×
VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse

Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene

Enkelt å
holde fokus

Forstå det
vanskelige

Få god
oversikt

Øv på
riktig tema

Få hjelp når
du stopper opp

Anne-Lise Frivold Svendsen

Flott opplegg og undervisning😊

Karina Tellmann Marthinussen

Tusen takk!

Ruben Flatås

Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊

Vilde Ågotnes

Bra undervisning!

Hamdi A Ahmed

Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊

Halvard Balto

Meget bra!

Halil Ibrahim Keser

Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.

Marte Forsberg

Helt topp :D

Jon Mills

Bra side.

Kirsti Beate Årsandøy

Kjempebra!😊

Mari Bertelsen

Bra side. Veldig gode forklaringer😊

Selma Voss

Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D

Caja Magnussen

takk for hjelpen

Abdi Omar

Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk

Olav Lunde Arneberg

Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.

Daniel Gabrielsen

takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.

Kassi 17 år - har eksamen i R1 til våren.
Min lærer går litt for raskt gjennom r1 pensum, noe som gjør at jeg trenger repetisjon av de vanskeligste emnene...les mer
Liam 34 år - har eksamen i R2 til jul.
Jeg kjøpte medlemskap fordi jeg ønsket forklaring via video og tilgang på "lærer" hele døgnet. Mattevideo er...les mer
Oda 16 år - har eksamen i 1T til våren.
Jeg ble abonnement hos mattevideo fordi jeg slet med å forstå pensum i 1T. Jeg ønsket å prøve, for å se...les mer
Nicolai 21 år - har eksamen i R2 til sommeren.
Jeg ble medlem for å forbedre meg, og gå dypere inn i spesifikke temaer. Jeg går i 10. klasse og tar forsert løp...les mer
Daniel 15 år - har eksamen i 1t til våren.
Jeg ble medlem for å forbedre meg, og gå dypere inn i spesifikke temaer. Jeg går i 10. klasse og tar forsert løp...les mer
June 20 år - preppet til eksamen.
Jeg brukte mattevideo da jeg måtte ta opp igjen eksamen, selvlært. Min gamle lærer gjorde det veldig vanskelig å henge med...les mer
Velg ditt fag
R2 er et studieretningsfag på Vg3-nivå. R2 står for "Realfaglig matematikk 2" og bygger videre på R1.
Hele læreplan fra A til Å
Videoundervsining alle temaer
Korte og effektive selvtester
Vi gjennomgår eksamen
Organiser temaene etter ønsket lærebok
Kapittelinndeling: Mattevideo.no R2
×
Organiser innholdet etter din lærebok
Organiser videoer med ønskede ikoner
Organiser selvtester med ønskede ikoner
Vektorer & romgeometri
, curr: r2, book: 668
47:13
23:11
29:25
07:03
25:18
47:19
18:32
13:06
35:23
05:34
27:40
14:06
07:42
11:36
Tallfølger og rekker
, curr: r2, book: 668
09:41
15:19
02:19
08:08
05:02
19:30
10:17
17:10
14:47
28:33
08:26
16:24
Trigonometriske funk
, curr: r2, book: 668
31:20
03:26
13:30
10:48
27:33
07:02
19:22
05:54
18:56
30:28
13:18
32:51
28:58
Funksjoner og grafer
, curr: r2, book: 668
38:25
28:31
05:44
12:42
04:37
08:45
15:39
Integrasjon
, curr: r2, book: 668
07:47
10:26
12:45
13:07
37:50
15:14
44:57
22:29
11:54
07:58
Differensiallikninger
, curr: r2, book: 668
14:04
10:18
16:44
18:23
14:59
26:49
45:38
47:02
03:48
07:23
Eksamenstid 5 timer Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer. Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
R2_eksm_3

Oppgåve 1 (4 poeng)

  Deriver funksjonane  
a) f(x)=3cosxf(x) = 3cosx  
b) g(x)=6sin(πx)+7g(x) = 6sin(\pi*x) + 7  
c) h(x)=3e(2x)sin(3x)h(x) = 3e^{(2x)}*sin(3x)

Oppgåve 2 (4 poeng)

  Bestem integralet 2xx24dx\int \frac{2x}{x^2 - 4} dx ved å bruke  
a) variabelskifte  
b) delbrøkoppspalting

Oppgåve 3 (4 poeng)

  Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt.  
a) Bestem AB×AC\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ΔABC\Delta ABC  
b) Bestem ABAC\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}. Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet av ΔABC\Delta ABC

Oppgåve 4 (3 poeng)

 
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2  

Oppgåve 5 (5 poeng)

  Ei rekkje er gitt ved Sn=1+3+5+7++anS_n = 1 + 3 + 5 + 7 +\ldots+ a_n    
a) Bestem a16a_{16} og S16S_{16}  
b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for ana_n og SnS_n.  
c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for at Sn>400{S_{n}} > {400}

Oppgåve 6 (2 poeng)

  Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • f(x)>0f(x) > 0 for alle xRx \in \mathbb{R}f(x)>0f(x) > 0 for alle x<,2><2,>x \in <\leftarrow , -2>\cup <2, \rightarrow >f(x)=0f'(x) = 0 for x = -2 og for x = 2 • f(x)=0f'(x) = 0 for x = 1 og for x = 3  
Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.

Oppgåve 7 (2 poeng)

   
Bruk induksjon til å bevise påstanden P(n):a+ak+ak2+ak3++akn1=akn1k1,nNP(n): a + ak + ak^2 + ak^3 +\ldots+ak^{n-1} = a*{\frac{k^n-1}{k-1}} , n\in \mathbb{N}
R2_eksm_4

Oppgåve 1 (4 poeng)

  Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda.  
a) Forklar at y=80,05yy' = 8 - 0,05*y  
b) Vis at y(t)=160160e0,05ty(t) = 160 - 160e^{-0,05t} når y (0) = 0  
c) Bestem limty(t)\lim_{t\rightarrow \infty} y(t). Kommenter svaret.

Oppgåve 2 (6 poeng)

  Funksjonen f er gitt ved f(x)=12e0,5xsin(0,5x),x[0,4π]f(x) = 12e^{-0,5x}*sin(0,5x) , x \in[0, 4\pi]  
a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.

Oppgåve 3 (8 poeng)

  Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4) R2_eksm_5  
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.  
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?. Vis ved rekning at planet ? har likninga 4x + 3z - 12 = 0  
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.  
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.

Oppgåve 4 (6 poeng)

  Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning x2+y2=9x^2 + y^2 = 9. Punktet A har koordinatane (2,0) og OAC=90\angle OAC = 90^{\circ} R2_eksm_6  
a) Vis at koordinatane til C er 2,52,\sqrt{5}. Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.  
b) Når flatestykket F1F_1 blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle. Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.  
c) Når flatestykket F1F_1 blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment. Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.

Oppgåve 5 (6 poeng)

  På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D. R2_eksm_7  
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.  
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat. Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.  
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat. Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Oppgåve 6 (6 poeng)

  Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik:  
1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten. Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja A(14+316+964+27256+)A*({\frac{1}{4}}+{\frac{3}{16}}+{\frac{9}{64}}+{\frac{27}{256}}+\ldots)  
a) Bestem summen av rekkja ovanfor. Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?  
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis 332a,394a,3278a3*{\frac{3}{2}}*a, 3*{\frac{9}{4}}*a, 3*{\frac{27}{8}}*aog 38116a3*{\frac{81}{16}}*a  
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik 3(32)na3*(\frac{3}{2})^n*a Forklar at 3(32)na3*(\frac{3}{2})^n*a \rightarrow \infty når nn \rightarrow \infty Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
R2
 - Kapittelinndeling: Mattevideo.no R2 (gammel læreplan)
 - Vektorer & romgeometri
 - Plan i rommet
×
07:10
Teori 2
Vinkelen mellom to plan. r2_4229
×
06:36
Teori 1
Likningen for et plan - når vi starter med et punkt i planet og en normalvektor til planet.

r2_4224
01:35
Teori 3
Normalvektorene til xy-planet, yz-planet og xz-planet.
03:11
Teori 4
Likningen y=2x1y = 2x-1. En linje i 2D, men et plan i 3D!

r2_4241
05:18
Oppgave 1
Bestem likningen for planet som går igjennom A(1,-1,1) B(4,1,3) C(3,0,4).
03:04
Oppgave 2
Et plan er gitt ved likningen  3x4y+2z5=03x-4y+2z-5=0.
   a) Finn koordinatene til skjæringspunktene med x- y- og z-aksen.
   b) Finn en normalvektor til planet.
04:44
Oppgave 3
a) Finn vinkelen mellom xy-planet og planet A gitt ved likningen 6x+2y+z=4-6x+2y+z=4.
b) Finn likningen for skjæringslinja mellom de to planene.
Skjul video ▼
Vis video ▲
Selvtester og oppgaver for mengdetrening
10 sekunders quiz
Eksamensoppgaver
×
Hva beskriver en likning av formen aX+bY+cZ=t?
En kurve
Lever svar
Et plan
Lever svar
Et punkt
Lever svar
00:00
Hva trenger vi for å finne et plans likning?
Et punkt og en normalvektor
Lever svar
Bare et punkt
Lever svar
Bare en normalvektor
Lever svar
00:19
Hva kjennetegner en normalvektor?
Parallell med planet
Lever svar
Vinkelrett på planet
Lever svar
Tilfeldig valgt retning
Lever svar
00:47
Kan en normalvektor peke bort fra oss?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare oppover
Lever svar
01:02
Er lengden på normalvektoren viktig?
Nei
Lever svar
Ja, må være 1
Lever svar
Ja, må være >0
Lever svar
01:13
Hva definerer et plan?
En normalvektor og et punkt
Lever svar
To punkt
Lever svar
En lineær likning
Lever svar
01:21
Hva gjør et punkt med planet?
Låser plasseringen
Lever svar
Endrer retningen
Lever svar
Utvider størrelsen
Lever svar
01:29
Hva kan vi finne med normalvektor og punkt?
Likningen til et plan
Lever svar
Vektorlengde
Lever svar
Størrelsen på et punkt
Lever svar
01:34
Hva er koordinater?
Tall som beskriver posisjon
Lever svar
Mål på vektorlengde
Lever svar
Tilfeldige symboler
Lever svar
01:54
Hva er P Q-vektoren?
En vektor i planet
Lever svar
Et tall
Lever svar
Et koordinatsystem
Lever svar
01:56
Hva leter vi etter i planet?
Punkter
Lever svar
Lyder
Lever svar
Temperaturer
Lever svar
02:04
Hva vil vi finne i likningen?
X, Y, Z for et punkt i planet
Lever svar
Hastighet
Lever svar
Tyngdekraft
Lever svar
02:06
Hvor må punktet Q ligge?
I planet
Lever svar
Over planet
Lever svar
Under planet
Lever svar
02:11
Hva er vinkelen mellom PQ-vektor og normalvektor?
90 grader
Lever svar
0 grader
Lever svar
45 grader
Lever svar
02:25
Hva utnytter vi for å finne likningen?
Vinkelrettheten mellom vektorene
Lever svar
At planet er flatt
Lever svar
At punktet er gitt
Lever svar
02:41
Hva ser vi på først?
PQ-vektor
Lever svar
Areal
Lever svar
Volum
Lever svar
02:45
Hvordan finner vi PQ-vektor?
Ved å trekke fra punktkoordinater
Lever svar
Ved å gange koordinater
Lever svar
Ved å dele koordinater
Lever svar
02:50
Hva blir N⋅PQ?
0
Lever svar
1
Lever svar
2
Lever svar
03:32
Hva fører N⋅PQ=0 til?
Likningen for planet
Lever svar
En ny vektor
Lever svar
Et punkt
Lever svar
03:38
Hva er normalvektoren i eksempelet?
(4,2,-3)
Lever svar
(1,5,7)
Lever svar
(0,0,0)
Lever svar
03:47
Hva gjør vi med uttrykket?
Regner det ut
Lever svar
Glemmer det
Lever svar
Stopper her
Lever svar
04:03
Hvilket ledd tar vi først?
4*(X-1)
Lever svar
2*(Y-5)
Lever svar
(-3)*(Z-7)
Lever svar
04:07
Hva legger vi til neste?
2*(Y-5)
Lever svar
4*(X-1)
Lever svar
(-3)*(Z-7)
Lever svar
04:11
Hvilket ledd kommer til slutt?
(-3)*(Z-7)
Lever svar
4*(X-1)
Lever svar
2*(Y-5)
Lever svar
04:19
Hva blir summen lik?
0
Lever svar
1
Lever svar
7
Lever svar
04:24
Hva gjør vi med uttrykket nå?
Rydder det opp
Lever svar
Forkaster det
Lever svar
Deler det
Lever svar
04:29
Hvorfor rydder vi opp?
For å forenkle likningen
Lever svar
For å komplisere
Lever svar
For å slette
Lever svar
04:33
Hva er den endelige likningen?
4X + 2Y - 3Z = 7
Lever svar
4X + 2Y - 3Z = 0
Lever svar
X + Y + Z = 1
Lever svar
04:37
Hvilken form har likningen nå?
aX + bY + cZ = d
Lever svar
aX = d
Lever svar
bY = d
Lever svar
04:48
Hva kom vi fram til på høyresiden?
7
Lever svar
0
Lever svar
21
Lever svar
05:10
Stemmer den nye likningen med formen?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Vet ikke
Lever svar
05:16
Hva er a, b, c?
Normalvektorens koordinater
Lever svar
Tilfeldige tall
Lever svar
Punktene i planet
Lever svar
05:23
Hva gjorde vi med eksempelet?
Utledet likningen
Lever svar
Oversatte tekst
Lever svar
Ignorerte normalvektoren
Lever svar
05:27
Kan logikken generaliseres?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare noen ganger
Lever svar
05:32
Hva er den generelle normalvektoren?
(a,b,c)
Lever svar
(4,2,-3)
Lever svar
(X₀,Y₀,Z₀)
Lever svar
05:33
Hva er den generelle likningen?
a(X−X₀)+b(Y−Y₀)+c(Z−Z₀)=0
Lever svar
X+Y+Z=0
Lever svar
a+b+c=0
Lever svar
05:38
Hvilket eksempel samsvarer med formelen?
(4,2,-3)
Lever svar
(1,1,1)
Lever svar
(0,0,0)
Lever svar
06:17
Hva er grunnlaget for formelen?
Vinkelrettheten mellom PQ og N
Lever svar
At punktene er like
Lever svar
At planet er kurvet
Lever svar
06:26
Hva skal vi undersøke?
Vinkelen mellom to plan
Lever svar
Vinkelen mellom to linjer
Lever svar
Avstanden mellom to punkter
Lever svar
00:00
Hva skjer hvis plan ikke er parallelle?
De skjærer hverandre
Lever svar
De overlapper helt
Lever svar
De har ingen kontakt
Lever svar
00:05
Hva avgjør vinkelen mellom to plan?
Vinkelen mellom normalvektorene
Lever svar
Parallelliteten
Lever svar
Planetens farge
Lever svar
00:20
Hva kalles en vektor vinkelrett på et plan?
Normalvektor
Lever svar
Diagonalvektor
Lever svar
Rotasjonsvektor
Lever svar
00:35
Viser “i den duren” en omtrentlig retning?
Ja, en antydet retning
Lever svar
Nei, en nøyaktig retning
Lever svar
Det handler ikke om retning
Lever svar
00:48
Hvilken ordklasse tilhører “som” oftest?
Relativpronomen
Lever svar
Verb
Lever svar
Konjunksjon
Lever svar
00:51
Hvor mange plan omtales i eksempelet?
Én
Lever svar
To
Lever svar
Tre
Lever svar
00:54
Hva betyr det at en vektor går normalt til et plan?
Den står vinkelrett på planet
Lever svar
Den ligger langs planet
Lever svar
Den forsvinner i planet
Lever svar
00:59
Snakker man fortsatt om en omtrentlig retning her?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Uvisst
Lever svar
01:06
Hva gjør fortelleren her?
Ber om en bekreftelse
Lever svar
Avslutter forklaringen
Lever svar
Starter en ny setning
Lever svar
01:11
Brukes perspektiv i tegningen?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare litt
Lever svar
01:13
Er det lett å se eksakt her?
Nei, det er vanskelig
Lever svar
Ja, veldig enkelt
Lever svar
Uvisst
Lever svar
01:23
Hva ser vi at vi får?
En vinkel
Lever svar
En kvadrat
Lever svar
En sirkel
Lever svar
01:26
Hva sammenlignes her?
To vinkler
Lever svar
To sirkler
Lever svar
To lengder
Lever svar
01:31
Virker illustrasjonen korrekt?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Helt uklart
Lever svar
01:38
Hva nevnes her?
En fallgruve
Lever svar
En løsning
Lever svar
Et sluttpoeng
Lever svar
01:42
Er “den i stedet” en alternativ retning?
Ja, en annen retning
Lever svar
Nei, samme retning
Lever svar
Vet ikke
Lever svar
01:55
Hva blir litt for stor?
Vinkelen
Lever svar
Avstanden
Lever svar
Volumet
Lever svar
01:57
Hvordan defineres vinkelen mellom to plan?
Den minste av de to mulige vinklene
Lever svar
Den største av de to mulige vinklene
Lever svar
Begge vinklene
Lever svar
02:03
Er denne setningen fullstendig?
Nei
Lever svar
Ja
Lever svar
Den inneholder alt
Lever svar
02:28
Hvilke tall nevnes for normalvektor til plan A?
3, 2, 5
Lever svar
2, 3, 5
Lever svar
1, 1, -4
Lever svar
02:30
Hvilke tall brukes for plan B?
1, 1, -4
Lever svar
1, 2, -5
Lever svar
3, 2, 5
Lever svar
02:38
Hva skal man finne mellom de to vektorene?
Vinkelen
Lever svar
Punktet
Lever svar
Parallelliteten
Lever svar
02:47
Hva omtales i sammenheng med n1 her?
Lengden av n1
Lever svar
Retningen av n1
Lever svar
Fargen på n1
Lever svar
03:00
Hvilken trigonometrisk funksjon nevnes?
Cosinus
Lever svar
Tangens
Lever svar
Sinus
Lever svar
03:04
Hva er målet her?
Å finne vinkelen mellom vektorene
Lever svar
Å finne volumet
Lever svar
Å finne punktet
Lever svar
03:13
Hvilke tall nevnes her?
3, 2, 5
Lever svar
3, 5, 2
Lever svar
2, 5, 7
Lever svar
03:23
Hvilken type produkt omtales?
Skalarprodukt
Lever svar
Vektorprodukt
Lever svar
Ingen av delene
Lever svar
03:29
Hvilket tall nevnes her?
-4
Lever svar
4
Lever svar
-5
Lever svar
03:33
Hvilken teorem omtales?
Pytagoras
Lever svar
Newton
Lever svar
Archimedes
Lever svar
03:35
Hvilket tall skal kvadreres?
3
Lever svar
2
Lever svar
5
Lever svar
03:42
Hvilken frase brukes her som pause?
Skal vi se
Lever svar
Vi er klare
Lever svar
Ingen
Lever svar
03:44
Hvilke tall kvadreres her?
3 og 2
Lever svar
2 og 5
Lever svar
3 og 5
Lever svar
03:47
Hvilket tillegg nevnes?
5 i andre
Lever svar
4 i andre
Lever svar
6 i andre
Lever svar
03:51
Hvorfor brukes parentes?
For å håndtere negativt fortegn
Lever svar
For å vise parallellitet
Lever svar
For å forkorte
Lever svar
03:53
Hvilket tall kvadreres her?
1
Lever svar
2
Lever svar
3
Lever svar
04:01
Hvilken ekstra størrelse kvadreres?
1
Lever svar
4
Lever svar
5
Lever svar
04:05
Hva henviser “det” til her?
Parentesen
Lever svar
Trekanten
Lever svar
Vinkelmålet
Lever svar
04:10
Hvilken operasjon utføres?
Utregning med cosinus
Lever svar
Utdeling av brøk
Lever svar
Blanding av enheter
Lever svar
04:14
Hva kalles vinkelen her?
Alfa
Lever svar
Beta
Lever svar
Gamma
Lever svar
04:22
Hva gjøres nå?
Videre utregning
Lever svar
Oppsummering av teori
Lever svar
Innføring av nye variable
Lever svar
04:24
Hva blir 3 ganger 1?
3
Lever svar
4
Lever svar
5
Lever svar
04:29
Hva blir 2 ganger 1?
2
Lever svar
3
Lever svar
4
Lever svar
04:37
Hva er 5 ganger -4?
-20
Lever svar
20
Lever svar
-10
Lever svar
04:40
Hvilken matematisk funksjon nevnes nå?
Kvadratrøtter
Lever svar
Logaritmer
Lever svar
Eksponenter
Lever svar
04:44
Hva blir 9 + 4 + 25?
38
Lever svar
28
Lever svar
39
Lever svar
04:49
Hva er 1 + 1 + 16?
18
Lever svar
16
Lever svar
25
Lever svar
04:57
Er vi ferdige?
Nesten
Lever svar
Ja
Lever svar
Nei, ikke i det hele tatt
Lever svar
05:06
Hvilken verdi får vi her?
Cos
Lever svar
Sin
Lever svar
Tan
Lever svar
05:10
Hva deler vi på?
Roten av 38
Lever svar
Roten av 18
Lever svar
Roten av 3
Lever svar
05:13
Hvilken annen rot nevnes?
Roten av 18
Lever svar
Roten av 38
Lever svar
Roten av 4
Lever svar
05:20
Hva blir 3 + 2 - 20?
-15
Lever svar
15
Lever svar
-25
Lever svar
05:23
Fortsetter utregningen her?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Ikke klart
Lever svar
05:29
Hvilken del av formelen nevnes?
Cos minus 1
Lever svar
Sin minus 1
Lever svar
Tan minus 1
Lever svar
05:35
Hva bruker vi her?
Kalkulator
Lever svar
Passer
Lever svar
Linjal
Lever svar
05:41
Hvilket tall skal deles her?
-15
Lever svar
15
Lever svar
5
Lever svar
05:49
Hvilken operasjon gjør vi med roten av 18?
Ganger
Lever svar
Deler
Lever svar
Legger til
Lever svar
05:58
Hva skjer da?
Et resultat
Lever svar
En ny formel
Lever svar
Ingenting
Lever svar
06:03
Hvilket tegn omtales?
Parentes
Lever svar
Semikolon
Lever svar
Kolon
Lever svar
06:06
Hvilken omtrent verdi nevnes?
-0,57
Lever svar
0,57
Lever svar
-1,57
Lever svar
06:15
Blir det et endelig tall?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Vet ikke
Lever svar
06:25
Hvilken vinkel nevnes?
125 grader
Lever svar
55 grader
Lever svar
90 grader
Lever svar
06:27
Hva beskrives her?
Den større vinkelen
Lever svar
Den mindre vinkelen
Lever svar
En rett vinkel
Lever svar
06:35
Hva skal vi finne her?
Den mindre vinkelen
Lever svar
Den større vinkelen
Lever svar
Avstanden
Lever svar
06:46
Hvordan finner vi den lille vinkelen?
Ved å ta 180 minus den store vinkelen
Lever svar
Ved å legge til 180
Lever svar
Ved å bruke 90 grader
Lever svar
06:48
Hva gir 180 - 125?
55
Lever svar
65
Lever svar
75
Lever svar
06:52
Hva blir 180 - 125?
55
Lever svar
25
Lever svar
65
Lever svar
06:59
Hva er den endelige vinkelen?
55 grader
Lever svar
125 grader
Lever svar
90 grader
Lever svar
07:04
Hvilken akse står vinkelrett på xy-planet?
x-aksen
Lever svar
y-aksen
Lever svar
z-aksen
Lever svar
00:00
Hvilke akser spenner ut xy-planet?
x- og y-aksen
Lever svar
x- og z-aksen
Lever svar
y- og z-aksen
Lever svar
00:08
Hvilken retning regnes gjerne som 'oppover' i et standard 3D-system?
x-aksen
Lever svar
y-aksen
Lever svar
z-aksen
Lever svar
00:18
Hvilken vinkel danner en normalvektor med planet den står normalt på?
0 grader
Lever svar
90 grader
Lever svar
180 grader
Lever svar
00:23
Hva kalles aksen som ofte er vertikal i 3D-rom?
x-aksen
Lever svar
z-aksen
Lever svar
w-aksen
Lever svar
00:26
Hvilken koordinat endres når man beveger seg opp langs z-aksen?
x-koordinat
Lever svar
y-koordinat
Lever svar
z-koordinat
Lever svar
00:29
Endres retningen til en vektor hvis den ganges med en positiv skalar?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Bare ved null
Lever svar
00:33
Hvilke akser spenner ut xz-planet?
x- og z-aksen
Lever svar
y- og z-aksen
Lever svar
x- og y-aksen
Lever svar
00:58
Kan lengden på en normalvektor til et plan velges fritt?
Ja
Lever svar
Nei
Lever svar
Kun hvis lengden er 1
Lever svar
01:15
Hvilket konsept nevnes sammen med T-matte og R1?
Kompleks analyse
Lever svar
Tredimensjoner
Lever svar
Fysikk
Lever svar
00:00
Hva kalles tallet som viser endringen i y per enhet i x?
Konstantledd
Lever svar
Stigningstall
Lever svar
Skjæringspunkt
Lever svar
00:15
Hvilken variabel legges ofte til når vi går fra 2D til 3D?
z
Lever svar
x
Lever svar
y
Lever svar
00:48
Hvor stor er z-komponenten i en ligning hvis den ikke nevnes?
0
Lever svar
1
Lever svar
2
Lever svar
01:00
Hva kalles en vektor som står vinkelrett på et plan?
Normalvektor
Lever svar
Parallellvektor
Lever svar
Resultantvektor
Lever svar
01:11
Hvilken 2D-flate får vi fra en lineær likning i 3D?
Linje
Lever svar
Plan
Lever svar
Parabel
Lever svar
01:22
Hva betyr det at planet ikke har en z-komponent i sin normalvektor?
Det står vinkelrett på z-aksen
Lever svar
Det er parallelt med z-aksen
Lever svar
Det krysser z-aksen i origo
Lever svar
01:25
I hvilket plan ligger en linje som bare varierer i x og y?
XY-planet
Lever svar
XZ-planet
Lever svar
YZ-planet
Lever svar
01:43
Hva kan flere punkter i et plan brukes til?
Å bestemme en linje
Lever svar
Å bestemme en sirkel
Lever svar
Å bestemme kun ett punkt
Lever svar
02:10
Hva danner punkter når de kobles sammen i et koordinatsystem?
En linje
Lever svar
Et plan
Lever svar
En trekant
Lever svar
02:23
Hva kalles en enkel tegning som viser hvordan en linje går?
En skisse
Lever svar
En tabell
Lever svar
En tekst
Lever svar
02:26
Hvilket plan brukes når x og y varierer?
XY-planet
Lever svar
XZ-planet
Lever svar
YZ-planet
Lever svar
02:34
Hvilken retning beskriver ordet "oppover" for et plan i rommet?
At planet stiger
Lever svar
At planet synker
Lever svar
At planet er flatt
Lever svar
02:47
Med hvilken akse kan et plan være parallelt?
x-aksen
Lever svar
y-aksen
Lever svar
z-aksen
Lever svar
02:53
Hva kalles linjen der et plan og XY-planet møtes?
Skjæringslinje
Lever svar
Parallellinje
Lever svar
Normal
Lever svar
02:58

En kuleflate er gitt ved likningen

x2+y2+z22x2y6z+2=0x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 6z + 2 = 0

  • a) Vis at punktet P(2,3,5)P(2, 3, 5) ligger på kuleflaten.

  • b) Bestem sentrum og radius til kulen.

  • c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet P.

x + 2y + 2z = 1

Lever svar

2x + 3y + 5z = 3

Lever svar

x + 2y + 2z = 18

Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
Er det mulig å definere et plan ved hjelp av ett punkt og én normalvektor?
Ja.
Lever svar
Ja, men bare hvis normalvektoren går gjennom punktet.
Lever svar
Nei, fordi normalvektoren ikke ligger i planet.
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Punktene A(4,3,1),B(2,2,0)A(4, 3, 1), B(2, 2, 0) og C(1,2,2)C(1, 2, -2) er gitt.

En setning i geometrien sier:

Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.

  • a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan α\alpha entydig.

  • b) Bestem en likning til planet α\alpha

    Et punkt T har koordinatene (2,5,4t+1)(2, 5, 4t + 1).

  • c) Bestem t slik at volumet av pyramiden ABCTABCT blir 3.

2x - 3y - z + 2 = 0

Lever svar

2x - 3y - z = 0

Lever svar

2x + 3y + z = 0

Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
Er vinkelen mellom to plan lik vinkelen mellom de respektive normalvektorene?
Ja.
Lever svar
Bare hvis vinkelen mellom normalvektorene er mindre enn 90 grader.
Lever svar
Nei.
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
Er alle vektorer som er parallelle med z-aksen normalvektorer til xy-planet?
Ja.
Lever svar
Bare de som peker i positiv z-retning.
Lever svar
Nei.
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
Likningen y=ax+by=ax + b kan tolkes som en rett linje i et koordinatsystem med bare x-akse og y-akse. Hva blir det hvis vi også har en z-akse?
Det er fortsatt en rett linje
Lever svar
Et plan.
Lever svar
Likningen gir ingen mening.
Lever svar
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst
×
Tilbakestill oppgaven som uløst

Planet α:2x+y2z+3=0\alpha: 2x + y - 2z + 3 = 0

  • a) Vis at punktet P(3,4,2)P(3,4,2) ikke ligger i planet α\alpha.

    En linje γ\gamma går gjennom P slik at γα\gamma \perp \alpha.

  • b) Bestem en parameterframstilling for γ\gamma.

  • c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom γ\gamma og α\alpha.

  • d) Bestem avstanden fra P til α\alpha.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Punktene A(1,2,2),B(2,3,4)A(1, 2, -2) , B(2, -3, 4) og C(2,3,1)C(-2, 3, 1) er gitt.

a) Bestem ved regning vektorproduktet AB×AC\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}

b) Forklar at C ikke\underline{ikke} ligger på linjen gjennom A og B.

c) Bestem en likning for planet α\alpha gjennom A, B og C.

d) Avgjør om punktet D(2, 2, 3) ligger i α\alpha .


Se løsning og registrer oppgaven
×

Punktene A(3,0,0),B(0,4,0)A(3,0,0), B(0,4,0) og C(0,0,1)C(0,0,1) er gitt.

a) Bestem AB×AC\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}. Bestem arealet av ABC\triangle ABC

b) Punktene A, B og C ligger i et plan α\alpha. Bestem likningen for planet α\alpha.

En partikkel starter i origo O(0 , 0 , 0).Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved

OP=[t,t23,t4],t0\overrightarrow{OP} = [t, \frac{t^{2}}{3}, -\frac{t}{4}] , t \geq 0

c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet α\alpha? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer α\alpha.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Vi har gitt punktene A(3,1,0)A(3, 1 ,0), B(3,2,4)B(3,2,4) og C(1,1,4)C(-1,1,4)


a) Vis at punktene ligger i planet α\alpha gitt ved:


α:x4y+z+1=0\alpha : x - 4y + z + 1 = 0


En linje \ell står normalt på α\alpha og går gjennom AA.


b) Bestem en parameterframstilling for \ell


En kuleflate tangerer α\alpha i AA.


c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen:


(x3t)2+(y1+4t)2+(zt)2=18t2(x-3-t)^2 + (y-1+4t)^2 + (z-t)^2 = 18t^2, for en tRt \in \mathbb{R}


Punktet P(4,1,1)P(4,1,1) ligger på kuleflaten.


d) bestem sentrum til kuleflaten.

Se løsning og registrer oppgaven
×

Punktene P(2,4,3)P(2,4,-3) og Q(0,0,1)Q(0,0,1) ligger på en kuleflate KK slik at PQPQ er en diameter til kuleflaten


a) Vis at

Kuleflaten KK er gitt ved likningen


(x1)2+(y2)2+(z+1)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9


Planet α\alpha er gitt ved


α: xy+z=7\alpha : \ x-y+z = 7


b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten KK og planet α\alpha.


Et plan β\beta er gitt ved likningen


β: 2x+y+t(z3)=1\beta : \ 2x + y + t \cdot (z-3) = -1


c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten KK og β\beta er gitt ved


  d(t)=54t5+t2\ \ d(t) = \frac{\left | 5 - 4t \right |}{\sqrt{5 + t^2}}


d) Bestem ekste verdier for t slik at planet β\beta tangerer kulefalten KK

Se løsning og registrer oppgaven
×

Punktene P(2,4,3)P(2,4,-3) og Q(0,0,1)Q(0,0,1) ligger på en kuleflate KK slik at PQPQ er en diameter til kuleflaten


a) Vis at

Kuleflaten KK er gitt ved likningen


(x1)2+(y2)2+(z+1)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9


Planet α\alpha er gitt ved


α: xy+z=7\alpha : \ x-y+z = 7


b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten KK og planet α\alpha.


Et plan β\beta er gitt ved likningen


β: 2x+y+t(z3)=1\beta : \ 2x + y + t \cdot (z-3) = -1


c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten KK og β\beta er gitt ved


  d(t)=54t5+t2\ \ d(t) = \frac{\left | 5 - 4t \right |}{\sqrt{5 + t^2}}


d) Bestem ekste verdier for t slik at planet β\beta tangerer kulefalten KK

Se løsning og registrer oppgaven
×

Punktene P(2,4,3)P(2,4,-3) og Q(0,0,1)Q(0,0,1) ligger på en kuleflate KK slik at PQPQ er en diameter til kuleflaten


a) Vis at

Kuleflaten KK er gitt ved likningen


(x1)2+(y2)2+(z+1)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9


Planet α\alpha er gitt ved


α: xy+z=7\alpha : \ x-y+z = 7


b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten KK og planet α\alpha.


Et plan β\beta er gitt ved likningen


β: 2x+y+t(z3)=1\beta : \ 2x + y + t \cdot (z-3) = -1


c) Vis at

Avstanden mellom sentrum i kulefalten KK og β\beta er gitt ved


  d(t)=54t5+t2\ \ d(t) = \frac{\left | 5 - 4t \right |}{\sqrt{5 + t^2}}


d) Bestem eksakte verdier for t slik at planet β\beta tangerer kulefalten KK

Se løsning og registrer oppgaven
×

Punktene A(4,3,1),B(2,2,0)A(4, 3, 1), B(2, 2, 0) og C(1,2,2)C(1, 2, -2) er gitt.

En setning i geometrien sier:

Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.

  • a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan α\alpha entydig.

  • b) Bestem en likning til planet α\alpha

    Et punkt T har koordinatene (2,5,4t+1)(2, 5, 4t + 1).

  • c) Bestem t slik at volumet av pyramiden ABCTABCT blir 3.

Se løsning og registrer oppgaven
×