VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Følger og rekker
07:59
08:38
28:45
49:28
40:20
37:31
28:19
27:38
Integrasjon
50:14
21:01
10:10
13:14
44:32
83:00
34:51
23:29
44:01
Trigonometri
10:20
08:45
09:01
03:26
65:54
40:27
19:22
13:56
31:47
19:57
Modeller
10:13
Romgeometri
17:44
05:22
41:05
27:34
16:06
21:08
14:54
11:48
39:04
13:56
40:51
19:51
27:40
16:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
06:36
Teori 1
Likningen for et plan - når vi starter med et punkt i planet og en normalvektor til planet.
Hvis vi har en ligning som ser omtrent sånn ut: aX + bY + cZ er lik t, et tall ganger X pluss et antall ganger Y pluss et eller annet gange Z, er lik et konstant tall. Da er det ligningen for et plan.
Quiz section 0
Hva beskriver en likning av formen aX+bY+cZ=t?
Et punkt
En kurve
Et plan
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Vi skal se hvordan vi kan finne en sånn ligning hvis vi vet følgende om planet: normalvektoren og et punkt. Og det med normalvektor, det har vi illustrert her. Hvis du har et plan som ligger sånn, så er det jo veldig mange vektorer som ligger i det planet. Men det er på mange måter like interessant å se at det er en retning som blir nitti grader på det planet.
Quiz section 1
Hva trenger vi for å finne et plans likning?
Et punkt og en normalvektor
Bare et punkt
Bare en normalvektor
Så for eksempel i forhold til den whiteboarden her. Det er ikke sikkert du ser det så veldig lett, men da vil jo den retningen jeg nå gjør bli en normalvektor til whiteboardplanet.
Quiz section 2
Hva kjennetegner en normalvektor?
Parallell med planet
Vinkelrett på planet
Tilfeldig valgt retning
Men jeg kunne også hatt den på baksiden. Men da hadde ikke du sett den, så det går også an å ha en normalvektor nedover på den figuren der. Og hvor lang den normalvektoren er, om jeg bruker en [..].
Quiz section 3
Kan en normalvektor peke bort fra oss?
Ja
Nei
Bare oppover
Tavletusj eller to, det er fortsatt nitti grader, så lenge den [..] på den vektoren har ingenting å si.
Quiz section 4
Er lengden på normalvektoren viktig?
Ja, må være >0
Nei
Ja, må være 1
Men den normale vektoren definerer på en måte retningen til det planet. Men vi trenger også et punkt.
Quiz section 5
Hva definerer et plan?
To punkt
En normalvektor og et punkt
En lineær likning
Som på en måte låser hvor i rommet det planet er.
Quiz section 6
Hva gjør et punkt med planet?
Låser plasseringen
Endrer retningen
Utvider størrelsen
Så normalvektor og et punkt, så kan vi se hvordan vi kan regne ut den, komme fram til en ligning da. Hvis vi for eksempel har en normalvektor gitt ved koordinatene fire to minus tre, og et punkt som heter en fem sju. Det er bare litt sånn tilfeldig valgte.
Quiz section 7
Hva kan vi finne med normalvektor og punkt?
Størrelsen på et punkt
Vektorlengde
Likningen til et plan
Koordinater dette her.
Quiz section 8
Hva er koordinater?
Mål på vektorlengde
Tilfeldige symboler
Tall som beskriver posisjon
Så kan vi tenke oss at vi har et punkt til som ligger i planet, og det er egentlig det punktet som er.
Quiz section 9
Hva er P Q-vektoren?
En vektor i planet
Et tall
Et koordinatsystem
Det.
Quiz section 10
Hva leter vi etter i planet?
Temperaturer
Lyder
Punkter
Det vi er på en måte på jakt etter: hva er X, Y, Z?
Quiz section 11
Hva vil vi finne i likningen?
Tyngdekraft
Hastighet
X, Y, Z for et punkt i planet
Generelt sett, når det ligger i det planen vår, Q kan jo for eksempel ikke ligge oppi her, det blir feil. Det skal ligge der nede i planen. Skal heller ikke ligge under her. Den skal ligge i planen.
Quiz section 12
Hvor må punktet Q ligge?
I planet
Over planet
Under planet
Da er det jo sånn at hvis vi tegner den vektoren P Q-vektor sånn, så blir det jo nødvendigvis slik at det blir nitti grader mellom den vektoren og den normale vektoren, og det vil vi utnytte.
Quiz section 13
Hva er vinkelen mellom PQ-vektor og normalvektor?
90 grader
0 grader
45 grader
Når vi skal regne ut, regne oss fram til ligningen.
Quiz section 14
Hva utnytter vi for å finne likningen?
At planet er flatt
At punktet er gitt
Vinkelrettheten mellom vektorene
Da må vi først se på P Q-vektor.
Quiz section 15
Hva ser vi på først?
Areal
PQ-vektor
Volum
Det er bare en liten utregning av det først, og det er jo bare å ta koordinaten der minus koordinaten der, tilsvarende på Y og tilsvarende på Z. Det vil si X minus en, [..] minus to, nei unnskyld X minus en, ikke normalvektor men punktet, i minus fem, [..] Z minus sju. Sånn, og så er poenget at skalarproduktet av N og P Q vil måtte være lik null, for vi vet jo det at det skal være produktet mellom to vektorer som står nitti grader på hverandre. Det skal være produktet. Det er null.
Quiz section 16
Hvordan finner vi PQ-vektor?
Ved å gange koordinater
Ved å dele koordinater
Ved å trekke fra punktkoordinater
Så det vil vi utnytte at N prikk P Q.
Quiz section 17
Hva blir N⋅PQ?
0
1
2
Det skal være lik null, og det betyr når vi setter inn N, det var fire to minus tre.
Quiz section 18
Hva fører N⋅PQ=0 til?
En ny vektor
Et punkt
Likningen for planet
Fire, to, minus [..].
Quiz section 19
Hva er normalvektoren i eksempelet?
(0,0,0)
(1,5,7)
(4,2,-3)
Og så må vi bare regne, da blir det fire.
Quiz section 20
Hva gjør vi med uttrykket?
Stopper her
Regner det ut
Glemmer det
Ganger X minus en.
Quiz section 21
Hvilket ledd tar vi først?
4*(X-1)
2*(Y-5)
(-3)*(Z-7)
+ to ganger Y minus fem.
Quiz section 22
Hva legger vi til neste?
4*(X-1)
2*(Y-5)
(-3)*(Z-7)
Pluss minus tre, da blir det bare minus tre ganger.
Quiz section 23
Hvilket ledd kommer til slutt?
(-3)*(Z-7)
4*(X-1)
2*(Y-5)
[..].
Quiz section 24
Hva blir summen lik?
7
1
0
= null.
Quiz section 25
Hva gjør vi med uttrykket nå?
Rydder det opp
Forkaster det
Deler det
Og så kan vi også rydde opp i dette her.
Quiz section 26
Hvorfor rydder vi opp?
For å forenkle likningen
For å komplisere
For å slette
4X - fire + 2Y - ti - 3Z + tjueen.
Quiz section 27
Hva er den endelige likningen?
4X + 2Y - 3Z = 7
4X + 2Y - 3Z = 0
X + Y + Z = 1
= null og vi bare ganger ut parentesene og så kan vi samle X og Y og Z og sette på venstre: fire X pluss to Y minus tre Z, og så kaster vi da at de tallene over på høyresiden. Tjueen, skal vi se, minus fire minus ti, det blir minus fjorten, pluss tjueen, det blir.
Quiz section 28
Hvilken form har likningen nå?
aX + bY + cZ = d
aX = d
bY = d
Syv, og da blir det minus syv på den siden der, sånn som vi har fått det her.
Quiz section 29
Hva kom vi fram til på høyresiden?
21
0
7
Så ser vi at det er på den formen som står der oppe: et tall ganger X, et antall ganger Y, og så videre.
Quiz section 30
Stemmer den nye likningen med formen?
Ja
Nei
Vet ikke
Er lik et tall på høyresiden.
Quiz section 31
Hva er a, b, c?
Punktene i planet
Tilfeldige tall
Normalvektorens koordinater
Men samtidig så ser vi at det vi gjorde.
Quiz section 32
Hva gjorde vi med eksempelet?
Oversatte tekst
Utledet likningen
Ignorerte normalvektoren
Her.
Quiz section 33
Kan logikken generaliseres?
Bare noen ganger
Nei
Ja
Det kan vi på en måte generalisere til en formel.
Quiz section 34
Hva er den generelle normalvektoren?
(X₀,Y₀,Z₀)
(4,2,-3)
(a,b,c)
Og det har vi gjort her nede, for det er jo ikke alltid at normalvektoren har den konkrete verdien der, og punktet har den verdien der. Generelt sett så har vi en normalvektor som heter a b c, og så kan a b og c være hva som helst, og punktet heter X-null Y-null Z-null. Da har vi liksom ikke låst oss til at det er en fem sju. Hvis du gjør akkurat samme resonnementet som det vi gjorde med de tallene her oppe, så kommer vi fram til a(X minus X-null) pluss b(Y minus Y-null) pluss c(Z minus Z-null) = null, og da er jo a og b og c nettopp koordinatene til normalvektoren.
Quiz section 35
Hva er den generelle likningen?
a(X−X₀)+b(Y−Y₀)+c(Z−Z₀)=0
X+Y+Z=0
a+b+c=0
Og det ser vi at stemmer. Normalvektoren het fire to minus tre. Der er vi fire-tallet, da er vi to-tallet, der har vi minus tre.
Quiz section 36
Hvilket eksempel samsvarer med formelen?
(0,0,0)
(1,1,1)
(4,2,-3)
Så den generelle formelen ser sånn ut, men alt er basert på den logikken av P Q er vinklet på normalvektor.
Quiz section 37
Hva er grunnlaget for formelen?
Vinkelrettheten mellom PQ og N
At punktene er like
At planet er kurvet
Quiz section 38
Quiz section 39
04:38
Teori 2
Skjæring mellom linje og plan?
01:35
Teori 3
Normalvektorene til xy-planet, yz-planet og xz-planet.
03:11
Teori 4
Likningen . En linje i 2D, men et plan i 3D!
04:01
Teori 5
Parameterfremstilling av plan.
05:39
Teori 6
Plan: Fra parameter til likning.
04:36
Teori 7
Plan: Fra likning til parameter.
08:48
Teori 8
Skjæringslinje mellom 2 plan.
Hva har vi hittil brukt parameterframstilling på?
00:00
Hva annet enn linjer kan ha parameterframstilling?
00:07
Hvor mange retningsvektorer trengs for å beskrive et plan?
00:12
Hva må de to retningsvektorene ikke være?
00:12
Hva kalles et punkt i planet i eksempelet?
00:47
Hva trenger vi for å beskrive alle punkter i et plan?
00:53
Hvor mange parameterstørrelser brukes i planet?
01:18
Hvordan skrives punktet OP i parameterversjonen?
01:24
Hva er koordinatene til punkt A?
01:41
Hva er koordinatene til u-vektor?
01:52
Hva er koordinatene til v-vektor?
02:00
Hva er x uttrykt ved s og t?
03:09
Hva er y uttrykt ved s og t?
03:23
Hva er z uttrykt ved s og t?
03:40
Hvilket konsept nevnes sammen med T-matte og R1?
00:00
Hva kalles tallet som viser endringen i y per enhet i x?
00:15
Hvilken variabel legges ofte til når vi går fra 2D til 3D?
00:48
Hvor stor er z-komponenten i en ligning hvis den ikke nevnes?
01:00
Hva kalles en vektor som står vinkelrett på et plan?
01:11
Hvilken 2D-flate får vi fra en lineær likning i 3D?
01:22
Hva betyr det at planet ikke har en z-komponent i sin normalvektor?
01:25
I hvilket plan ligger en linje som bare varierer i x og y?
01:43
Hva kan flere punkter i et plan brukes til?
02:10
Hva danner punkter når de kobles sammen i et koordinatsystem?
02:23
Hva kalles en enkel tegning som viser hvordan en linje går?
02:26
Hvilket plan brukes når x og y varierer?
02:34
Hvilken retning beskriver ordet "oppover" for et plan i rommet?
02:47
Med hvilken akse kan et plan være parallelt?
02:53
Hva kalles linjen der et plan og XY-planet møtes?
02:58
Hvilken akse står vinkelrett på xy-planet?
00:00
Hvilke akser spenner ut xy-planet?
00:08
Hvilken retning regnes gjerne som 'oppover' i et standard 3D-system?
00:18
Hvilken vinkel danner en normalvektor med planet den står normalt på?
00:23
Hva kalles aksen som ofte er vertikal i 3D-rom?
00:26
Hvilken koordinat endres når man beveger seg opp langs z-aksen?
00:29
Endres retningen til en vektor hvis den ganges med en positiv skalar?
00:33
Hvilke akser spenner ut xz-planet?
00:58
Kan lengden på en normalvektor til et plan velges fritt?
01:15
Hva beskriver en likning av formen aX+bY+cZ=t?
00:00
Hva trenger vi for å finne et plans likning?
00:19
Hva kjennetegner en normalvektor?
00:47
Kan en normalvektor peke bort fra oss?
01:02
Er lengden på normalvektoren viktig?
01:13
Hva definerer et plan?
01:21
Hva gjør et punkt med planet?
01:29
Hva kan vi finne med normalvektor og punkt?
01:34
Hva er koordinater?
01:54
Hva er P Q-vektoren?
01:56
Hva leter vi etter i planet?
02:04
Hva vil vi finne i likningen?
02:06
Hvor må punktet Q ligge?
02:11
Hva er vinkelen mellom PQ-vektor og normalvektor?
02:25
Hva utnytter vi for å finne likningen?
02:41
Hva ser vi på først?
02:45
Hvordan finner vi PQ-vektor?
02:50
Hva blir N⋅PQ?
03:32
Hva fører N⋅PQ=0 til?
03:38
Hva er normalvektoren i eksempelet?
03:47
Hva gjør vi med uttrykket?
04:03
Hvilket ledd tar vi først?
04:07
Hva legger vi til neste?
04:11
Hvilket ledd kommer til slutt?
04:19
Hva blir summen lik?
04:24
Hva gjør vi med uttrykket nå?
04:29
Hvorfor rydder vi opp?
04:33
Hva er den endelige likningen?
04:37
Hvilken form har likningen nå?
04:48
Hva kom vi fram til på høyresiden?
05:10
Stemmer den nye likningen med formen?
05:16
Hva er a, b, c?
05:23
Hva gjorde vi med eksempelet?
05:27
Kan logikken generaliseres?
05:32
Hva er den generelle normalvektoren?
05:33
Hva er den generelle likningen?
05:38
Hvilket eksempel samsvarer med formelen?
06:17
Hva er grunnlaget for formelen?
06:26
Kan en rett linje og et plan skjære hverandre?
00:00
Kan man undersøke matematisk om en linje skjærer et plan?
00:10
Er det mulig å vite om en linje faktisk skjærer et plan?
00:14
Kan en tegning hjelpe med å forstå forholdet mellom en linje og et plan?
00:17
Kan en linje noen ganger ligge helt i et plan?
00:28
Om en linje ligger i et plan, utgjør den da uendelig mange skjæringspunkter?
00:42
Kan en linje skjære et plan i nøyaktig ett punkt?
00:47
Kan en linje være parallell med et plan og aldri skjære det?
00:59
Hvor mange generelle muligheter finnes for en linjes forhold til et plan?
01:13
Kan man sjekke skjæring ved å sette linjens parametere inn i planetes ligning?
01:28
Er det nyttig å markere beregninger med farger for oversikt?
01:51
Kan vi erstatte variabler med uttrykk fra parametre?
01:53
Når vi sjekker skjæring, setter vi inn parametre i alle koordinater?
02:00
Kan en linje beskrives med parametere som t?
02:05
Må alle koordinater (x,y,z) erstattes i planetes ligning?
02:08
Settes den resulterende likningen lik en konstant for å finne skjæring?
02:20
For å avgjøre skjæring, må vi løse en likning?
02:26
Oppstår skjæringspunktet hvis likningen har en løsning for t?
02:28
Kan t representere et parameter som bestemmer punkt på linjen?
02:34
Kan vi hoppe over irrelevante detaljer i en beregning?
02:43
Kan et ledd i ligningen være et produkt av en konstant og t?
02:45
Har en likning vanligvis et likhetstegn (=)?
02:48
Er en konstantverdi ofte på høyre side av likhetstegnet?
02:50
Samler man ofte like ledd for å løse en likning?
02:54
Kan flytting av ledd i en likning endre konstantverdien?
03:07
Hvis en likning løses for t, finner vi t-verdien?
03:14
Hvis ligningen for t har løsning, finnes et skjæringspunkt?
03:17
Kan vi finne skjæringspunktet ved å sette t-verdien inn i linjens parametre?
03:24
Finner vi hver koordinat ved å sette inn t?
03:30
Brukes likhetstegn for å angi koordinatverdi?
03:34
Fører substitusjon inn i koordinatuttrykk til en spesifikk verdi?
03:36
Kan farger brukes til å skille mellom opprinnelig og innsatt verdi?
03:43
Kan y-koordinaten finnes ved samme metode som x?
03:47
Er z-koordinaten også bestemt av t?
03:55
Kan en koordinat noen ganger være et enkelt talluttrykk?
03:59
Kan en løst ligning gi en konkret verdi for en koordinat?
04:01
Når alle t-verdier er kjent, kan vi beregne punktets koordinater?
04:04
Blir x en bestemt verdi etter innsetting av t?
04:10
Representerer i-verdien (y) linjens annenkoordinat?
04:14
Kan y- og z-verdier også bli tall etter substitusjon?
04:17
Danner x, y og z et punkt i rommet?
04:24
Hvis vi har et punkt som oppfyller både linje og plan, er det et skjæringspunkt?
04:29
Hvor mange retningsvektorer trenger vi for å parameterfremstille et plan?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Hvis de er parallelle får man bare gå langs én linje.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Er det mulig å definere et plan ved hjelp av ett punkt og én normalvektor?
Riktig svar!
Siden normalvektoren vil da stå 90 garder på planet, og da også punktet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
-
a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . -
c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Riktig svar!
\displaystyle \begin{align*} \vec{n}_{\alpha} & = \vec{AB} \times \vec{AC} \\\
& = [(-1)(-2) - (-1)0, - (-2)(-2) - (-1)(-1), (-2)0 - (-1)(-1)] \\\
& = [2,-3,-1]\end{align*}
\displaystyle\begin{align*} \alpha: 2(x-4) -3(y-3) - (z-1) & = 0 \\\
2x - 8 - 3y + 9 - z + 1 & = 0 \\\
2x - 3y - z + 2 & = 0 \end{align*}
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
En kuleflate er gitt ved likningen
-
a) Vis at punktet ligger på kuleflaten.
-
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
- c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet P.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
planet som tangerer i
\displaystyle\begin{align*} (x-2) + 2(y-3) + 2(z-5) & = 0 \\\
x - 2 + 2y - 6 + 2z - 10 & = 0 \\\
x + 2y + 2z & = 18\end{align*}
Er alle vektorer som er parallelle med z-aksen normalvektorer til xy-planet?
Riktig svar!
Ja siden z-aksen står normalt på xy-planet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Likningen kan tolkes som en rett linje i et koordinatsystem med bare x-akse og y-akse. Hva blir det hvis vi også har en z-akse?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Den linjen man ser i koordinatsystemet med bare x- og y-aksene går uendelig langt inn og ut av arket som et plan.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hva oppstår der en linje skjærer et plan?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden linjen bare har utstrekkelse i én retning.
Et plan er gitt ved likningen x+y+z=3. Hvilket av punktene A(0,0,-3) og B(0,0,3) ligger i dette planet?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Hvis man setter inn for x, y og z, så går ligningen opp.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Planet
-
a) Vis at punktet ikke ligger i planet .
En linje går gjennom P slik at . -
b) Bestem en parameterframstilling for .
- c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom og .
-
d) Bestem avstanden fra P til .
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
\displaystyle \begin{align*} 2\left( 3 + 2t \right) + \left(4 + t\right) - 2\left( 2 - 2t\right) + 3 & = 0 \\\
6 + 4t + 4 + t - 4 + 4t + 3 & = 0 \\\
9 + 9t & = 0 \\\
9t & = -9 \\\
t & = -1\end{align*}
Skjæringspunkt
Punktene og er gitt.
a) Bestem ved regning vektorproduktet
b) Forklar at C ligger på linjen gjennom A og B.
c) Bestem en likning for planet gjennom A, B og C.
d) Avgjør om punktet D(2, 2, 3) ligger i .
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Vektoren fra oppgave a) fungerer som en normalvektor for planet . Dermed er det bare å sette inn hvilket som helst av de tre punktene
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hva oppstår der to plan skjærer hverandre?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Hvis to linjer skjærer hverandre får man et punkt. Ser man de to linjene som plan vil det punktet bli strukket ut like langt som planene, altså bli til en linje.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hvordan gå fra en parameterfremstilling av et plan til likningen for planet?
Riktig svar!
Det er slik man gjøre det.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
En normalvektor til et plan er [1,2,3]. Er noen av vektorene [-3,0,1], [-2,1,0] og [0,-3,2] retningsvektorer for planet?
Riktig svar!
Hvis man tar vektorproduktet av hvilken som helst av de, så får man noe som er parallelt med den oppgitte normalvektoren.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Se løsning og registrer oppgaven
Setter inn i CAS og finner avstanden med "Avstand(Punkt, Objekt)". Setter deretter inn den gitte funksjonen og ser om de er like med "==".
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Se løsning og registrer oppgaven
Setter inn i CAS og bruker "Avstand(Punkt, Objekt)".
Dette er avstanden fra kulens sentrum til planet. Den korteste avstanden er da .
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at
Avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem eksakte verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Se løsning og registrer oppgaven
For at en kule og et plan skal tangere så må den korteste distansen mellom sentrumet til kulen og planet være lik radiusen til kulen. Bruker funksjonen vi fikk fra oppgave c i CAS til å finne hvilke t som gjør at kulen tangerer flaten.
Punktene og er gitt.
a) Bestem . Bestem arealet av
b) Punktene A, B og C ligger i et plan . Bestem likningen for planet .
En partikkel starter i origo O(0 , 0 , 0).Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved
c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer .
Se løsning og registrer oppgaven
Vi setter punktet C og normalvektoren inn i likningen for et plan og finner likningen for planet
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
- a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . -
c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Se løsning og registrer oppgaven
Setningen forteller at punktene og bestemmer entydig et plan kun hvis punktene ikke ligger langs en rett linje.
\displaystyle\begin{align*}\vec{AB} & \neq k \cdot \vec{AC}\ , \ k \in \mathbb{R} \\\
\vec{AB} & = [2-4,2-3,0-1] = [-2,-1,-1] \neq k \cdot\vec{AC} = k \cdot [1-2,2-2,-2-0] = k \cdot [-1,0,-2]\end{align*}
Hvilket skulle vises.
Punktene og er gitt.
a) Bestem ved regning vektorproduktet
b) Forklar at C ligger på linjen gjennom A og B.
c) Bestem en likning for planet gjennom A, B og C.
d) Avgjør om punktet D(2, 2, 3) ligger i .
Se løsning og registrer oppgaven
Punktet D ligger ikke i planet
Vi har gitt punktene , og
a) Vis at punktene ligger i planet gitt ved:
En linje står normalt på og går gjennom .
b) Bestem en parameterframstilling for
En kuleflate tangerer i .
c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen:
, for en
Punktet ligger på kuleflaten.
d) bestem sentrum til kuleflaten.
Se løsning og registrer oppgaven
Putter inn koordinatene fra punktene inn i likningen for planet og ser om det går opp.
For punkt
Ligger i planet
For punkt
Ligger i planet
For punkt
Ligger i planet
Da er det vist at punktene ligger i planet.
Planet
-
a) Vis at punktet ikke ligger i planet .
En linje går gjennom P slik at . -
b) Bestem en parameterframstilling for .
-
c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom og .
-
d) Bestem avstanden fra P til .
Se løsning og registrer oppgaven
Punktet ligger ikke i planet kun dersom punktets koordinater ikke tilfredstiller likningen til planet.
punktet ligger ikke i planet .
Punktene og er gitt.
a) Bestem . Bestem arealet av
b) Punktene A, B og C ligger i et plan . Bestem likningen for planet .
En partikkel starter i origo O(0 , 0 , 0).Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved
c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer .
Se løsning og registrer oppgaven
Punktet P har koordinatene . Vi finner for hvilken t -verdi punktet P ligger i planet
Det er bare som er med i definisjonsmengden.
Dermed er . Partikkelen treffer i punktet
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.