×
VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse

Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene

Enkelt å
holde fokus

Forstå det
vanskelige

Få god
oversikt

Øv på
riktig tema

Få hjelp når
du stopper opp

Anne-Lise Frivold Svendsen

Flott opplegg og undervisning😊

Karina Tellmann Marthinussen

Tusen takk!

Ruben Flatås

Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊

Vilde Ågotnes

Bra undervisning!

Hamdi A Ahmed

Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊

Halvard Balto

Meget bra!

Halil Ibrahim Keser

Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.

Marte Forsberg

Helt topp :D

Jon Mills

Bra side.

Kirsti Beate Årsandøy

Kjempebra!😊

Mari Bertelsen

Bra side. Veldig gode forklaringer😊

Selma Voss

Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D

Caja Magnussen

takk for hjelpen

Abdi Omar

Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk

Olav Lunde Arneberg

Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.

Daniel Gabrielsen

takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.

Kassi 17 år - har eksamen i R1 til våren.
Min lærer går litt for raskt gjennom r1 pensum, noe som gjør at jeg trenger repetisjon av de vanskeligste emnene...les mer
Liam 34 år - har eksamen i R2 til jul.
Jeg kjøpte medlemskap fordi jeg ønsket forklaring via video og tilgang på "lærer" hele døgnet. Mattevideo er...les mer
Oda 16 år - har eksamen i 1T til våren.
Jeg ble abonnement hos mattevideo fordi jeg slet med å forstå pensum i 1T. Jeg ønsket å prøve, for å se...les mer
Nicolai 21 år - har eksamen i R2 til sommeren.
Jeg ble medlem for å forbedre meg, og gå dypere inn i spesifikke temaer. Jeg går i 10. klasse og tar forsert løp...les mer
Daniel 15 år - har eksamen i 1t til våren.
Jeg ble medlem for å forbedre meg, og gå dypere inn i spesifikke temaer. Jeg går i 10. klasse og tar forsert løp...les mer
June 20 år - preppet til eksamen.
Jeg brukte mattevideo da jeg måtte ta opp igjen eksamen, selvlært. Min gamle lærer gjorde det veldig vanskelig å henge med...les mer
Velg ditt fag
R2 er et studieretningsfag på Vg3-nivå. R2 står for "Realfaglig matematikk 2" og bygger videre på R1.
Hele læreplan fra A til Å
Videoundervsining alle temaer
Korte og effektive selvtester
Vi gjennomgår eksamen
Organiser temaene etter ønsket lærebok
Kapittelinndeling: Aschehoug R2
×
Organiser innholdet etter din lærebok
Organiser videoer med ønskede ikoner
Organiser selvtester med ønskede ikoner
Følger og rekker
, curr: r2, book: 2150
07:59
08:38
28:45
49:28
21:08
35:44
40:20
37:31
28:19
27:38
Integrasjon
, curr: r2, book: 2150
50:14
21:01
10:10
13:14
44:32
04:27
83:00
34:51
23:29
44:01
Trigonometri
, curr: r2, book: 2150
10:20
08:45
09:01
03:26
65:54
40:27
19:22
13:56
31:47
19:57
41:30
67:40
Modeller
, curr: r2, book: 2150
29:24
13:44
10:13
Romgeometri
, curr: r2, book: 2150
17:44
05:22
41:05
27:34
16:06
21:08
14:54
11:48
39:04
13:56
40:51
19:51
27:40
16:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer. Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
R2_eksm_3

Oppgåve 1 (4 poeng)

  Deriver funksjonane  
a) f(x)=3cosxf(x) = 3cosx  
b) g(x)=6sin(πx)+7g(x) = 6sin(\pi*x) + 7  
c) h(x)=3e(2x)sin(3x)h(x) = 3e^{(2x)}*sin(3x)

Oppgåve 2 (4 poeng)

  Bestem integralet 2xx24dx\int \frac{2x}{x^2 - 4} dx ved å bruke  
a) variabelskifte  
b) delbrøkoppspalting

Oppgåve 3 (4 poeng)

  Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt.  
a) Bestem AB×AC\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ΔABC\Delta ABC  
b) Bestem ABAC\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}. Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet av ΔABC\Delta ABC

Oppgåve 4 (3 poeng)

 
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2  

Oppgåve 5 (5 poeng)

  Ei rekkje er gitt ved Sn=1+3+5+7++anS_n = 1 + 3 + 5 + 7 +\ldots+ a_n    
a) Bestem a16a_{16} og S16S_{16}  
b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for ana_n og SnS_n.  
c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for at Sn>400{S_{n}} > {400}

Oppgåve 6 (2 poeng)

  Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • f(x)>0f(x) > 0 for alle xRx \in \mathbb{R}f(x)>0f(x) > 0 for alle x<,2><2,>x \in <\leftarrow , -2>\cup <2, \rightarrow >f(x)=0f'(x) = 0 for x = -2 og for x = 2 • f(x)=0f'(x) = 0 for x = 1 og for x = 3  
Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.

Oppgåve 7 (2 poeng)

   
Bruk induksjon til å bevise påstanden P(n):a+ak+ak2+ak3++akn1=akn1k1,nNP(n): a + ak + ak^2 + ak^3 +\ldots+ak^{n-1} = a*{\frac{k^n-1}{k-1}} , n\in \mathbb{N}
R2_eksm_4

Oppgåve 1 (4 poeng)

  Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda.  
a) Forklar at y=80,05yy' = 8 - 0,05*y  
b) Vis at y(t)=160160e0,05ty(t) = 160 - 160e^{-0,05t} når y (0) = 0  
c) Bestem limty(t)\lim_{t\rightarrow \infty} y(t). Kommenter svaret.

Oppgåve 2 (6 poeng)

  Funksjonen f er gitt ved f(x)=12e0,5xsin(0,5x),x[0,4π]f(x) = 12e^{-0,5x}*sin(0,5x) , x \in[0, 4\pi]  
a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.

Oppgåve 3 (8 poeng)

  Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4) R2_eksm_5  
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.  
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?. Vis ved rekning at planet ? har likninga 4x + 3z - 12 = 0  
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.  
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.

Oppgåve 4 (6 poeng)

  Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning x2+y2=9x^2 + y^2 = 9. Punktet A har koordinatane (2,0) og OAC=90\angle OAC = 90^{\circ} R2_eksm_6  
a) Vis at koordinatane til C er 2,52,\sqrt{5}. Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.  
b) Når flatestykket F1F_1 blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle. Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.  
c) Når flatestykket F1F_1 blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment. Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.

Oppgåve 5 (6 poeng)

  På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D. R2_eksm_7  
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.  
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat. Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.  
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat. Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Oppgåve 6 (6 poeng)

  Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik:  
1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten. Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja A(14+316+964+27256+)A*({\frac{1}{4}}+{\frac{3}{16}}+{\frac{9}{64}}+{\frac{27}{256}}+\ldots)  
a) Bestem summen av rekkja ovanfor. Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?  
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis 332a,394a,3278a3*{\frac{3}{2}}*a, 3*{\frac{9}{4}}*a, 3*{\frac{27}{8}}*aog 38116a3*{\frac{81}{16}}*a  
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik 3(32)na3*(\frac{3}{2})^n*a Forklar at 3(32)na3*(\frac{3}{2})^n*a \rightarrow \infty når nn \rightarrow \infty Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
R2
 - Kapittelinndeling: Aschehoug R2 (oppdatert læreplan)
 - Integrasjon
 - Det bestemte integralet
×
02:03
Teori 1
Bestemt integral - arealet under en graf. R2_05_01_1
×
05:44
Teori 2
Bestemte integraler - rektangelmetoden. R2_05_01_2
07:03
Teori 3
Denne videoen bygger videre på forrige teorivideo. Vi regner Riemann-summer (venstresummer) til funksjonen f(x)=x2+4f(x) = x^2+4 med n rektangler der n er [10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000]. r2-2022_02_02_teori2_23149_2090-2219
04:28
Teori 4
Trapesmetoden - en mer nøyaktig tilnærming for arealet under en graf.
07:17
Teori 5
Riemann-summer og bestemte integral. r2-2022_02_01_teori3_24207_2089-2218
03:34
Teori 6
Tilnærmingsverdier for bestemte integraler: Trapesmetoden gir oss gjennomsnittet av det vi får med rektangelmetoden, med venstretilnærming og høyretilnærming - Hvorfor det?
08:53
Teori 7
Riemann-summer i Geogebra (RektangelSum, SumOver, SumUnder og VenstreSum).
03:51
Teori 8
Hvorfor er abf(x)  dx=baf(x)  dx\int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x = - \int_b^a f(x) \; \mathrm{d}x?
07:21
Teori 9
Arealet mellom to grafer. R2_05_03_6
10:26
Oppgave 1
Rektangelmetoden i praksis.
04:29
Oppgave 2
Grafen til funksjonen F(x)F(x) er tegnet på tavlen. Funksjonen f(x)=F(x)f(x) = F'(x).

a) Bestem 02f(x)  dx\int_0^2 f(x) \; \mathrm{d}x

b) For hvilke verdi av tallet aa er 1af(x)  dx=0\int_{-1}^a f(x) \; \mathrm{d}x = 0.

06:06
Oppgave 3
Gitt funksjonen  f(x)=x+4f(x)= x+4  . Tegn grafen og finn på to måter arealet mellom grafen og x-aksen fra x = -2 til 2.
Skjul video ▼
Vis video ▲
Selvtester og oppgaver for mengdetrening
10 sekunders quiz
Eksamensoppgaver
×
Hva beskriver et bestemt integral generelt?
Arealet under en graf
Lever svar
Konstant hastighet
Lever svar
Summen av nullpunkter
Lever svar
00:00
Hvor mange metoder nevnes for å finne arealet under kurven?
2
Lever svar
3
Lever svar
4
Lever svar
00:17
Hva kalles den tilnærmingsmetoden som brukes?
Rektangelmetoden
Lever svar
Parabelmetoden
Lever svar
Sirkelmetoden
Lever svar
00:33
Gir rektangelmetoden et eksakt eller tilnærmet resultat?
Eksakt
Lever svar
Tilnærmet
Lever svar
Ingen av delene
Lever svar
00:40
Hvilken kjent formel benyttes i denne metoden?
Areal av rektangel
Lever svar
Volum av terning
Lever svar
Omkrets av sirkel
Lever svar
00:47
Hvordan deles intervallet mellom A og B i eksempelet?
I fire like biter
Lever svar
I to biter
Lever svar
I uendelig mange biter
Lever svar
01:13
Hva avgjør høyden på det første rektangelet?
f(A)
Lever svar
A - B
Lever svar
Ingen bestemt faktor
Lever svar
01:23
Hvilken notasjon brukes for x-verdien i rektangel nr. i?
x_i
Lever svar
i_x
Lever svar
x^i
Lever svar
01:34
Brukes en ny x-verdi for hvert rektangel i metoden?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Av og til
Lever svar
01:39
Er funksjonsverdien ved x_i relevant for høyden i rektangel nr. i?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare i første rektangel
Lever svar
01:42
Hva kalles bredden av hvert rektangel?
Delta X
Lever svar
Delta Y
Lever svar
X delta
Lever svar
01:59
Hvordan beregnes arealet av et rektangel i denne metoden?
Bredde ganger høyde
Lever svar
Høyde minus bredde
Lever svar
Areal av kvadrat
Lever svar
02:02
Hva multipliseres med f(x_i) for å få arealet av rektangel nr. i?
Delta X
Lever svar
x_i
Lever svar
A + B
Lever svar
02:19
Hvilket matematisk symbol brukes for å summere rektangelarealene?
Summetegn
Lever svar
Integraltegn
Lever svar
Brøkstrek
Lever svar
02:25
Hvilken indeks har det tredje rektangelet i eksempelet?
i=3
Lever svar
i=4
Lever svar
i=2
Lever svar
03:01
Til hvilken i-verdi summerer vi i eksempelet med fire rektangler?
i=4
Lever svar
i=5
Lever svar
i=3
Lever svar
03:17
Hva skjer med nøyaktigheten når antall rektangler øker fra fire til åtte?
Den øker
Lever svar
Den minker
Lever svar
Den forblir uendret
Lever svar
03:29
Hvor mange rektangler brukes i det nye eksempelet?
Åtte
Lever svar
Seks
Lever svar
Ti
Lever svar
03:49
Hva skjer med bredden på rektanglene når antallet dobles?
Den halveres
Lever svar
Den dobles
Lever svar
Den forblir lik
Lever svar
03:51
Dekker rektanglene hele arealet under kurven helt nøyaktig?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare ved fire rektangler
Lever svar
04:15
Blir forskjellen mellom tilnærmingen og det faktiske arealet større eller mindre med flere rektangler?
Mindre
Lever svar
Større
Lever svar
Uendret
Lever svar
04:19
Hvorfor reduseres feilen når rektanglene er smalere?
De følger kurven tettere
Lever svar
De blir høyere
Lever svar
Funksjonen endres
Lever svar
04:22
Kan man øke antallet rektangler for å bedre tilnærmingen?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Kun litt
Lever svar
04:27
Hvordan bestemmes bredden Delta X?
(B - A) / antall rektangler
Lever svar
B + A
Lever svar
(B - A) * antall rektangler
Lever svar
04:35
Hva skjer når antall rektangler går mot uendelig?
Summen nærmer seg det bestemte integralet
Lever svar
Summen blir uendelig
Lever svar
Ingenting
Lever svar
04:49
Hva kalles denne rektangelbaserte metoden for å finne arealet under kurven?
Rektangelmetoden
Lever svar
Rombemodellen
Lever svar
Punktestimatet
Lever svar
05:35
Hva beskriver et bestemt integral?
Arealet under en kurve mellom to punkter
Lever svar
Toppunktet til en funksjon
Lever svar
Et gjennomsnitt av tall
Lever svar
00:00
Hva vil vi finne mellom a og b?
Arealet under f(x)
Lever svar
Et tilfeldig tall
Lever svar
Lengden på x-aksen
Lever svar
00:05
Vises utregningsmetoden her?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare delvis
Lever svar
00:35
Hva kalles arealet under f(x) mellom a og b?
Det bestemte integralet
Lever svar
Et ubestemt integral
Lever svar
En differensial
Lever svar
00:40
Hva viser integraltegnet med grenser?
Et areal
Lever svar
En summasjon av tilfeldige tall
Lever svar
Et punkt på x-aksen
Lever svar
00:53
Hvilket symbol brukes for integral?
Et langstrakt s
Lever svar
Et sirkeltegn
Lever svar
Et plusstegn
Lever svar
01:06
Hva kalles dette s-formede tegnet?
Integraltegn
Lever svar
Divisjonstegn
Lever svar
Parentes
Lever svar
01:16
Hva plasseres nederst og øverst på integraltegnet?
Grenseverdiene a og b
Lever svar
Funksjonens toppunkt
Lever svar
En vilkårlig konstant
Lever svar
01:22
Hvilken metode brukes ofte for å beregne areal mellom to funksjoner?
Subtraksjon
Lever svar
Integrasjon
Lever svar
Multiplikasjon
Lever svar
00:00
Hva slags ligning kan oppstå når to kvadratiske funksjoner møtes?
Lineær ligning
Lever svar
Andregradsligning
Lever svar
Tredjegradsligning
Lever svar
00:50
Er det lurt å se på grafer før man regner?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Av og til
Lever svar
01:01
Hva integrerer man når man skal finne areal mellom to kurver?
Øvre funksjon minus nedre funksjon
Lever svar
Summen av funksjonene
Lever svar
Produktet av funksjonene
Lever svar
01:05
Hvilke punkter trenger man for å bestemme integrasjonsgrensene?
Maksimalpunkter
Lever svar
Skjæringspunkter
Lever svar
Nullpunkter
Lever svar
01:19
Er det vanlig med mye algebraisk arbeid i slike oppgaver?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare av og til
Lever svar
01:39
Bør man være nøye med parenteser ved utregning?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare ved subtraksjon
Lever svar
01:53
Hvilken regneoperasjon er sentral for å klargjøre et uttrykk før integrasjon?
Derivasjon
Lever svar
Multiplikasjon
Lever svar
Parentesoppløsning
Lever svar
01:59
Er nøyaktige fortegn viktige i integrasjonsregning?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Kun i visse tilfeller
Lever svar
02:09
Er små regnefeil vanlige når man håndberegner integraler?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Sjeldent
Lever svar
02:14
Kan man noen ganger integrere direkte uten å omforme uttrykket først?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Kun hvis det er konstant
Lever svar
02:19
Hva blir potensen til x² etter integrasjon?
Lever svar
x⁴
Lever svar
Lever svar
02:28
Endrer en konstant selve x-leddene i integrasjonsresultatet?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare ved negative verdier
Lever svar
02:35
Fører flere ledd i en funksjon til mer regning?
Mindre
Lever svar
Mer
Lever svar
Ingen forskjell
Lever svar
02:38
Hva kalles motsatt operasjon av derivasjon?
Faktorisasjon
Lever svar
Integrasjon
Lever svar
Logaritmering
Lever svar
02:42
Bruker man ofte skjæringspunktene som integrasjonsgrenser?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare ved én funksjon
Lever svar
02:47
Hva kalles funksjonen man får etter integrasjon?
Gjennomsnitt
Lever svar
Antiderivert
Lever svar
Diskriminant
Lever svar
02:53
Bør man sjekke hvilken av funksjonene som ligger øverst?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare hvis de er like
Lever svar
03:01
Setter man inn øvre og nedre grense i den antideriverte?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare i spesielle tilfeller
Lever svar
03:15
Kan man gjøre tastefeil eller småfeil ved håndregning?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare for nybegynnere
Lever svar
03:21
Blir det mange tall å holde styr på ved polynomintegrasjon?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare med lineære uttrykk
Lever svar
03:33
Er nøyaktighet viktig ved manuell integrasjon?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Kun ved store tall
Lever svar
03:43
Kan små algebrafeil endre sluttresultatet?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Kun litt
Lever svar
03:48
Bør man være særlig nøye med parenteser under subtraksjon?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Parenteser er alltid uviktige
Lever svar
03:51
Påvirker fortegn utfallet av integrasjonen?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Kun ved negative x-verdier
Lever svar
03:58
Trekker man den antideriverte ved nedre grense fra øvre grense?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Man plusser dem
Lever svar
04:02
Hvorfor kan det være fordelaktig å løse opp parentesene først?
Det gir flere ukjente
Lever svar
Man får bedre oversikt
Lever svar
Det har ingen fordeler
Lever svar
04:06
Kan løsing av parenteser føre til flere ledd?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare ved negative fortegn
Lever svar
04:09
Hva gjør man når ledd har ulike nevnere?
Deler alle på x
Lever svar
Finner fellesnevner
Lever svar
Setter dem lik null
Lever svar
04:13
Er fellesnevner nyttig for å legge sammen brøker?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare ved hele tall
Lever svar
04:18
Bør man summere ledd etter at fellesnevner er funnet?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Kun ved to ledd
Lever svar
04:23
Er det ofte mange steg ved integrasjon av polynomer?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare ett steg
Lever svar
04:31
Kan en slik integrasjon være tidkrevende?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Avhenger ikke av oppgaven
Lever svar
04:35
Bør man dobbeltsjekke algebraen til slutt?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare hvis man har tid
Lever svar
04:39
Kan parentesoppløsning tidlig gjøre integrasjonen lettere?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Det gjør den mer komplisert
Lever svar
04:50
Må man holde kontroll på fortegn når man multipliserer inn i parenteser?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare ved negativ faktor
Lever svar
05:07
Hva bør man unngå for å spare seg ekstra arbeid under integrasjonen?
Algebrafeil
Lever svar
Å bruke verktøy
Lever svar
Å notere mellomsteg
Lever svar
05:15
Hjelper det å være ekstra fokusert på små steg i regningen?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare ved eksamen
Lever svar
05:19
Er grundige beregninger ofte nødvendige for presise resultater?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Ikke når vi gjetter
Lever svar
05:23
Hva kan skje hvis man roter til fortegn underveis?
Ingen effekt
Lever svar
Feil sluttresultat
Lever svar
Man får alltid null
Lever svar
05:32
Kan tegning av funksjoner gi bedre forståelse før integrasjon?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare i 3D-grafer
Lever svar
05:44
Er det alltid nødvendig å tegne grafer på forhånd?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare for polynomer
Lever svar
05:49
Kan digitale verktøy forenkle integrasjonsprosessen?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare med CAS-verktøy
Lever svar
05:55
Er matematisk forståelse fortsatt viktig selv med digitale hjelpemidler?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Kun litt
Lever svar
06:00
Bør man kunne manuell integrasjon?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare til eksamen
Lever svar
06:04
Kan systematisk arbeid redusere slurvefeil?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Ikke nødvendigvis
Lever svar
06:07
Hva er en fordel ved å løse mindre deloppgaver først?
Man mister oversikt
Lever svar
Man får bedre kontroll
Lever svar
Det gir ekstra steg
Lever svar
06:16
Er fellesnevner en vanlig teknikk ved brøksammenslåing?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Kun i hoderegningsoppgaver
Lever svar
06:29
Kan to 2.-gradslikninger gi en felles andregradsligning ved skjæringspunkt?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Av og til
Lever svar
06:33
Kan man bruke integrasjon for å finne areal mellom kurver?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare hvis arealet er lite
Lever svar
06:36
Hvorfor er nøyaktighet viktig i matematiske beregninger?
For å unngå feil
Lever svar
Det er egentlig unødvendig
Lever svar
Kun for å imponere
Lever svar
06:46
Blir integrasjon enklere med god oversikt over algebra?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare litt enklere
Lever svar
06:54
Kan det spare tid å ha gjort noen utregninger på forhånd?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Det tar lengre tid
Lever svar
07:05
Er manuelle beregninger i stand til å gi endelige tallresultater?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Bare ved en datamaskin
Lever svar
07:14
Hva omtales som mer nøyaktig enn rektangelmetoden?
Ingen forskjell
Lever svar
Trapesmetoden
Lever svar
Sirkelfunksjon
Lever svar
00:00
Hvilken form nevnes med en kjent arealformel?
Trapes
Lever svar
Kvadrat
Lever svar
Sirkel
Lever svar
00:06
Hva illustreres med grafen?
En sekant
Lever svar
Et areal
Lever svar
En volum
Lever svar
00:16
Hva er plassert under grafen?
Trapeser
Lever svar
Rektangler
Lever svar
Trekanter
Lever svar
00:24
Hvorfor er det vanskelig å skille linjen fra grafen?
Fordi de er tett på hverandre
Lever svar
Fordi fargene mangler
Lever svar
Fordi de aldri møtes
Lever svar
00:31
Hva kalles (B – A) / n?
Delta X
Lever svar
Pi
Lever svar
E
Lever svar
00:48
Hva er fokus her?
Ett bestemt trapes
Lever svar
En hel sirkel
Lever svar
Hele grafen
Lever svar
01:06
Hvor mange parallelle sider har et trapes?
To
Lever svar
Tre
Lever svar
Fire
Lever svar
01:12
Hva er en enkel formel for arealet av et trapes?
(A + B) / 2 * høyden
Lever svar
(A – B) / 2 * høyden
Lever svar
A * B
Lever svar
01:42
Hva gjør vi med trapesene for å finne totalarealet?
Vi summerer dem
Lever svar
Vi trekker dem fra hverandre
Lever svar
Vi deler dem på to
Lever svar
01:57
Hvilke punkter opptrer kun én gang i summen?
De første og siste
Lever svar
Alle midtpunkter
Lever svar
Ingen
Lever svar
02:43
Hva tilsvarer f(x₀) her?
f(A)
Lever svar
f(B)
Lever svar
Ingen spesifikk verdi
Lever svar
03:26
Hva stilles det spørsmål ved?
Poenget med metoden
Lever svar
Fargen på grafen
Lever svar
Lengden på x-aksen
Lever svar
03:35
Hva påvirkes av valget av summemetode?
Regneeffektiviteten
Lever svar
Fargen på plottet
Lever svar
Funksjonens verdi
Lever svar
03:41
Hva skjer når integrasjonsgrensene bytter plass?
Ingenting endres
Lever svar
Fortegnet blir motsatt
Lever svar
Integralets verdi dobles
Lever svar
00:00
Hva representerer et bestemt integral?
Arealet mellom grafen og x-aksen
Lever svar
Lengden av grafen
Lever svar
Grafens toppunkt
Lever svar
00:19
Hva skjer med integralet når grensene snus?
Det blir uendret
Lever svar
Det får motsatt fortegn
Lever svar
Det blir alltid null
Lever svar
00:40
Hva mangler den enkle definisjonen av integraler?
Antall intervaller
Lever svar
Hensyn til grafens plassering over/under x-aksen
Lever svar
Funksjonens toppunkt
Lever svar
01:05
Hva beskriver en arealfunksjon?
Arealet som vokser med x-verdien
Lever svar
Lengden på grafen
Lever svar
Grafens høyeste verdi
Lever svar
01:34
Hvordan kan integralet fra a til b uttrykkes?
Arealfunksjon i b minus arealfunksjon i a
Lever svar
Arealfunksjon i a ganger arealfunksjon i b
Lever svar
Arealfunksjon i a pluss arealfunksjon i b
Lever svar
01:53
Hva viser differansen mellom arealfunksjonene?
Arealet mellom punktene a og b
Lever svar
Totalarealet under hele grafen
Lever svar
Integralets grenseverdier
Lever svar
02:02
Hva skjer når grensene a og b byttes i integralet?
Verdien øker alltid
Lever svar
Integralverdien skifter fortegn
Lever svar
Integralverdien forblir uendret
Lever svar
02:29
Hva betyr "det motsatte" i integralregning?
Verdien blir alltid null
Lever svar
Verdien får motsatt fortegn
Lever svar
Integralets verdi dobles
Lever svar
02:55
Hva skjer når rekkefølgen byttes ved subtraksjon?
Resultatet får motsatt fortegn
Lever svar
Resultatet blir alltid null
Lever svar
Resultatet forblir det samme
Lever svar
03:04
Hva bestemmer integralets fortegn?
Funksjonens bredde
Lever svar
Grafens posisjon i forhold til x-aksen
Lever svar
Integralets høyde
Lever svar
03:35
Hva sammenliknes i videoen?
Trapesmetoden og rektangelmetoden
Lever svar
Addisjon og subtraksjon
Lever svar
Integraler og derivasjon
Lever svar
00:00
Hva ble påvist tidligere?
At venstretilnærming er best
Lever svar
At metodene gir samme verdi
Lever svar
At trapes alltid gir null
Lever svar
00:18
Hvilket spørsmål stilles?
Hvordan finne integralet nøyaktig?
Lever svar
Hvorfor metodene gir samme svar?
Lever svar
Hvordan finne delta x?
Lever svar
00:22
Hva viser videoen først?
Et rektangel på en funksjon
Lever svar
En sirkel
Lever svar
Et integral uten graf
Lever svar
00:27
Hvordan bestemmes rektangelhøyden ved venstretilnærming?
Funksjonsverdien til venstre
Lever svar
Funksjonsverdien til høyre
Lever svar
Gjennomsnittet av begge sider
Lever svar
00:42
Hvordan regnes arealet ved venstretilnærming?
Lengde minus bredde
Lever svar
Høyde ganger bredde
Lever svar
Høyde delt på bredde
Lever svar
01:03
Hva endres ved høyretilnærming?
Funksjonsverdi på høyre side
Lever svar
Delta x blir negativ
Lever svar
Integralets grenser endres
Lever svar
01:14
Formel for høyretilnærming?
f(x_i-1) ganger delta x
Lever svar
f(x_i) ganger delta x
Lever svar
Delta x delt på f(x_i)
Lever svar
01:36
Hva viser trapesmetoden?
Trapes mellom punktene
Lever svar
Et kvadrat
Lever svar
Bare venstre rektangler
Lever svar
01:41
Hvordan regnes trapesareal?
Snitt av sidene ganger høyde
Lever svar
Lengde ganger bredde
Lever svar
Delta x delt på f(x)
Lever svar
01:55
Hva beregnes med gjennomsnittet?
Kun trapesmetoden
Lever svar
Venstre- og høyretilnærming
Lever svar
Integralet eksakt
Lever svar
02:26
Hva skjer med delta x?
Settes utenfor parentes
Lever svar
Blir negativ
Lever svar
Forsvinner fra uttrykket
Lever svar
03:05
Hva er hensikten med metodene?
Summere mange arealer
Lever svar
Finne en enkelt verdi uten summasjon
Lever svar
Fjerne delta x
Lever svar
03:22
Kan produktet f(x)Δxf(x) \Delta {x} tolkes som et areal ?
Nei
Lever svar
Ja, arealet av et rektangel
Lever svar
Ja, arealet under grafen til f i punktet ( x, f(x) )
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
Vi har en funksjon f, som er positiv i hele intervallet mellom a og b. Det bestemte integralet abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x)dx kan tolkes som
arealet mellom grafen, førsteaksen og linjene x = a og x = b
Lever svar
arealet mellom grafen og andreaksen og linjene y=a og y = b
Lever svar
den antideriverte til f for x = a og x = b
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Regn ut integralene

a) 12(x2+2x3)dx\int_{1}^{2}(x^{2}+2x-3)dx

b) g(x)=sin2xg(x) = \sin^{2}{x}

c) h(x)=x3exh(x) = x^{3} \cdot e^{-x}

13\frac{1}{3}

Lever svar

1-1

Lever svar

73\frac{7}{3}

Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Figuren viser grafene til funksjonene F og f .

Det er gitt at F\'(x)=f(x)

a) Bruk figuren til å bestemme F\'(4)

b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.


A=5A = 5

Lever svar

A=6A=6

Lever svar

A=7A=7

Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Bestem integralene

a) 02(x22x+1)dx\int ^{2}_{0} (x^{2}-2x+1)dx

b) ex(ex+1)2dx\int \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}dx


44

Lever svar

23\frac 23

Lever svar

43-\frac{4}{3}

Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Figuren viser grafene til funksjonene F og f .

Det er gitt at F\'(x)=f(x)

a) Bruk figuren til å bestemme F\'(4)

b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.


F(ˊx)=7F\'(x)=7

Lever svar

F(ˊx)=1F\'(x) = 1

Lever svar

F(ˊ4)=6F\'(4) = 6

Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
Vi har to funksjoner f(x) og g(x) , og de antideriverte funksjonene F(x) og G(x) . Grafen til g ligger over grafen til x. Hvilket uttrykk gir IKKE arealet mellom grafene i intervallet a til b ?
G(b)G(a)(F(b)F(a))G(b)-G(a) - (F(b)-F(a) )
Lever svar
[G(x)F(x)]ab\left[ G(x)-F(x) \right]_{a}^{b}
Lever svar
[F(x)G(x)]ab\left[ F(x)-G(x) \right]_{a}^{b}
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Funksjonen ff er gitt ved


Rektangelet ABCDABCD er gitt ved at


f(x)=a2x2f(x) = a^2 - x^2, der a>0a > 0

  •  A\ A er origo
  •  B\ B er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til ff og x-aksen
  •  D\ D er toppunktet på grafen til ff

  • Vis at arealet av det fargelagte området utgjør 23\frac{2}{3} av rektangelets areal.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Funksjonen ff er gitt ved


\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}


Vi skal nå se på den uendelige rekken


  S=112+122+132+142+\ \ S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots


b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at S<2S < 2


c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for SS.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Funksjonen f er gitt ved



f(x)=x2+ax+b,Df=Rf(x) = x^{2} + ax +b , D_{f} = \mathbb{R}

Tangentene i punktene Q(s,f(s))Q(s, f(s)) og R(t,f(t)) skjærer hverandre i et punkt P.

Se skisse 1.

a) Vis at likningene for de to tangentene er

g(x)=(a+2s)x+bs2g(x)=(a+2s)x+b-s^{2} og h(x)=(a+2t)x+bt2h(x)=(a+2t)x+b-t^{2}

b) Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved XP=s+t2X_{P} = \frac{s+t}{2}



Den vertikale linjen X=XPX=X_{P} deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Funksjonen f er gitt ved



f(x)=x2+ax+b,Df=Rf(x) = x^{2} + ax +b , D_{f} = \mathbb{R}

Tangentene i punktene Q(s,f(s))Q(s, f(s)) og R(t,f(t)) skjærer hverandre i et punkt P.

Se skisse 1.

a) Vis at likningene for de to tangentene er

g(x)=(a+2s)x+bs2g(x)=(a+2s)x+b-s^{2} og h(x)=(a+2t)x+bt2h(x)=(a+2t)x+b-t^{2}

b) Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved XP=s+t2X_{P} = \frac{s+t}{2}



Den vertikale linjen X=XPX=X_{P} deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Funksjonen f er gitt ved



f(x)=x2+ax+b,Df=Rf(x) = x^{2} + ax +b , D_{f} = \mathbb{R}

Tangentene i punktene Q(s,f(s))Q(s, f(s)) og R(t,f(t)) skjærer hverandre i et punkt P.

Se skisse 1.

a) Vis at likningene for de to tangentene er

g(x)=(a+2s)x+bs2g(x)=(a+2s)x+b-s^{2} og h(x)=(a+2t)x+bt2h(x)=(a+2t)x+b-t^{2}

b) Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved XP=s+t2X_{P} = \frac{s+t}{2}



Den vertikale linjen X=XPX=X_{P} deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.

Se løsning og registrer oppgaven
×