VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
06:17
Teori 4
Avstanden mellom et punkt og et plan.
Vi skal nå se hvordan vi kan finne avstanden mellom et punkt og et plan.
Quiz section 0
Hva skal vi finne?
Omkretsen av en sirkel
Avstanden mellom et punkt og et plan
Størrelsen på en trekant
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og det vi tenker oss, er at planet har en normalvektor, og det er jo noe man har når man har ligningen for et plan.
Quiz section 1
Hva er viktig for et plan?
En normalvektor
En diameter
En tangent
Det vi da skal gjøre, er at vi skal velge oss et punkt i planet, punkt Q. Det kan vi velge ved å sette X og Y, og så får man en Z-verdi.
Quiz section 2
Hva må vi velge i planet?
En linje
Et punkt
Et helt koordinatsystem
Så vi tenker også at vi har et punkt Q, og det ligger jo et eller annet sted i planet i forhold til det punktet. For den avstanden vi er ute etter, er jo egentlig avstanden fra P og så vinkelrett ned på planet. Og da kan vi legge merke til at PR på figuren er.
Quiz section 3
Hvilken type avstand er vi interessert i?
Mellom to parallelle plan
Vinkelrett avstand fra punkt til plan
Langs planet
Som er avstanden.
Quiz section 4
Hva beskriver “avstanden” her?
Den korteste distansen mellom punkt og plan
Et tidsintervall
En vilkårlig lengde
Som vi kan kalle det.
Quiz section 5
Hvilket navn gir vi denne distansen?
Helling
Avstanden
Forflytning
Ja, det er lik PR.
Quiz section 6
Hva er lik PR i denne sammenhengen?
En radius
Avstanden fra punkt til plan
Arealet av planet
Er jo rett og slett PQ ganger cosinus Alfa, fordi PQ blir hypotenusen i en rettvinklet trekant, og Alfa er den vinkelen der oppe.
Quiz section 7
Hvilken formel brukes for avstanden?
PQ + cos(Alfa)
PQ * cos(Alfa)
PQ - sin(Alfa)
Og da blir det sånn.
Quiz section 8
Hva skjer med uttrykket videre?
Det blir til null
Det forblir som PQ * cos(Alfa)
Det halveres
Men nå skal vi se litt på noen skalarprodukt, for vi har tenkt å gjøre noen greier med skalarprodukt her. Og først kan vi se på hvis vi nå velger å bruke normalvektoren, og så er det en ting til at normalvektoren i prinsippet kan peke nedover eller oppover. I forhold til det vi ser her, hvis punktet P ligger over i det perspektivet vårt.
Quiz section 9
Hvilken vektor er sentral i beregningene?
Normalvektoren
En vilkårlig retningsvektor
Tangentvektoren
Så kan normalvektoren også peke oppover, men det går fint at den peker nedover da. Hvis vi først tenker at n1 peker nedover, og det er normalvektoren vår, så er vi ute etter å finne skalarproduktet, eller se hva det betyr: n1 ganger PQ, som vi har. Vi har også et punkt [..] som jeg har valgt som ligger i planet, og så regner vi ut skalarproduktet. Da ser vi at det er lik lengden av n1.
Quiz section 10
Hva undersøker vi med n1 ⋅ PQ?
Fargen på linjene
Forholdet mellom normalvektoren og PQ
Arealet til planet
* lengden av PQ.
Quiz section 11
Hva multipliseres lengden av n1 med?
Summen av X og Y
Lengden av PQ
Ingenting
* cosinus.
Quiz section 12
Hvilken trigonometrisk faktor inngår?
Sinus
Cosinus
Tangens
Alfa. Men da ser vi jo at
Quiz section 13
Hva kalles vinkelen?
Gamma
Alfa
Beta
Det som står der, var jo nettopp avstanden.
Quiz section 14
Hva representerer uttrykket som ble nevnt?
Et tilfeldig tall
Avstanden
Arealet av planet
Distansen ned til planet. Så da står det egentlig at n1 ganger PQ-vektoren er lik.
Quiz section 15
Hva beskriver n1 ⋅ PQ-vektoren?
Distansen ned til planet
En tilfeldig retning
Størrelsen på normalvektoren alene
Den lengden og den ganger det. Og hvis vi da ønsker å ha et uttrykk for det, ser vi at det blir sånn.
Quiz section 16
Hva får vi hvis vi setter opp uttrykket for n1 og PQ?
En formel for tid
En formel for volum
En formel for avstanden
Men så er det en mulighet til.
Quiz section 17
Finnes det et alternativ i beregningen?
Nei, bare én vei
Ja, en annen normalvektor
Nei, man kan ikke endre noe
Det er at normalvektoren ikke er så snill og grei som det der. Vi kan ha n2. Det ser jo så flott ut at den peker opp mot
Quiz section 18
Hva kalles den alternative normalvektoren?
v2
n2
p1
P. Men da får vi en litt annen situasjon, så hvis vi nå regner på det skalarproduktet, tar vi n2 ganger PQ fortsatt.
Quiz section 19
Hvilken vektor bruker vi fremdeles med n2?
PQ
QR
OP
Det er ikke alltid vi vet hvilken vei ting er, og så blir det lengden av n2.
Quiz section 20
Hvilken egenskap ved n2 brukes i beregningen?
Lengden
Fargen
Koordinatsystemet
Ganger.
Quiz section 21
Hva gjør vi med lengden av n2?
Vi multipliserer den
Vi ignorerer den
Vi dividerer den med 2
Lengden PQ.
Quiz section 22
Hvilken lengde multipliseres med n2?
Diameteren av planet
Lengden av PQ
En tilfeldig kurve
Q ganger cosinus av vinkelen mellom de to vektorene. Og siden den peker andre veien, blir det jo etthundreogåtti grader minus den vinkelen Alfa som vi har på tegningen.
Quiz section 23
Hvilken vinkel oppstår når n2 peker motsatt vei?
90° - Alfa
360° - Alfa
180° - Alfa
Og da blir det jo sånn at vi får n2 ganger PQ.
Quiz section 24
Hvilket produkt vurderes med n2 og PQ?
Skalarprodukt
Differens
Kryssprodukt
Er lik. Altså, vi er egentlig ute etter å bruke den vinkelen Alfa, for det er den som er nøkkelen til å koble oss inn på det. Så derfor kan vi gjøre den lure tingen her, at vi får det sånn.
Quiz section 25
Hvilken vinkel er nøkkelen i beregningen?
Alfa
Delta
Pi
Fordi cosinus til etthundreogåtti minus Alfa faktisk er minus cosinus Alfa.
Quiz section 26
Hva er cos(180° - Alfa) lik?
-cos(Alfa)
cos(Alfa)
0
Og det er bare for å ta et bittelite sidespor. Vi ser det på en enhetssirkel, for hvis vi har en vinkel Alfa som ligger der,
Quiz section 27
Hvor illustrerer man ofte vinkler i trigonometrien?
Enhetssirkelen
Kun i hodet
En tabell
så ligger etthundreogåtti minus Alfa her borte på symmetrisk.
Quiz section 28
Hvordan er 180° - Alfa plassert i sirkelen?
Symmetrisk på motsatt side
Rett ved siden av Alfa
Over midtpunktet i planet
Og cosinusverdien til den vinkelen der.
Quiz section 29
Hvilken trigonometrisk verdi omtales her?
Kotangens
Tangens
Cosinus
Som er etthundreogåtti minus Alfa.
Quiz section 30
Hvilken vinkel er dette fortsatt snakk om?
180° - Alfa
90° + Alfa
2 × Alfa
Cosinusverdien der er jo den samme, bortsett fra fortegnet.
Quiz section 31
Hva er forskjellen på cos(Alfa) og cos(180° - Alfa)?
Den ene er alltid null
De er identiske
Fortegnet
Altså minus.
Quiz section 32
Hva skjer med verdien ved 180° - Alfa?
Den øker til det dobbelte
Den blir null
Den blir negativ
Og det gjør jo at hvis vi nå skal bruke den samme.
Quiz section 33
Hva må vi gjøre med uttrykket når fortegnet er negativt?
Justere det for å ta hensyn til minus
Sette alt til null
Finne en annen vektor
Relasjonen som i stad, må vi bytte ut dette her med minus det, så da står det jo.
Quiz section 34
Hvilken endring gjøres i relasjonen?
Cosinus erstattes med negativ cosinus
Sinus erstattes med tangens
Alt settes til 1
Minus det der.
Quiz section 35
Hvilket fortegn innføres?
Minus
Pluss
Ingen
Og så står det n2. Det står forresten et vektortegn her. Og så står det n2 PQ som
Quiz section 36
Hvilken vektor er fremdeles i fokus?
PP
nn
PQ
Men da kan vi gjøre det samme. Vi kan jo stryke den.
Quiz section 37
Hva kan vi gjøre med en felles faktor i uttrykket?
La den stå
Dele den i tre
Stryke den
Og ta med minustegnet med det samme.
Quiz section 38
Hva må vi ikke glemme når vi justerer uttrykket?
En konstant på 10
Å legge til en faktor på 2
Minustegnet
Så blir det minus lengden av n2 som.
Quiz section 39
Hva skjer med lengden av n2 da?
Den halveres
Den blir null
Den får et negativt fortegn i uttrykket
Fordi avstanden vi er ute etter, er jo positiv. Men hele poenget er egentlig at dette er uansett hvordan det snur og vender på det, kan vi bare ta absoluttverdien av hele greia.
Quiz section 40
Hvordan sikrer vi at avstanden blir positiv?
Vi fjerner vinkelen
Vi tar absoluttverdien
Vi ganger med null
Deler på absoluttverdien til n1.
Quiz section 41
Hva deler vi på for å normalisere uttrykket?
Summen av alle lengder
Absoluttverdien av n1
Z-verdien
For å si det sånn: Uansett hvilken normalvektor vi har valgt, enten vi har valgt n1 eller n2, det er ikke sikkert vi har valgt den, men at det er det vi har fått på et eller annet vis.
Quiz section 42
Hvilken faktor er ikke kritisk når vi tar absoluttverdien?
Antall planet
Normalvektorens retning
Lengden på punktet
Så hvis vi tar absoluttverdien, går det bra. Det er det som er poenget.
Quiz section 43
Hva er hovedpoenget med å ta absoluttverdien?
Å fordoble lengden
Å få et positivt resultat
Å fjerne vektoren helt
Og dette var en masse innviklet [..] og greier. Vi skal regne på det vi nå har sett i et eksempel på neste video.
Quiz section 44
Hva skal gjøres i neste video?
Vise et regneeksempel
Bytte tema helt
Avslutte hele gjennomgangen
Quiz section 45
Quiz section 46
06:36
Teori 1
Likningen for et plan - når vi starter med et punkt i planet og en normalvektor til planet.
01:35
Teori 2
Normalvektorene til xy-planet, yz-planet og xz-planet.
07:10
Teori 3
Vinkelen mellom to plan.
03:11
Teori 5
Likningen . En linje i 2D, men et plan i 3D!
04:10
Teori 6
Vi regner på avstanden mellom et punkt og et plan.
04:01
Teori 7
Parameterfremstilling av plan.
05:49
Teori 8
Avstand mellom et punkt og et plan - formel.
05:39
Teori 9
Plan: Fra parameter til likning.
04:36
Teori 10
Plan: Fra likning til parameter.
08:48
Teori 11
Skjæringslinje mellom 2 plan.
05:18
Oppgave 1
Bestem likningen for planet som går igjennom A(1,-1,1) B(4,1,3) C(3,0,4).
04:06
Oppgave 2
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle plan?
05:34
Oppgave 3
Skjærings linja mellom 2 plan, på likningsform.
02:00
Oppgave 4
Gitt punktet P(2,3,-4). Hva er avstanden fra P til
a) xy-planet?
b) xz-planet?
c) yz-planet?
a) xy-planet?
b) xz-planet?
c) yz-planet?
03:04
Oppgave 5
Et plan er gitt ved likningen .
a) Finn koordinatene til skjæringspunktene med x- y- og z-aksen.
b) Finn en normalvektor til planet.
04:44
Oppgave 6
a) Finn vinkelen mellom xy-planet og planet A gitt ved likningen .
b) Finn likningen for skjæringslinja mellom de to planene.
b) Finn likningen for skjæringslinja mellom de to planene.
Hva har vi hittil brukt parameterframstilling på?
00:00
Hva annet enn linjer kan ha parameterframstilling?
00:07
Hvor mange retningsvektorer trengs for å beskrive et plan?
00:12
Hva må de to retningsvektorene ikke være?
00:12
Hva kalles et punkt i planet i eksempelet?
00:47
Hva trenger vi for å beskrive alle punkter i et plan?
00:53
Hvor mange parameterstørrelser brukes i planet?
01:18
Hvordan skrives punktet OP i parameterversjonen?
01:24
Hva er koordinatene til punkt A?
01:41
Hva er koordinatene til u-vektor?
01:52
Hva er koordinatene til v-vektor?
02:00
Hva er x uttrykt ved s og t?
03:09
Hva er y uttrykt ved s og t?
03:23
Hva er z uttrykt ved s og t?
03:40
Hvilket konsept nevnes sammen med T-matte og R1?
00:00
Hva kalles tallet som viser endringen i y per enhet i x?
00:15
Hvilken variabel legges ofte til når vi går fra 2D til 3D?
00:48
Hvor stor er z-komponenten i en ligning hvis den ikke nevnes?
01:00
Hva kalles en vektor som står vinkelrett på et plan?
01:11
Hvilken 2D-flate får vi fra en lineær likning i 3D?
01:22
Hva betyr det at planet ikke har en z-komponent i sin normalvektor?
01:25
I hvilket plan ligger en linje som bare varierer i x og y?
01:43
Hva kan flere punkter i et plan brukes til?
02:10
Hva danner punkter når de kobles sammen i et koordinatsystem?
02:23
Hva kalles en enkel tegning som viser hvordan en linje går?
02:26
Hvilket plan brukes når x og y varierer?
02:34
Hvilken retning beskriver ordet "oppover" for et plan i rommet?
02:47
Med hvilken akse kan et plan være parallelt?
02:53
Hva kalles linjen der et plan og XY-planet møtes?
02:58
Hvilken akse står vinkelrett på xy-planet?
00:00
Hvilke akser spenner ut xy-planet?
00:08
Hvilken retning regnes gjerne som 'oppover' i et standard 3D-system?
00:18
Hvilken vinkel danner en normalvektor med planet den står normalt på?
00:23
Hva kalles aksen som ofte er vertikal i 3D-rom?
00:26
Hvilken koordinat endres når man beveger seg opp langs z-aksen?
00:29
Endres retningen til en vektor hvis den ganges med en positiv skalar?
00:33
Hvilke akser spenner ut xz-planet?
00:58
Kan lengden på en normalvektor til et plan velges fritt?
01:15
Hva skal vi undersøke?
00:00
Hva skjer hvis plan ikke er parallelle?
00:05
Hva avgjør vinkelen mellom to plan?
00:20
Hva kalles en vektor vinkelrett på et plan?
00:35
Viser “i den duren” en omtrentlig retning?
00:48
Hvilken ordklasse tilhører “som” oftest?
00:51
Hvor mange plan omtales i eksempelet?
00:54
Hva betyr det at en vektor går normalt til et plan?
00:59
Snakker man fortsatt om en omtrentlig retning her?
01:06
Hva gjør fortelleren her?
01:11
Brukes perspektiv i tegningen?
01:13
Er det lett å se eksakt her?
01:23
Hva ser vi at vi får?
01:26
Hva sammenlignes her?
01:31
Virker illustrasjonen korrekt?
01:38
Hva nevnes her?
01:42
Er “den i stedet” en alternativ retning?
01:55
Hva blir litt for stor?
01:57
Hvordan defineres vinkelen mellom to plan?
02:03
Er denne setningen fullstendig?
02:28
Hvilke tall nevnes for normalvektor til plan A?
02:30
Hvilke tall brukes for plan B?
02:38
Hva skal man finne mellom de to vektorene?
02:47
Hva omtales i sammenheng med n1 her?
03:00
Hvilken trigonometrisk funksjon nevnes?
03:04
Hva er målet her?
03:13
Hvilke tall nevnes her?
03:23
Hvilken type produkt omtales?
03:29
Hvilket tall nevnes her?
03:33
Hvilken teorem omtales?
03:35
Hvilket tall skal kvadreres?
03:42
Hvilken frase brukes her som pause?
03:44
Hvilke tall kvadreres her?
03:47
Hvilket tillegg nevnes?
03:51
Hvorfor brukes parentes?
03:53
Hvilket tall kvadreres her?
04:01
Hvilken ekstra størrelse kvadreres?
04:05
Hva henviser “det” til her?
04:10
Hvilken operasjon utføres?
04:14
Hva kalles vinkelen her?
04:22
Hva gjøres nå?
04:24
Hva blir 3 ganger 1?
04:29
Hva blir 2 ganger 1?
04:37
Hva er 5 ganger -4?
04:40
Hvilken matematisk funksjon nevnes nå?
04:44
Hva blir 9 + 4 + 25?
04:49
Hva er 1 + 1 + 16?
04:57
Er vi ferdige?
05:06
Hvilken verdi får vi her?
05:10
Hva deler vi på?
05:13
Hvilken annen rot nevnes?
05:20
Hva blir 3 + 2 - 20?
05:23
Fortsetter utregningen her?
05:29
Hvilken del av formelen nevnes?
05:35
Hva bruker vi her?
05:41
Hvilket tall skal deles her?
05:49
Hvilken operasjon gjør vi med roten av 18?
05:58
Hva skjer da?
06:03
Hvilket tegn omtales?
06:06
Hvilken omtrent verdi nevnes?
06:15
Blir det et endelig tall?
06:25
Hvilken vinkel nevnes?
06:27
Hva beskrives her?
06:35
Hva skal vi finne her?
06:46
Hvordan finner vi den lille vinkelen?
06:48
Hva gir 180 - 125?
06:52
Hva blir 180 - 125?
06:59
Hva er den endelige vinkelen?
07:04
Hva beskriver en likning av formen aX+bY+cZ=t?
00:00
Hva trenger vi for å finne et plans likning?
00:19
Hva kjennetegner en normalvektor?
00:47
Kan en normalvektor peke bort fra oss?
01:02
Er lengden på normalvektoren viktig?
01:13
Hva definerer et plan?
01:21
Hva gjør et punkt med planet?
01:29
Hva kan vi finne med normalvektor og punkt?
01:34
Hva er koordinater?
01:54
Hva er P Q-vektoren?
01:56
Hva leter vi etter i planet?
02:04
Hva vil vi finne i likningen?
02:06
Hvor må punktet Q ligge?
02:11
Hva er vinkelen mellom PQ-vektor og normalvektor?
02:25
Hva utnytter vi for å finne likningen?
02:41
Hva ser vi på først?
02:45
Hvordan finner vi PQ-vektor?
02:50
Hva blir N⋅PQ?
03:32
Hva fører N⋅PQ=0 til?
03:38
Hva er normalvektoren i eksempelet?
03:47
Hva gjør vi med uttrykket?
04:03
Hvilket ledd tar vi først?
04:07
Hva legger vi til neste?
04:11
Hvilket ledd kommer til slutt?
04:19
Hva blir summen lik?
04:24
Hva gjør vi med uttrykket nå?
04:29
Hvorfor rydder vi opp?
04:33
Hva er den endelige likningen?
04:37
Hvilken form har likningen nå?
04:48
Hva kom vi fram til på høyresiden?
05:10
Stemmer den nye likningen med formen?
05:16
Hva er a, b, c?
05:23
Hva gjorde vi med eksempelet?
05:27
Kan logikken generaliseres?
05:32
Hva er den generelle normalvektoren?
05:33
Hva er den generelle likningen?
05:38
Hvilket eksempel samsvarer med formelen?
06:17
Hva er grunnlaget for formelen?
06:26
Hva ønsker vi å finne formelen for?
00:00
Hva er normalvektorens koordinater?
00:29
Hva kalles det tilfeldige punktet vi velger?
00:49
Hva er smartere å bruke, QP eller PQ?
01:00
Hva gjør vi med koordinatene når vi lager vektoren?
01:23
Hva representerer a, b og c?
01:44
Hva setter vi inn i parentesen?
03:01
Hva skjer når vi flytter leddet fra høyre til venstre?
03:29
Hva står i telleren i avstandsformelen?
04:02
Hva er d i eksempelet?
04:58
Hva får vi på toppen før vi tar absoluttverdien?
05:33
Hva er sluttresultatet for avstanden?
05:39
Hva skal vi finne?
00:00
Hva er viktig for et plan?
00:06
Hva må vi velge i planet?
00:16
Hvilken type avstand er vi interessert i?
00:29
Hva beskriver “avstanden” her?
00:48
Hvilket navn gir vi denne distansen?
00:50
Hva er lik PR i denne sammenhengen?
00:53
Hvilken formel brukes for avstanden?
00:56
Hva skjer med uttrykket videre?
01:11
Hvilken vektor er sentral i beregningene?
01:13
Hva undersøker vi med n1 ⋅ PQ?
01:41
Hva multipliseres lengden av n1 med?
02:16
Hvilken trigonometrisk faktor inngår?
02:20
Hva kalles vinkelen?
02:22
Hva representerer uttrykket som ble nevnt?
02:26
Hva beskriver n1 ⋅ PQ-vektoren?
02:31
Hva får vi hvis vi setter opp uttrykket for n1 og PQ?
02:42
Finnes det et alternativ i beregningen?
02:59
Hva kalles den alternative normalvektoren?
03:03
Hvilken vektor bruker vi fremdeles med n2?
03:13
Hvilken egenskap ved n2 brukes i beregningen?
03:24
Hva gjør vi med lengden av n2?
03:31
Hvilken lengde multipliseres med n2?
03:34
Hvilken vinkel oppstår når n2 peker motsatt vei?
03:36
Hvilket produkt vurderes med n2 og PQ?
03:53
Hvilken vinkel er nøkkelen i beregningen?
04:00
Hva er cos(180° - Alfa) lik?
04:15
Hvor illustrerer man ofte vinkler i trigonometrien?
04:23
Hvordan er 180° - Alfa plassert i sirkelen?
04:34
Hvilken trigonometrisk verdi omtales her?
04:39
Hvilken vinkel er dette fortsatt snakk om?
04:44
Hva er forskjellen på cos(Alfa) og cos(180° - Alfa)?
04:47
Hva skjer med verdien ved 180° - Alfa?
04:51
Hva må vi gjøre med uttrykket når fortegnet er negativt?
04:54
Hvilken endring gjøres i relasjonen?
04:59
Hvilket fortegn innføres?
05:07
Hvilken vektor er fremdeles i fokus?
05:10
Hva kan vi gjøre med en felles faktor i uttrykket?
05:19
Hva må vi ikke glemme når vi justerer uttrykket?
05:24
Hva skjer med lengden av n2 da?
05:27
Hvordan sikrer vi at avstanden blir positiv?
05:31
Hva deler vi på for å normalisere uttrykket?
05:47
Hvilken faktor er ikke kritisk når vi tar absoluttverdien?
05:51
Hva er hovedpoenget med å ta absoluttverdien?
06:01
Hva skal gjøres i neste video?
06:06
Hvor mange retningsvektorer trenger vi for å parameterfremstille et plan?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Hvis de er parallelle får man bare gå langs én linje.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Er det mulig å definere et plan ved hjelp av ett punkt og én normalvektor?
Riktig svar!
Siden normalvektoren vil da stå 90 garder på planet, og da også punktet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
-
a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . -
c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Riktig svar!
\displaystyle \begin{align*} \vec{n}_{\alpha} & = \vec{AB} \times \vec{AC} \\\
& = [(-1)(-2) - (-1)0, - (-2)(-2) - (-1)(-1), (-2)0 - (-1)(-1)] \\\
& = [2,-3,-1]\end{align*}
\displaystyle\begin{align*} \alpha: 2(x-4) -3(y-3) - (z-1) & = 0 \\\
2x - 8 - 3y + 9 - z + 1 & = 0 \\\
2x - 3y - z + 2 & = 0 \end{align*}
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
En kuleflate er gitt ved likningen
-
a) Vis at punktet ligger på kuleflaten.
-
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
- c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet P.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
planet som tangerer i
\displaystyle\begin{align*} (x-2) + 2(y-3) + 2(z-5) & = 0 \\\
x - 2 + 2y - 6 + 2z - 10 & = 0 \\\
x + 2y + 2z & = 18\end{align*}
Er vinkelen mellom to plan lik vinkelen mellom de respektive normalvektorene?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden da er det den minste vinkelen mellom planene.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Er alle vektorer som er parallelle med z-aksen normalvektorer til xy-planet?
Riktig svar!
Ja siden z-aksen står normalt på xy-planet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Likningen kan tolkes som en rett linje i et koordinatsystem med bare x-akse og y-akse. Hva blir det hvis vi også har en z-akse?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Den linjen man ser i koordinatsystemet med bare x- og y-aksene går uendelig langt inn og ut av arket som et plan.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hva oppstår der to plan skjærer hverandre?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Hvis to linjer skjærer hverandre får man et punkt. Ser man de to linjene som plan vil det punktet bli strukket ut like langt som planene, altså bli til en linje.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hvordan gå fra en parameterfremstilling av et plan til likningen for planet?
Riktig svar!
Det er slik man gjøre det.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
En normalvektor til et plan er [1,2,3]. Er noen av vektorene [-3,0,1], [-2,1,0] og [0,-3,2] retningsvektorer for planet?
Riktig svar!
Hvis man tar vektorproduktet av hvilken som helst av de, så får man noe som er parallelt med den oppgitte normalvektoren.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Et plan har normalvektor [1,1,1]. Punktet Q(0,0,0) ligger i planet. Hva er avstanden mellom punktet P(2,0,0) og planet?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi kjenner normalvektoren til et plan, og et punkt Q i planet. Så har vi et punkt P utenfor planet. Er det riktig at skalarproduktet gir avstanden mellom punktet P og planet?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Dette må man huske.
Hvordan finne avstanden mellom et punkt P med kjente koordinater og et plan, gitt ved likningen for planet?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Dette må man huske.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Se løsning og registrer oppgaven
Setter inn i CAS og finner avstanden med "Avstand(Punkt, Objekt)". Setter deretter inn den gitte funksjonen og ser om de er like med "==".
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Se løsning og registrer oppgaven
Setter inn i CAS og bruker "Avstand(Punkt, Objekt)".
Dette er avstanden fra kulens sentrum til planet. Den korteste avstanden er da .
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at
Avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem eksakte verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Se løsning og registrer oppgaven
For at en kule og et plan skal tangere så må den korteste distansen mellom sentrumet til kulen og planet være lik radiusen til kulen. Bruker funksjonen vi fikk fra oppgave c i CAS til å finne hvilke t som gjør at kulen tangerer flaten.
Punktene og er gitt.
a) Bestem . Bestem arealet av
b) Punktene A, B og C ligger i et plan . Bestem likningen for planet .
En partikkel starter i origo O(0 , 0 , 0).Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved
c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer .
Se løsning og registrer oppgaven
Vi setter punktet C og normalvektoren inn i likningen for et plan og finner likningen for planet
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
- a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . -
c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Se løsning og registrer oppgaven
Setningen forteller at punktene og bestemmer entydig et plan kun hvis punktene ikke ligger langs en rett linje.
\displaystyle\begin{align*}\vec{AB} & \neq k \cdot \vec{AC}\ , \ k \in \mathbb{R} \\\
\vec{AB} & = [2-4,2-3,0-1] = [-2,-1,-1] \neq k \cdot\vec{AC} = k \cdot [1-2,2-2,-2-0] = k \cdot [-1,0,-2]\end{align*}
Hvilket skulle vises.
Punktene og er gitt.
a) Bestem ved regning vektorproduktet
b) Forklar at C ligger på linjen gjennom A og B.
c) Bestem en likning for planet gjennom A, B og C.
d) Avgjør om punktet D(2, 2, 3) ligger i .
Se løsning og registrer oppgaven
Punktet D ligger ikke i planet
Vi har gitt punktene , og
a) Vis at punktene ligger i planet gitt ved:
En linje står normalt på og går gjennom .
b) Bestem en parameterframstilling for
En kuleflate tangerer i .
c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen:
, for en
Punktet ligger på kuleflaten.
d) bestem sentrum til kuleflaten.
Se løsning og registrer oppgaven
Putter inn koordinatene fra punktene inn i likningen for planet og ser om det går opp.
For punkt
Ligger i planet
For punkt
Ligger i planet
For punkt
Ligger i planet
Da er det vist at punktene ligger i planet.
Planet
-
a) Vis at punktet ikke ligger i planet .
En linje går gjennom P slik at . -
b) Bestem en parameterframstilling for .
-
c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom og .
-
d) Bestem avstanden fra P til .
Se løsning og registrer oppgaven
Punktet ligger ikke i planet kun dersom punktets koordinater ikke tilfredstiller likningen til planet.
punktet ligger ikke i planet .
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.