VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse

Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene

Enkelt å
holde fokus

Forstå det
vanskelige

Få god
oversikt

Øv på
riktig tema

Få hjelp når
du stopper opp

Tilbakemeldinger Brukerhistorier

Anne-Lise Frivold Svendsen

Flott opplegg og undervisning😊

Karina Tellmann Marthinussen

Tusen takk!

Ruben Flatås

Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊

Vilde Ågotnes

Bra undervisning!

Hamdi A Ahmed

Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊

Halvard Balto

Meget bra!

Halil Ibrahim Keser

Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.

Marte Forsberg

Helt topp :D

Jon Mills

Bra side.

Kirsti Beate Årsandøy

Kjempebra!😊

Mari Bertelsen

Bra side. Veldig gode forklaringer😊

Selma Voss

Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D

Caja Magnussen

takk for hjelpen

Abdi Omar

Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk

Olav Lunde Arneberg

Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.

Daniel Gabrielsen

takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.

Kassi 17 år - har eksamen i R1 til våren.

Min lærer går litt for raskt gjennom r1 pensum, noe som gjør at jeg trenger repetisjon av de vanskeligste emnene...les mer

Liam 34 år - har eksamen i R2 til jul.

Jeg kjøpte medlemskap fordi jeg ønsket forklaring via video og tilgang på "lærer" hele døgnet. Mattevideo er...les mer

Oda 16 år - har eksamen i 1T til våren.

Jeg ble abonnement hos mattevideo fordi jeg slet med å forstå pensum i 1T. Jeg ønsket å prøve, for å se...les mer

Nicolai 21 år - har eksamen i R2 til sommeren.

Jeg ble medlem for å forbedre meg, og gå dypere inn i spesifikke temaer. Jeg går i 10. klasse og tar forsert løp...les mer

Daniel 15 år - har eksamen i 1t til våren.

Jeg ble medlem for å forbedre meg, og gå dypere inn i spesifikke temaer. Jeg går i 10. klasse og tar forsert løp...les mer

June 20 år - preppet til eksamen.

Jeg brukte mattevideo da jeg måtte ta opp igjen eksamen, selvlært. Min gamle lærer gjorde det veldig vanskelig å henge med...les mer

Organiser temaene etter ønsket lærebok

Kapittelinndeling: Sinus R2

Følger og rekker

07:59

21:40

10:59

28:08

Geometriske følger

Geometriske rekker

36:09

43:52

Uendelige rekker

20:59

28:33

Geometriske rekker med variable kvotienter

08:58

Induksjonsbevis

28:45

49:28

Integralregning

Derivasjon

Ubestemt integral

07:38

08:24

Integralet 1/xdx

01:11

07:52

Integrasjon av eksponentialfunksjoner

07:29

Bestemt integral som grense for en sum

30:41

10:26

Fundamentalsetningen

04:27

Å finne areal ved regning

34:04

28:47

Å finne areal mellom to grafer

13:11

20:05

Integrasjonsmetoder

Samlet resultat

Tilnærmingsmetoder for integral

07:17

Trapesmetoden

15:05

Variabelskifte

09:24

Delvis integrasjon

21:10

08:40

Delbrøkoppspalting

16:57

09:55

Integrasjon og volum

23:29

27:42

Overflateareal

07:34

Funksjonsdrøfting

07:31

Vektorer

Vektorer i rommet

02:35

03:31

Punktkoordinater og vektorkoordinater

07:57

03:14

Regning med vektorkoordinater

Skalarproduktet

41:39

15:07

Vektorproduktet

17:35

34:30

Volum

14:04

12:49

Likninger for plan

59:28

30:16

Rette linjer i rommet

37:45

11:48

Avstand fra punkt til linje og til plan

27:40

16:06

Trigonometri

Vinkelmål

19:21

08:45

Generelle trigonometriske definisjoner

21:24

03:26

Sinuslikninger

13:21

09:44

Cosinuslikninger

03:30

11:22

Likninger med tangens

03:06

15:54

Enhetsformelen og andregradslikninger

Trigonometriske formler

19:22

17:23

Likningen a sin (kx) + b cos (kx) = c

24:33

Funksjoner og kurver

Sinusfunksjonen

13:18

05:28

Trigonometriske modeller

39:37

13:44

Cosinusfunksjonen

07:04

14:29

Funksjonen f(x) = a sin(kx) + b cos(kx) + d

07:10

Tangensfunksjonen

04:15

Derivasjon av de trigonometriske funksjonene

41:30

67:40

Kurver og vektorfunksjoner

Derivasjon av vektorfunksjoner

Fartsvektor og akselerasjonsvektor

06:33

Se gjennom eksamen

Eksamenstid 5 timer Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer. Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.

Oppgåve 1 (4 poeng)

Deriver funksjonane

f(x) = 3cosx

g(x) = 6sin(\pi*x) + 7

h(x) = 3e^{(2x)}*sin(3x)

Oppgåve 2 (4 poeng)

Bestem integralet

\int \frac{2x}{x^2 - 4} dx

ved å bruke

a) variabelskifte

b) delbrøkoppspalting

Oppgåve 3 (4 poeng)

Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt.

a) Bestem

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

. Bruk resultatet til å bestemme arealet av

\Delta ABC

b) Bestem

\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}

. Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet av

\Delta ABC

Oppgåve 4 (3 poeng)

Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2

Oppgåve 5 (5 poeng)

Ei rekkje er gitt ved

S_n = 1 + 3 + 5 + 7 +\ldots+ a_n

a) Bestem

a_{16}

S_{16}

b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for

a_n

S_n

c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for at

{S_{n}} > {400}

Oppgåve 6 (2 poeng)

Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : •

f(x) > 0

for alle

x \in \mathbb{R}

•

f(x) > 0

for alle

x \in <\leftarrow , -2>\cup <2, \rightarrow >

•

f'(x) = 0

for x = -2 og for x = 2 •

f'(x) = 0

for x = 1 og for x = 3

Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.

Oppgåve 7 (2 poeng)

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n): a + ak + ak^2 + ak^3 +\ldots+ak^{n-1} = a*{\frac{k^n-1}{k-1}} , n\in \mathbb{N}

Oppgåve 1 (4 poeng)

Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda.

a) Forklar at

y' = 8 - 0,05*y

b) Vis at

y(t) = 160 - 160e^{-0,05t}

når y (0) = 0

c) Bestem

\lim_{t\rightarrow \infty} y(t)

. Kommenter svaret.

Oppgåve 2 (6 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

f(x) = 12e^{-0,5x}*sin(0,5x) , x \in[0, 4\pi]

a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.

Oppgåve 3 (8 poeng)

Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4) R2_eksm_5

a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.

b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?. Vis ved rekning at planet ? har likninga 4x + 3z - 12 = 0

c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.

d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.

Oppgåve 4 (6 poeng)

Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning

x^2 + y^2 = 9

. Punktet A har koordinatane (2,0) og

\angle OAC = 90^{\circ}

a) Vis at koordinatane til C er

2,\sqrt{5}

. Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.

b) Når flatestykket

F_1

blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle. Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.

c) Når flatestykket

F_1

blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment. Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.

Oppgåve 5 (6 poeng)

På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D. R2_eksm_7

a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.

b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat. Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat. Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Oppgåve 6 (6 poeng)

Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik:

1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.

Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja

A*({\frac{1}{4}}+{\frac{3}{16}}+{\frac{9}{64}}+{\frac{27}{256}}+\ldots)

a) Bestem summen av rekkja ovanfor. Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?

b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis

3*{\frac{3}{2}}*a, 3*{\frac{9}{4}}*a, 3*{\frac{27}{8}}*a

3*{\frac{81}{16}}*a

c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik

3*(\frac{3}{2})^n*a

Forklar at

3*(\frac{3}{2})^n*a \rightarrow \infty

når

n \rightarrow \infty

Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?

Gratis Prøvesmak

Superteknikker

En til en veiledning

Prøvesmak våre videoer

Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.
1P - Polynomfunksjoner 1PY - Prosentregning 1T - Funksjonsbegrepet 2P - Første grad S1 - Likningssett R1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsregler S2 - Aritmetiske og geometriske rekker R2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner

Lær å jobbe smarterepå 5 minutter

Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.

Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.

Hva skjer i hjernen når du lærer?

Du møter noe nytt for første gang

Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før

Du repeter og styrker sammenhengene

Du bruker kunnskapen

Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem

Teknikkene som gjør deg til en superelev

Hvordan takle
prestasjonsangst

Hvordan
takle nederlag

Notatteknikker

Studieteknikker
som ikke funker

Hvordan prioritere

Hvordan få mer
selvdisiplin?

A og B mennesker
- Ideel arbeidstid

Atmosfære og
ideelt arbeidssted

Digitale hjelpemidler

Musikk

En til en veiledning

Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.

- Kapittelinndeling: Sinus R2 (oppdatert læreplan)

- Integrasjonsmetoder

- Integrasjon og volum

05:52

Teori 4

Omdreiningsflater - hva det er og hvorfor formelen blir som den blir.

01:48

Teori 1

Hva er en omdreiningsfigur?

05:43

Teori 2

Vi regner volumet av et omdreiningslegeme dreiet om y-aksen.

02:38

Teori 3

Volumet av en omdreiningsfigur.

07:28

Teori 5

Vi tegner og regner. Gitt funksjonen

$f(x)=\sqrt {x+3} \;, \; D_f =[1,13]$

Tegn grafen og finn volumet av omdreiningsfiguren vi får ved å dreie grafen om x-aksen.

07:58

Oppgave 1

Gitt funksjonen

f(x)= {\frac{1}{x} } \;, \; D_f =[1,t] \:,\: t>1

.
a) Tegn grafen til f.
b) Finn et uttrykk for volumet av figuren vi får når vi dreier grafen om x-aksen.
c) Finn volumet når x = 2
d) Hva blir volumet av omdreiningsfiguren når t går mot uendelig?

03:35

Oppgave 2

Vis ved å betrakte en kjegle som et omdreiningslegeme at volumet til en kjegle med radius

r

og høyde

h

er gitt ved

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

07:33

Oppgave 3

Vis at volumet,

V

, til en kule med radius

r

, er gitt ved

V=\frac{4}{3}\pi r^3

08:36

Oppgave 4

Ei stålkule har diameter

10 \; \text{cm}

og et hull i midten med diameter

5 \text{cm}

, tvers gjennom kulas sentrum. Stålet har tetthet

7,8 \; \text{g/cm}^3

. Hvor mye veier kula?

Skjul video ▼

Vis video ▲

Selvtester og oppgaver for mengdetrening

10 sekunders quiz

Eksamensoppgaver

Hva skal vi finne her?

Areal

Lever svar

Volum

Lever svar

Omkrets

Lever svar

00:00

Rundt hvilken akse dreies figuren?

y-aksen

Lever svar

x-aksen

Lever svar

z-aksen

Lever svar

00:12

Hva deles vasen inn i?

Skiver

Lever svar

Kjegler

Lever svar

Kubber

Lever svar

00:34

Hvilken form ligner én slik skive på?

Sylinder

Lever svar

Terning

Lever svar

Kjegle

Lever svar

00:56

Hva er radien på skiven?

f(x)

Lever svar

2π

Lever svar

01:04

Hvilken metode brukes for å summere volumet?

Integrasjon

Lever svar

Subtraksjon

Lever svar

Derivasjon

Lever svar

01:31

Hva skal vi øve på i neste steg?

Å regne ut eksempler med integrasjon

Lever svar

Å utforske nye funksjoner

Lever svar

Å tegne flere grafer

Lever svar

02:29

Hvilket tverrsnitt dannes ved rotasjon av en kurve rundt en akse?

Sirkel

Lever svar

Trekant

Lever svar

Kvadrat

Lever svar

00:00

Hva kalles tallene som markerer start og slutt på et intervall?

Grenseverdier

Lever svar

Tilfeldige tall

Lever svar

Uendelige tall

Lever svar

00:50

Hvor mange dimensjoner har en omdreiningsfigur?

Tre

Lever svar

Én

Lever svar

01:06

Hva kalles linjen en figur dreies rundt?

Akse

Lever svar

Punkt

Lever svar

Overflate

Lever svar

01:09

Fører full rotasjon til en lukket form?

Lever svar

Nei

Lever svar

Bare iblant

Lever svar

01:14

Hvilken gjenstand kan en rotert form ligne på?

Vase

Lever svar

Trekant

Lever svar

Penn

Lever svar

01:18

Hvilken form har tverrsnittet i en omdreiningsfigur?

Sirkel

Lever svar

Kvadrat

Lever svar

Linje

Lever svar

01:23

Hva kan man beregne for en tredimensjonal omdreiningsfigur?

Volum

Lever svar

Perimeter

Lever svar

Vinkel

Lever svar

01:26

Hva kalles et 3D-objekt som oppstår ved rotasjon av en kurve?

En lineær funksjon

Lever svar

Et omdreiningslegeme

Lever svar

Et polygon

Lever svar

00:00

Hvilken symmetri får en figur som dreies rundt en akse?

Sirkelsymmetri

Lever svar

Tresymmetri

Lever svar

Aksial ulikhet

Lever svar

00:07

Er prinsippet for å regne ut volum i CAS og for hånd annerledes?

Ja, helt forskjellig

Lever svar

Nei, det er likt

Lever svar

Ukjent

Lever svar

00:23

Hvor mange grader dreies legemet?

180°

Lever svar

360°

Lever svar

90°

Lever svar

00:41

Hva er målet med eksempelet i videoen?

Finne areal

Lever svar

Finne volum

Lever svar

Finne gjennomsnitt

Lever svar

00:45

Hvilket program brukes for å tegne funksjonen?

Paint

Lever svar

GeoGebra

Lever svar

Notepad

Lever svar

00:50

Hvilket program nevnes i tillegg til GeoGebra?

Word

Lever svar

Paint

Lever svar

Excel

Lever svar

00:56

Hva kalles funksjonen man bruker når man roterer rundt en annen akse?

Den omvendte funksjonen

Lever svar

Den deriverte funksjonen

Lever svar

Den lineære funksjonen

Lever svar

01:05

Når vi roterer rundt y-aksen, i hvilken retning integrerer vi?

z-retningen

Lever svar

x-retningen

Lever svar

y-retningen

Lever svar

01:19

Hvorfor velger man å definere funksjonen uten grenser i GeoGebra?

For å unngå at programmet krasjer

Lever svar

Fordi funksjonen ikke har stigning

Lever svar

Fordi det er ikke tillatt

Lever svar

01:24

Hva slags funksjon er x opphøyd i to pluss 1?

Lineær funksjon

Lever svar

Kvadratisk funksjon

Lever svar

Logaritmisk funksjon

Lever svar

01:36

Hvilken GeoGebra-kommando brukes til å løse ligninger?

'Deriver'

Lever svar

'Løs'

Lever svar

'Plot'

Lever svar

01:52

Hva angis vanligvis etter komma i kommandoen 'Løs'?

Variabelen

Lever svar

Funksjonens farge

Lever svar

Merknader til løsningen

Lever svar

02:13

Hva kjennetegner ofte løsningen av en kvadratisk ligning?

Den har én løsning

Lever svar

Den har to løsninger

Lever svar

Den har ingen løsning

Lever svar

02:31

Hvilken rot brukes som regel for den omvendte funksjonen?

Den negative rot

Lever svar

Den positive rot

Lever svar

Ingen av dem

Lever svar

02:34

Hvilken kommando i GeoGebra finner den inverse funksjonen?

'Invers'

Lever svar

'Omvendt'

Lever svar

'Ekspander'

Lever svar

03:12

Kan man bruke 'omvendt' som kommando i GeoGebra?

Ja, alltid

Lever svar

Nei, man må bruke 'Invers'

Lever svar

Bare i eldre versjoner

Lever svar

03:28

Hva gjør GeoGebra hvis funksjonsnavnet er opptatt?

Velger et annet navn

Lever svar

Stopper programmet

Lever svar

Viser en feilmelding

Lever svar

03:31

Hvordan definerer man en funksjon i GeoGebra?

Ved å skrive inn funksjonsuttrykket

Lever svar

Ved å tegne med musen

Lever svar

Ved å klikke på en knapp

Lever svar

03:44

Hva er forskjellen på a(y) og a(x) i GeoGebra?

Variabelnavnet

Lever svar

Ingenting, de er identiske

Lever svar

De har ulike størrelser

Lever svar

03:51

Har endringen av variabelnavn stor praktisk betydning?

Ja, i alt

Lever svar

Nei

Lever svar

Bare i geometri

Lever svar

03:59

Hvilket intervall har den opprinnelige funksjonen?

Fra 0 til 2

Lever svar

Fra 1 til 5

Lever svar

Fra -1 til 1

Lever svar

04:06

Hvilket intervall får den omvendte funksjonen?

Fra 0 til 2

Lever svar

Fra 1 til 5

Lever svar

Fra -2 til 2

Lever svar

04:18

Hvilke y-verdier må benyttes for omvendte funksjonen?

1 til 5

Lever svar

0 til 2

Lever svar

2 til 4

Lever svar

04:23

Hva beregner vi med denne metoden?

Volum

Lever svar

Overflate

Lever svar

Gjennomsnitt

Lever svar

04:53

Hva inngår i formelen for volumet?

Pi og radius i annen

Lever svar

Bare pi

Lever svar

Kun diameter

Lever svar

04:58

Hva tilsvarer funksjonsverdien i et roteringsvolum?

Radius

Lever svar

Frekvens

Lever svar

Avstand til origo

Lever svar

05:06

Kan original og omvendt funksjon begge brukes for å finne volum?

Ja, de gir samme resultat

Lever svar

Nei, det går ikke

Lever svar

Bare i noen tilfeller

Lever svar

05:17

Får vi samme volum uansett om vi bruker f(x) eller dens inverse funksjon?

Nei

Lever svar

Bare ved spesielle funksjoner

Lever svar

05:22

Hvilke integrasjonsgrenser gjelder for den omvendte funksjonen?

Fra 0 til 2

Lever svar

Fra 1 til 5

Lever svar

Fra -1 til 4

Lever svar

05:27

Hva kalles en flate som dannes ved rotasjon rundt en akse?

En plan kurve

Lever svar

Omdreiningsflate

Lever svar

En sylinder

Lever svar

00:00

Hva tematiseres i dette avsnittet?

Beregning av flateareal

Lever svar

Oversetting av funksjoner

Lever svar

Gjennomsnittsfart

Lever svar

00:04

Hva er det snakk om i dette avsnittet?

Linjestykket av en funksjon

Lever svar

Arealet til en omdreiningsflate

Lever svar

Derivasjon av parametre

Lever svar

00:07

Hva slags funksjon nevnes i avsnittet?

f(x)

Lever svar

g'(x)

Lever svar

Konstant funksjon

Lever svar

00:12

Hvor mange grader roterer vi et eksempel rundt x-aksen?

180

Lever svar

360

Lever svar

00:18

Hva beskrives i denne delen?

Hvordan flaten ser ut

Lever svar

Hvordan summetegn skrives

Lever svar

Hvordan du kalkulerer en integralgrense

Lever svar

00:36

Hva blir dannet rundt x-aksen ifølge beskrivelsen?

En trekant

Lever svar

En overflate

Lever svar

En polygon

Lever svar

00:38

Hvilket hovedspørsmål stilles her?

Hvordan beregne arealet?

Lever svar

Hvordan finne nullpunkter?

Lever svar

Hvordan multiplisere funksjoner?

Lever svar

00:53

Hvilken metode nevnes for å dele opp figuren?

I polygoner

Lever svar

I skiver eller ringer

Lever svar

I sirkler med sentrum i origo

Lever svar

00:56

Hva må gjøres med arealene til alle ringene?

Summeres

Lever svar

Subtraheres

Lever svar

Divideres

Lever svar

01:07

Hva representerer Delta X her?

Avstanden mellom to punkter

Lever svar

Tykkelsen på ringene

Lever svar

Summen av radier

Lever svar

01:11

Hva blir summen et eksempel på?

Et integral

Lever svar

En polynomfunksjon

Lever svar

En brøk

Lever svar

01:19

Hva studeres først i dette avsnittet?

Volumet av en sylinder

Lever svar

Arealet av en ring

Lever svar

Lengden av x-aksen

Lever svar

01:28

Hva sammenlignes den klippede ringen med?

Et rektangel

Lever svar

En sirkel

Lever svar

En trekant

Lever svar

01:37

Hvilken geometrisk metode nevnes for å finne hypotenusen?

Taylor-rekke

Lever svar

Pytagoras

Lever svar

Geogebra

Lever svar

01:49

Hva er nevnt som vi har sett i en annen video?

Triksing med uttrykk

Lever svar

Faktorisering

Lever svar

Polynomdivisjon

Lever svar

02:24

Hvilken formel for omkrets brukes som utgangspunkt?

4 * pi * radius^2

Lever svar

2 * pi * radius

Lever svar

pi * radius^2

Lever svar

02:32

Hva har vi delt opp intervallet i?

Små biter med tykkelse Delta X

Lever svar

Store segmenter

Lever svar

Bare ett punkt

Lever svar

03:04

Hva kan omkretsen knyttes til ifølge avsnittet?

Volumberegning

Lever svar

Buelengder

Lever svar

Kvadratrot

Lever svar

03:22

Hvilket tidligere funn brukes her?

Uttrykket for omkrets

Lever svar

Uttrykket for volum

Lever svar

Uttrykket for masse

Lever svar

03:26

Hva er radien definert som i dette avsnittet?

Konstant

Lever svar

f av x i stjerne

Lever svar

Tallet pi

Lever svar

03:46

Hvilken type sum er dette knyttet til?

Riemann-sum

Lever svar

Geometrisk sum

Lever svar

Algebraisk sum

Lever svar

03:49

Hvilket produkt er nevnt i formelen?

3 pi f(x) ganget med volumet

Lever svar

2 pi f(x) ganget med buelengden

Lever svar

2 pi delt på x

Lever svar

04:03

Hva må vi gjøre med alle ringene ifølge avsnittet?

Summere dem

Lever svar

Trekke dem fra hverandre

Lever svar

Dele dem opp

Lever svar

04:17

Hva danner alle ringene til sammen?

En trekant

Lever svar

Hele omdreiningsflaten

Lever svar

En enkel sirkel

Lever svar

04:27

Hvor strekker x-verdiene seg fra?

Fra a til b

Lever svar

Fra 0 til 10

Lever svar

Fra b til a

Lever svar

04:33

Hva illustrerer summetegnet og grenseverdien?

At vi bruker brøk

Lever svar

Overgangen til et integral

Lever svar

At vi finner en gjennomsnittlig hastighet

Lever svar

04:50

Hva signaliserer dette korte ordet i avsnittet?

At det kommer en ny betraktning

Lever svar

At vi avslutter emnet

Lever svar

At vi endrer tema fullstendig

Lever svar

05:01

Hva skal Delta X gå mot ifølge avsnittet?

Uendelig

Lever svar

Null

Lever svar

Én

Lever svar

05:03

Hva representerer den deriverte her?

Stigningstallet til tangenten

Lever svar

Et volum

Lever svar

Et antall ringer

Lever svar

05:08

Hvilken sum kan vi bytte ut med et integrasjonstegn?

Rekke-sum

Lever svar

Riemann-sum

Lever svar

Aritmetisk sum

Lever svar

05:17

Hva uttrykker formelen på slutten?

Arealet til omdreiningsflaten fra a til b

Lever svar

Radiusen ved x=0

Lever svar

En differensiallikning

Lever svar

05:47

Hva er den mest presise geometriske tolkningen uttrykket

\pi \int {(f(x))^2}dx

En omdreiningsfigur

Lever svar

Volumet av en skive med radius f(x) og tykkelse dx

Lever svar

Et ubestemt integral

Lever svar

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Riktig svar!

Det er volumet av et omdreiningslegeme som representeres når man legger alle de volumene sammen.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Hva slags omdreiningsfigur finner vi volumet til ved

\int_{a}^{b}\pi (f(x))^2)dx

Volumet av f(x) rotert om y-aksen for y mellom a og b

Lever svar

Volumet av f(x) rotert om x-aksen for x mellom a og b

Lever svar

Volumet av f(x) rotert om x-aksen for y mellom a og b

Lever svar

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Riktig svar!

Man roterer om x-aksen.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$f(x) = \frac{1}{x} , x \in [1 , a]$

Vi dreier grafen til f $360^{o}$ om $x$ -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.

a) Bestem volumet V(a) av omdreiningslegemet.

b) Bestem $\int_{1}^{a}f(x)dx$ . omdreiningslegemet har overflateareal O(a). Forklar at O(a) > $\int_{1}^{a}f(x)dx$ .

c) Vi lar $a\rightarrow \infty$ Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.

Bestem $\lim_{a\rightarrow \infty } O(a)$ og $\lim_{a\rightarrow \infty } V(a)$ dersom grenseverdiene eksisterer. kommenter svarene.

Overflateareal: $\infty$ , Volum: $\pi$

Lever svar

Overflateareal: $\infty$ , Volum: $\infty$

Lever svar

Overflateareal: $\pi$ , Volum: $\pi$

Lever svar

Riktig svar!

$\displaystyle\begin{align*} & O(a) > \int_1^a f(x)\ \mathrm{d}x \\\ & \Rightarrow \lim_{a \to \infty } O(a) > \lim_{a \to \infty } \int_1^a f(x)\ \mathrm{d}x \\\ & \Rightarrow \lim_{a \to \infty } O(a) > \lim_{a \to \infty } \ln a \\\ & \Rightarrow \lim_{a \to \infty } O(a) = \infty \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{a \to \infty } V(a) = \lim_{a \to \infty } \pi \left( 1 - \frac{1}{a}\right) = \pi$

Dette resultatet tilsier at når Gabriels horn blir uendelig langt, er limitverdien til hornets volum lik $\pi$ , mens overflatearealet vokser seg større og større mot uendelighet. Illustrasjonen nedenfor oppgaven beskriver det praktiske paradokset om Gabriels horn, som går ut på at det trengs en uendelig mengde maling for å male hele overflatearealet til hornet, mens man kan helle en endelig mengde maling nedi hornet for å fylle dets volum.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

a) Bestem volumet $V(a)$ av omdreiningslegemet.

b) Bestem $\int_{1}^{a}f(x)dx$ . omdreiningslegemet har overflateareal O(a). Forklar at O(a) > $\int_{1}^{a}f(x)dx$ .

c) Vi lar $a\rightarrow \infty$ Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.

Bestem $\lim_{a\rightarrow \infty } O(a)$ og $\lim_{a\rightarrow \infty } V(a)$ dersom grenseverdiene eksisterer. kommenter svarene.

$( 1 - \frac{1}{a})$

Lever svar

$\pi ( 1 - \frac{1}{a})$

Lever svar

$\frac{\pi}{a}$

Lever svar

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Riktig svar!

$\displaystyle\begin{align*} V(a) & = \pi \int_1^a \left(\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{d}x \\\ & = \pi \int_1^a \frac{1}{x^2}\\ \mathrm{d}x \\\ & = \pi \left[-\frac{1}{x}\right]_1^a \\\ & = \pi \left(-\frac{1}{a} - \left( -\frac{1}{1}\right)\right) \\\ & = \pi \left( 1 - \frac{1}{a}\right) \end{align*}$

Tilbakestill oppgaven som uløst

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

$(\sqrt {x+3} ) ^2$ =

Vanskelig å regne i hodet, må bruke en kvadratsetning

Lever svar

$\sqrt {x^2+9}$

Lever svar

$x+3$

Lever svar

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Riktig svar!

Kvadratrot og opphøying i andre nullerer hverandre.

Tilbakestill oppgaven som uløst

Funksjonen f er gitt ved

$f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}, \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ x\in [0,ln3]$

Vi roterer grafen til $f \\ 360$ grader om x-aksen.

Vis at volumet V av omdreiningslegemet blir $V = \frac{8\pi}{3}$

Se løsning og registrer oppgaven

$V=\pi \int ^{ln3}_{0}f^{2}(x)dx=\pi \int ^{ln3}_{0}4e^{-x}dx=4\pi[ -e^{-x}]^{ln}_{0}=4\pi (-(e^{ln3})^{-1}+e^{0})=4\pi (1-\frac{1}{3})=\frac{8\pi }{3}$

Registrer oppgaven som bestått