VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Følger og rekker
07:59
08:38
28:45
49:28
40:20
37:31
28:19
27:38
Integrasjon
50:14
21:01
10:10
13:14
44:32
83:00
34:51
23:29
44:01
Trigonometri
10:20
08:45
09:01
03:26
65:54
40:27
19:22
13:56
31:47
19:57
Modeller
10:13
Romgeometri
17:44
05:22
41:05
27:34
16:06
21:08
14:54
11:48
39:04
13:56
40:51
19:51
27:40
16:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
05:04
Teori 1
Harmoniske svingninger - vi setter opp likningen.
(Dette er et tema som er med i noen lærebøker, men som neppe kommer på eksamen etter den nyeste læreplanen)
(Dette er et tema som er med i noen lærebøker, men som neppe kommer på eksamen etter den nyeste læreplanen)
I fagplanen i r to-matte står det at du skal kunne sette opp differensialligninger for noe som heter frie svingninger. Det har å gjøre med fjærer og at det henger noe i en fjær som gynger opp og ned. Det er jo veldig mye fysikk, så jeg synes nesten det er rart at det er med i det hele tatt i matte, men det er noe med. Da skal vi se litt på [..] byene med litt fysikk egentlig. Nå skal vi komme fram til noen differensialligninger her til slutt, men vi tar det litt fra scratch på en måte. Vi begynner med et litt enklere system enn det verste systemet, og grunnen til at jeg sier at det er enklere er at vi ikke skal ha med friksjon eller luftmotstand.
Quiz section 0
Hva beskriver en differensialligning?
En vilkårlig formel
En fast tallverdi
Et forhold mellom en funksjon og dens deriverte
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og nå tar vi og ser for oss en fjær. Jeg har prøvd å tegne. Tenk deg at dette er et slags tak. Og så henger den fjæra ned. Hvis det ikke er noe i den fjæra, så blir den fjæra så lang.
Quiz section 1
Hva gjør en fjær når den strekkes?
Den utøver en kraft som trekker tilbake
Den slutter å virke
Den forkortes spontant
Mens hvis du henger på et lodd i den.
Quiz section 2
Hva skjer når du henger et lodd i en fjær?
Den forkortes
Ingen endring
Den forlenges
Sånn at du veier på en måte det loddet, så vil loddet henge der omtrent. Da ser vi at det er blitt en forlengelse som vi kaller x null.
Quiz section 3
Hva kalles lengden fjæra har i ro med lodd?
Likevektsforlengelse
Nullpunktforlengelse
Maksimalforlengelse
I den situasjonen, hvis da den massen er i ro, det er det som er liksom poenget, og dette er det som heter likevektsposisjon.
Quiz section 4
Hva er netto kraft ved likevekt?
Den er positiv
Den er null
Den er negativ
Da vet vi i fysikken at da må det være like stor tyngdekraft nedover som det er fjærkraft oppover.
Quiz section 5
Hva kjennetegner krefter i likevekt?
De er alltid rettet samme vei
De oppstår ikke
De er like store og motvirker hverandre
Og når det gjelder fjærkrefter, så er de litt spesielle, for det er jo sånn med fjærer at jo mer du drar, jo lenger ut du drar i en fjær, jo mer kraft blir det. Kraften er proporsjonal med forlengelsen, så hvis den blir forlenget x null, så betyr det at vi har en proporsjonalitetskonstant k ganger x null. Grunnen til at det står et minustegn der er at når du drar fjæra nedover, så virker kraften oppover fra fjæra, og da blir det et minustegn.
Quiz section 6
Hvordan varierer fjærkraften med forlengelsen?
Den er omvendt proporsjonal
Ingen sammenheng
Den er proporsjonal
Fordi hvis vi velger nedover som positiv retning, og kraften virker oppover, så blir det da i negativ retning.
Quiz section 7
Hvordan avgjøres fortegnet på en kraft?
Tilfeldig
Av kraftens størrelse alene
Av valg av positiv retning
Og så går vi bort til en ny situasjon, og det er at kanskje noen har dratt fjæra lenger.
Quiz section 8
Hva skjer hvis du drar fjæra lenger?
Ingen endring
Kraften øker
Kraften minker
Og sluppet. Og så står fjæra bare og gynger opp og ned.
Quiz section 9
Hva skjer når loddet slippes fra en strukket posisjon?
Det forblir i ro
Det faller av fjæra
Det oscillerer
Og hvis den gynger opp og ned, så er det jo sånn at, ok, hvis det er samme loddet som er der og bare en ny situasjon, så er det akkurat samme tyngdekraften. Tyngdekraften er gitt ved den formelen mg, som vi ser, det er masse ganger tyngdeakselerasjonen. Fjærkraften er jo nå blitt mye større, for nå er jo strekket derfra og helt ned dit, og det strekket er jo den x null-en vi hadde i stad pluss en ekstra bit x videre nedover.
Quiz section 10
Hva er tyngdekraften på et lodd?
m*g
k*m
g/k
Og hvis vi nå begynner å sette opp Newtons lover på dette her. Vi kan jo begynne med Newtons andre lov her borte, det har vi egentlig allerede sagt. Hvis vi nå sier at summen av kreftene er lik m ganger a, ja.
Quiz section 11
Hva sier Newtons 2. lov?
Summen av krefter = masse * akselerasjon
Summen av krefter = 0
Masse = akselerasjon
Det skrev x dobbeltderivert, det er jo det samme for så vidt. Men hvis vi bare holder på det, se på en gang til dette systemet her, så er det ingen akselerasjon, og derfor blir summen av kreftene lik null. Da betyr det at g minus f, de to.
Quiz section 12
Hva betyr det når akselerasjonen er null?
Kraftbalanse
Uendelig hastighet
Ingen masse
Ja, g pluss f blir det egentlig. De to blir da lik null til sammen. Men når vi stopper inn at fjærkraften var lik minus k gange x null, så får vi det som står her.
Quiz section 13
Hva kalles tilstanden når tyngdekraft og fjærkraft balanserer?
Likevekt
Resonans
Ustabilitet
Ja.
Quiz section 14
Hva indikerer en bekreftelse under en utledning?
At utledningen stemmer
At den er feil
At den er irrelevant
Og så går vi bort ifra det litt kjedelige systemet hvor alt er i ro, til det systemet som egentlig står og gynger. For hvis det er frie svingninger, så betyr det at det ikke er noe som holder dette her. Det er noe som kanskje holdt og dro et stykke ned og slapp, og så, etterpå, så bare står det og gynger. Og da er det jo sånn at summen av kreftene er lik masse ganger akselerasjon, Newtons andre lov.
Quiz section 15
Hva kjennetegner frie svingninger?
Ingen ytre påvirkning
Konstant skyvkraft
Økende amplitude uten ende
Veldig mye fysikk som sagt. Og da er det altså kraften nedover som er den positive retningen. Det blir mg, og så må vi plusse på den kraften der, og det er minus k (x null pluss x) skulle det stå. Så løser vi opp parentesen, og så kom vi ned hit, og så ser vi morsomt at da ser vi at vi har den greia der.
Quiz section 16
Hva slags type ligning beskriver harmoniske svingninger?
En differensialligning
En lineær ligning uten deriverte
En konstant likning
Og det vet vi jo at de to, den greia der er null, så da kan vi stryke den. Hvis vi rydder opp i dette her, så får vi x dobbeltderivert lik minus k over m gange x. Det er en veldig kjent ligning. Det er faktisk ligningen for harmoniske svingninger for en fjær hvor det ikke er friksjonskrefter med, og et lodd vil da bare gynge opp og ned.
Quiz section 17
Hva slags bevegelse gir en ideell fjær uten friksjon?
Kaotisk bevegelse
Harmoniske svingninger
Fullstendig stillstand
I all evighet. Og det er klart at det jo ikke er virkeligheten at du får til noe sånt, men man kan tenke seg, kanskje du til og med har sett det på skolen hvis du har fysikk. Hvis lærerne har hengt et lodd opp i en fjær, så gynger det veldig, veldig lenge. Den typiske løsningen x som funksjon av tid blir enten en sinus- eller en cosinusfunksjon, men det har vi ikke tenkt å løse her og nå. Det skal vi gjøre senere.
Quiz section 18
Hvilke funksjoner beskriver ofte slike svingninger?
Sinus og cosinus
Logaritmer
Lineære funksjoner
Quiz section 19
Quiz section 20
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.