VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Følger og rekker
07:59
08:38
28:45
49:28
40:20
37:31
28:19
27:38
Integrasjon
50:14
21:01
10:10
13:14
44:32
83:00
34:51
23:29
44:01
Trigonometri
10:20
08:45
09:01
03:26
65:54
40:27
19:22
13:56
31:47
19:57
Modeller
10:13
Romgeometri
17:44
05:22
41:05
27:34
16:06
21:08
14:54
11:48
39:04
13:56
40:51
19:51
27:40
16:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
03:40
Teori 1
Paramterfremstilling for rett linje.
Vi skal nå se på parameterframstilling av en rett linje, og det var noe vi gjorde i r atten, så det nye er bare at vi har tre koordinater, X, Y og Z, tre divisjoner i stedet for to. Stikkordet er at vi har et punkt og en retningsvektor. Så hvis vi bare sier at vi har et punkt, la oss kalle det A, da har vi en retningsvektor som vi kaller v-vektor.
Quiz section 0
Hva trengs for å beskrive en linje parametrisk?
Et punkt og en retningsvektor
Bare et koordinatsystem
Kun et tall
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Så betyr egentlig det at vi får en slags vektorfremstilling.
Quiz section 1
Hva gir parameterframstilling av en linje?
En vektorbeskrivelse
En ren tallinje
En vilkårlig formel
Det å bare ta [..].
Quiz section 2
Hva innebærer en vektorfremstilling?
En linje beskrevet med punkt og retning
Bare en tilfeldig koordinat
Kun ett punkt
Gå fra Origo til A, og så må vi ta med retningsvektoren, men det er klart at vi ikke bare kan ha det sånn.
Quiz section 3
Hvordan finner man et punkt på linjen?
Ved å ignorere koordinater
Ved å gjette
Ved å bruke punkt og retningsvektor fra origo
Vi må ta fordi da blir det jo bare at punktet P blir et punkt hele tiden. Så hvis vi varierer hvor langt vi skal gå i v-retning, for å si det sånn, kan vi gjøre det med en t. Da har jeg t-parameteren på en måte, og det som står her er jo strengt tatt det vi kaller en vektorfremstilling.
Quiz section 4
Hvorfor innføres en parameter t?
For å slette linjen
For å endre dimensjonene i rommet
For å endre punktet langs linjen
Av en rett linje.
Quiz section 5
Hva beskrives med parameterframstillingen?
En sirkel
En rett linje
Et tilfeldig punkt
Men nå skal vi ta et eksempel.
Quiz section 6
Hvordan konkretiseres framstillingen?
Med et eksempel
Ved å fjerne parameteren
Ved å ignorere retningsvektoren
Hvis vi nå sier at punktet [..].
Quiz section 7
Hva velger man først i parametervisningen?
Et punkt på linjen
En vilkårlig skalar
Et koordinatsystem med bare en akse
Og det heter [..].
Quiz section 8
Hvorfor navngi elementene?
For klarhet i beskrivelsen
For å gjøre det komplisert
For å fjerne all informasjon
En [..].
Quiz section 9
Hvorfor er navn nyttige?
For enkel referanse
For å endre linjens retning
For å hindre forståelse
To minus tre, og retningsvektoren, den kan få lov til å være [..].
Quiz section 10
Hva kjennetegner en retningsvektor?
Den har komponenter som gir retning
Den er alltid null
Den består av bare én koordinat
To [..].
Quiz section 11
Hvor mange komponenter har en retningsvektor i 3D?
Tre
Ingen
To
Minus tre fem for eksempel.
Quiz section 12
Hva kan justeres for å endre linjens retning?
Retningsvektoren
En vilkårlig skalar
Tidsenheten
Så får vi da at vektorfremstillingen blir da.
Quiz section 13
Hva viser vektorfremstillingen?
Bare startpunktet
Hvordan hvert punkt kan uttrykkes
Bare endepunktet
At vi går fra O til A, det blir jo da en, to, tre, sånn pluss tre ganger det som står der.
Quiz section 14
Hva innebærer det å gå fra O til A?
Å ignorere alle koordinater
Å slette linjen
Definere startpunktet for linjen
Og det er jo i seg selv.
Quiz section 15
Hva er en naturlig del av parameterframstillingen?
Å representere alle punkter langs linjen
Å finne bare ett punkt
Å ignorere parameteren t
En versjon.
Quiz section 16
Kan en linje ha flere parameterversjoner?
Nei, kun én form finnes
Bare hvis linjen er loddrett
Ja, den kan uttrykkes på ulike måter
Kan godt bare [..].
Quiz section 17
Finnes det fleksibilitet i uttrykksmåten?
Kun hvis man endrer enhetssystem
Nei, alt må være identisk
Ja, man kan velge ulike skrivemåter
Men vi kan også tenke oss at det punktet O P, det består av X, Y, Z som.
Quiz section 18
Hva representerer O P?
En meningsløs verdi
En tilfeldig skalar
Et generelt punkt på linjen
Og så er det sånn at enten så kan vi bare ha det alt skilt eller kan vi slå det sammen.
Quiz section 19
Kan man skrive koordinater separat eller samlet?
Nei, alltid samlet
Nei, alltid separat
Ja, valget er fritt
Men jeg tror jeg velger å ha det adskilt, det spiller ingen rolle.
Quiz section 20
Påvirker valget av skrivemåte resultatet?
Bare hvis t er null
Ja, helt ulike linjer
Nei, ingen matematisk forskjell
Du kan si det sånn at jeg kan bare for moro skyld, eller ikke for moro skyld, men bare vise hvordan det blir hvis vi skriver det her sammen. Hvis vi legger sammen X koordinaten, så blir det en pluss to t.
Quiz section 21
Hva får man ved å legge sammen koordinater med t?
Ingen meningsfull info
Eksplisitt uttrykk for x, y, z
Kun én koordinat
Hvis vi legger sammen ny koordinaten, så blir det to minus tre t, og hvis vi legger sammen, så blir det tre minus fem t. Nei, tre pluss fem t.
Quiz section 22
Hva gir sammensetningen av koordinater i parameterform?
Bare en konstant verdi
Ingen forståelse for linjen
Lineære ligninger for hver koordinat
Så, og da får vi da parameterversjonen ved å si at x = en pluss to t, det er da.
Quiz section 23
Hva kalles x, y, z uttrykt ved t?
Et vektorprodukt
En konstant funksjon
Parameterversjonen
Og y = [..].
Quiz section 24
Hva betegner y i parameterframstillingen?
En vertikal koordinat
Et tilfeldig punktnavn
En konstant vektor
To minus tre [..].
Quiz section 25
Hva påvirker t i y-koordinaten?
Den lineære endringen i verdien
Ingen endring
Den gjør alltid y negativ
Men det ser vi også her [..].
Quiz section 26
Hvor ser vi sammenhengen mellom x, y og t?
Ingen steder
Kun i et diagram
I de parametergitte ligningene
Minus [..] og [..].
Quiz section 27
Hva skjer med koordinatene når t endres?
De blir alltid null
De forblir konstante
De kan øke eller minke
Ser vi blir tre pluss fem t, som er det som står der borte.
Quiz section 28
Hvordan uttrykkes z-koordinaten?
Som produkt av x og y
Kun som en konstant
Grunnverdi pluss faktor gange t
Som [..].
Quiz section 29
Kan alle koordinater uttrykkes likt?
Nei, bare y og z
Nei, bare x
Ja, hver koordinat med egen formel
Sånn ser parameterversjonen ut når vi vet punktet og retningsvektoren.
Quiz section 30
Hva trenger man for en fullstendig parameterversjon?
Et kjent punkt og en retningsvektor
Bare en vilkårlig skalar
Kun et koordinatsystem uten punkter
Quiz section 31
Quiz section 32
02:29
Teori 2
To linjer i rommet.
02:12
Teori 3
Rett linje: Fra parameter til likning.
06:33
Teori 4
Posisjonen til en partikkel er gitt ved.
.
a) Bestem banefarten til partikkelen når .
Et plan er gitt ved . Det finnes fire verdier for som gjør at posisjonskurven til partikkelen tangerer . Hver av disse fire verdiene gir oss et punkt på kurven.
b) Forklar hvorfor når svarer til et av de fire punktene.
c) Bestem koordinatene til disse punktene.
01:55
Oppgave 1
Finn en parameterframstilling for en linje som går gjennom punktene A(1,1,2) og B(-1,0,3).
02:47
Oppgave 2
Finn en parameterframstilling for planet som går gjennom punktene A(1,1,2), B(-1,0,3) og C (2,2,2)
02:21
Oppgave 3
To linjer l og m er gitt ved
.
Finn en parameterframstilling for et plan som inneholder l, og som er parallelt med m.
.
Finn en parameterframstilling for et plan som inneholder l, og som er parallelt med m.
04:45
Oppgave 4
Tre punkter har posisjonsvektor u,v og 4v - 3u. Vis at de tre punktene ligger på en rett linje.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.