr jo strengt at arealet... Men integralet fra null til to pi er null. Hvis vi skulle regnet ut hvor mye arealet der var, måtte vi ta to der pluss to der, og da hadde vi fått fire. Men uansett, da gjør man det og så skal vi se på en annen funksjon. Jeg har lyst til å kanskje ta... Vi kan gå. Ja, vi kan bare være sånn, men vi gjemmer den der.
Quiz section 12
Kan et integral bli null selv om funksjonen har positive og negative verdier?
Nei
Ja
Bare om funksjonen er konstant
Sånn, og så skriver vi en ny funksjon.
Quiz section 13
Er det mulig å integrere nye funksjoner når som helst?
Ja
Nei
Bare hvis funksjonen er lineær
X ln x, og nå skal jeg gjøre det sånn at det blir feil, for det er noe med disse ln-funksjonene man skal være litt obs på. Du satt inn noe ugyldig, sier han.
Quiz section 14
Må man alltid vurdere funksjonens definisjonsområde før man integrerer?
Ja
Nei
Ikke nødvendig
For det første må man ha mellomrom, så nå vil den kjenne igjen ln, og så bør vi også ha parentes. Kanskje det ikke er nødvendig, men...
Quiz section 15
Krever matematisk notasjon ofte presis formatering?
Ja
Nei
Bare ved komplekse funksjoner
Da kommer den.
Quiz section 16
Kan små endringer i notasjonen endre resultatet?
Ja
Nei
Kun ved store endringer
Og her ser vi nå at det er et nullpunkt på en, og så [..] funksjonen på null. Den er ikke definert for negative tall. ln til noe negativt finnes ikke, og den er heller ikke definert for ln til null. Så hvis vi nå tar integral...
Quiz section 17
Er ln(x) kun definert for x større enn 0?
Ja
Nei
Bare i visse tilfeller
Til g, komma null komma en. Da vil jeg finne arealet mellom null og en.
Quiz section 18
Er integrasjon over intervallet [0,1] en vanlig praksis i matematikk?
Ja
Nei
Sjeldent
Så ser vi at OK, den har på en måte ikke protestert mot det. Men det står udefinert.
Quiz section 19
Kan en funksjon være udefinert i deler av integrasjonsintervallet?
Bare hvis x < 0
Nei
Ja
Og det går på den.
Quiz section 20
Kan funksjoner med singulariteter gi problemer under integrasjon?
Ja
Av og til
Nei
Problemet er tallet null, men da kan vi omgå det ved å skrive null komma null null. Legg merke til at de bruker punktum der, og så bare masse nuller. Sånn kan man gå så nært man vil, nemlig. Og da sier han at det arealet der, eller det integralet, er interessant. Det ble minus null komma tjuefem.
Quiz section 21
Kan nullpunkter av og til skape utfordringer i et integral?
Bare i statistikk
Nei
Ja
Og vi kan jo for mors skyld si om
Quiz section 22
Er negative integralsvar mulig?
Bare ved diskrete funksjoner
Nei
Ja
Musikk på innstillingene, og så kan vi ta avrunding. Kan vi ta tre gjeldende sifre? For det er jo ikke sikkert at det der var en fjerdedel, liksom.
Quiz section 23
Kan avrunding påvirke tolkningen av integrasjonsresultat?
Ja
Nei
Av og til
Og det ser nesten sånn ut, hehe.
Quiz section 24
Kan flere desimaler gi mer presise integrasjonsresultater?
Alltid samme verdi
Nei
Ja
Vi prøver med litt flere da.
Quiz section 25
Kan man ofte justere presisjon i digitale verktøy?
Av og til
Nei
Ja
Fem, ja. Det ser faktisk ut som at det blir minus en fjerdedel, og det kunne vi sikkert ha bekreftet ved å derivere den funksjonen, men det har vi ikke tenkt å gjøre nå. Nå skal vi hente fram igjen den andre også, den første funksjonen rett og slett sånn, og så var det en litt morsom mulighet. Det var integral.
Quiz section 26
Kan integrasjon av en funksjon gi et brøkresultat?
Bare ved lineære funksjoner
Ja
Nei
Hvis vi ser nå, og jeg begynte å skrive, så står det integral mellom funksjon, funksjon, start, slutt. Så hvis vi tar integral mellom
Quiz section 27
Kan man integrere mellom to ulike funksjoner for å finne området mellom dem?
Nei
Ja
Bare i 3D
f og g.
Quiz section 28
Er det vanlig å kalle ulike funksjoner for f og g?
Ja
Nei
Kun i programmering
Så gjør vi sånn som i stad. Vi tar null komma null null null null null null null en.
Quiz section 29
Kan man bruke svært små intervaller for å unngå problemer ved integrasjon?
Ja
Nei
Ukjent
Og til, ja, hehe. Det hadde jo vært morsomt å finne skjæringspunktet der, men jeg vet ikke om jeg orker å gjøre det.
Quiz section 30
Kan man finne skjæringspunkter mellom funksjoner for å avgrense et areal?
Ja
Nei
Ikke med integrasjon
Jo, vi kan gjøre det, men foreløpig ikke mellom null og en.
Quiz section 31
Kan man velge nye grenser for integrasjon basert på skjæringspunkter?
Ja
Nei
Kun ved polynom
[..] Sånn. Da regner den ut det arealet der. Nå skal jeg ta bort den forrige. Så nå har den regnet det arealet som vi ser her. Men vi kan finne skjæringspunktet der, og hvis vi nå tar og går her... Det er ikke alltid så lett dette her, men jeg tror det går.
Quiz section 32
Er det mulig å plotte flere integraler samtidig i et verktøy?
Nei
Kun ett om gangen
Ja
Skal vi se.
Quiz section 33
Kan digitale verktøy automatisk finne skjæringspunkter?
Kun i spesielle tilfeller
Nei
Ja
Skjæring mellom to objekter, mellom den og den. Hmm. Da kom den der, prøver en gang til. Ja, der kom den. Klarte vi det, litt flaks. Der kom den på B. Det var det jeg var ute etter, og det heter en komma sju fem to sju.
Quiz section 34
Heter møtepunktet mellom to grafer ofte et skjæringspunkt?
Ja
Nei
Kun for polynomer
Ok, så hvis vi tar det stedet og endrer noe på...
Quiz section 35
Kan man justere integrasjonsgrenser etter å ha funnet et skjæringspunkt?
Ja
Bare hvis funksjonene er lineære
Nei
Det var den, så hvis vi nå skriver, i stedet for å skrive en komma null null, så skriver vi en komma sju.
Quiz section 36
Kan nøyaktige tall fra et skjæringspunkt brukes i integrasjonsberegning?
Ja
Nei
Irrelevant
Fem.
Quiz section 37
Kan desimaler som 1.75 brukes som grenser i en integralberegning?
Ja
Nei
Bare heltall
To sju.
Quiz section 38
Er det mulig å spesifisere flere desimaler for å få mer nøyaktig integrasjon?
Nei
Ja
Bare én desimal
Som for, da får vi med hele, det bare avgrenser arealet, så hakeparentes.
Quiz section 39
Kan større grenser gi et større areal under en funksjon?
Det blir alltid likt
Nei
Ja
Skal vi se.
Quiz section 40
Kan man velge fleksible start- og sluttpunkter for integrasjon i et grafverktøy?
Nei
Vet ikke
Ja
Komma, det skulle være punktum sju fem to sju, så vi prøver det.
Quiz section 41
Kan presise desimaler være avgjørende for nøyaktig arealberegning?
Ja
Nei
Ikke viktig
Da ser vi at den klarte det, så det arealet vi ser her nå mellom de to grafene er en komma null åtte sju null.
Quiz section 42
Kan integrasjon mellom to grafer gi et positivt tall?
Av og til
Nei
Ja
Quiz section 43
Quiz section 44
04:34
Teori 1
Enheten på aksene og arealet under grafen - Dimensjonsanalyse.
02:11
Teori 2
Å finne areal ved bestemt integral.
07:29
Oppgave 1
Fra et vannmagasin forsvinner liter vann per minutt, der . Hvor mange liter forsvinner på én time?
09:41
Oppgave 2
Bestemt integral når grafen er helt eller delvis under x-aksen med CAS/Geogebra. Gitt funksjonen .
a) Regn ut
b) Bestem arealet avrgenset av grafen , x-aksen og linjene og . (Vi lærer å bruke en smart kommando i CAS.)
08:00
Oppgave 3
a) Gitt to tall og , slik at . Hva forteller likningen ?
b) Gitt funksjonen , bestem slik at .
07:31
Oppgave 4
En funksjon er definert , der grafen til er gitt på tavla.
a) Tegn en skisse av grafen til .
b) Bestem toppunktet og nullpunktet til .
06:37
Oppgave 5
Grafen til en funksjon er tegnet på tavla.
a) Bestem arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjene og
b) Regn ut de bestemte integralene.
1)
2)
3)
c) Bestem tallet slik at .
05:14
Oppgave 6
Bestem arealet mellom grafene til og .
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.