VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
06:15
Teori 1
Konvergente og divergente rekker.
Vi skal nå se på et par rekker. Geometriske rekker er de rekkene vi skal se på, hvor vi har uendelig mange ledd, og da er det litt interessant å se hvordan …
Quiz section 0
Hva kalles en rekke der hvert ledd er et fast multiplum av det forrige?
Geometrisk
Aritmetisk
Lineær
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Eller hva som skjer med summen av rekkene.
Quiz section 1
Hva menes med summen av en rekke?
Kun det første leddet
Totalt resultat av å legge sammen alle ledd
Bare differansen mellom ledd
Vi har en rekke her oppe: to pluss seks pluss atten og så videre. Da ser vi at det første leddet A en, det er jo to.
Quiz section 2
Hva kalles den første termen i en rekke?
Første ledd
Siste ledd
Mellomledd
Og så ser vi at for hvert ledd ganger vi med tre, så da har jeg en kvotient i rekken på tre.
Quiz section 3
Hva kaller vi faktoren vi multipliserer med i en geometrisk rekke?
Eksponent
Kvotient
Divisor
Her borte har vi skrevet opp formelen for summen av en geometrisk rekke, og i vårt tilfelle blir det da to.
Quiz section 4
Hva er formålet med en formel for summen av en geometrisk rekke?
Å finne summen uten å addere alle ledd manuelt
Å telle antall ledd
Å eliminere rekken
Ganger tre i n-te minus en delt på tre minus en, og det blir jo to.
Quiz section 5
Hva betyr det når vi sier 'i n-te'?
Opphøyd til n
Trukket fra n
Delt på n
Og da kan vi egentlig forkorte, og så får vi tre opphøyd i n-te minus en.
Quiz section 6
Hva skjer når vi forkorter et uttrykk?
Vi utvider det
Vi forenkler det
Vi ignorerer det
Men da er det jo sånn at jo større n er, jo større blir tre i n-te. Så den summen der vil bare vokse mot uendelig jo flere ledd vi har med.
Quiz section 7
Hva skjer med tre opphøyd i n når n blir veldig stort?
Det går mot null
Det endrer seg ikke
Det vokser mot uendelig
Jo større blir summen, og den vokser bare mer og mer på en måte. Det ser vi jo egentlig på de tallene her. Hvert tall vi legger til er større enn det forrige, og da blir summen større og større. Hvis vi da skal ha med uendelig mange ledd, så må jo summen også bli uendelig stor.
Quiz section 8
Hva kalles en rekke som vokser uten grenser?
Konvergent
Divergent
Konstant
I så fall har vi en divergent rekke, og her har vi skrevet det på en litt matematisk måte hva det betyr. Da n går mot uendelig, impliserer det at summen av de n første
Quiz section 9
Hva betyr det at en rekke er divergent?
Summen øker uten ende
Summen blir null
Summen blir negativ
leddene også går mot uendelig. Da har vi en divergent rekke.
Quiz section 10
Hva skjer med summen av en divergent rekke når n går mot uendelig?
Summen stabiliserer seg
Summen går mot uendelig
Summen går mot null
Men det er ikke alle rekker som er sånn. Vi kan se på den rekka her hvor vi starter på to, og så blir det pluss en, og så blir det pluss en halv, og så videre. Det er også en geometrisk rekke. Første leddet er jo to, selvfølgelig. Og så ser vi at for hvert ledd så ganger vi med en halv, så der er kvotienten en halv.
Quiz section 11
Hva betyr det at ikke alle rekker vokser uten grenser?
Ingen konvergerer
Alle vokser til slutt
Noen kan nærme seg en endelig verdi
Og hvis vi nå gjør det samme, bruker en formel som står der oppe for summen av de n første leddene, så blir jo det
Quiz section 12
Hva er en 'geometrisk rekke'?
En rekke uten mønster
En rekke der vi legger til et fast tall
En rekke der hvert ledd er et fast multiplum av det forrige
A en, det blir to.
Quiz section 13
Hva kalles den første termen i en geometrisk rekke?
Kvotient
Sum
A en (første ledd)
*
Quiz section 14
Hva er kvotienten dersom vi alltid multipliserer med en halv?
2
1
1/2
To. Det var altså en halv.
Quiz section 15
Hva er kvotienten dersom vi alltid multipliserer med en halv?
1/2
2
1
Skal jeg skrive ned litt finere? Skal vi se.
Quiz section 16
Hva betyr det å skrive noe 'litt finere'?
Å tydeliggjøre eller forenkle uttrykket
Å endre betydning
Å komplisere det
En halv i n-te.
Quiz section 17
Hva betyr (1/2)^n når n øker?
Det holder seg konstant
Det nærmer seg uendelig
Det nærmer seg null
Minus en, og så under så står det en halv.
Quiz section 18
Hva menes med 'minus en' i et uttrykk?
At vi ganger med en
At vi trekker fra en
At vi legger til en
En halv minus en.
Quiz section 19
Hva er en halv minus en?
To
Pluss en halv
Minus en halv
Sånn.
Quiz section 20
Hva betyr det når vi sier 'sånn' i matematisk forklaring?
At vi starter på nytt
At vi har vist ferdig et steg
At vi forkaster løsningen
Ja.
Quiz section 21
Hva uttrykker et enkelt 'Ja' i en forklaring?
En tilføyelse
En avvisning
En bekreftelse
Der stod en halv i n-te.
Quiz section 22
Hva betyr det at det 'stod en halv i n-te'?
At leddet er n/2
At leddet er 2^n
At leddet er (1/2)^n
Sånn, da har vi den samme formelen som er oppe. Vi kan jo i og for seg forenkle den litt før vi gjør noe annet, fordi vi kan se at det står to.
Quiz section 23
Hvorfor kan vi bruke den samme formelen som er oppe?
Fordi vi ikke har andre formler
Fordi den bare gjelder for denne rekken
Fordi den gjelder for geometriske rekker generelt
Og så oppå brøkstreken har vi da en halv i n-te.
Quiz section 24
Hva betyr 'oppå brøkstreken'?
Utenfor brøken
I nevnerdelen av brøken
I tellerdelen av brøken
Minus en, men under så blir det minus en halv.
Quiz section 25
Hva betyr det når nevneren blir minus en halv?
At kvotienten endres til 2
At verdien er negativ i nevneren
At teller blir null
Så gidder vi ikke gjøre mer med det foreløpig, men vi er interessert i å se på hva som skjer når vi har uendelig mange ledd, altså at n går mot uendelig. Fordi den rekken her er litt mer spennende, for vi ser jo at det vi legger til blir mindre og mindre. Neste ledd blir for eksempel en fjerdedel, og så kommer en åttendedel. Til slutt vil jo disse brøkene vi legger til bli så små at det ikke er sikkert det blir så mye større.
Quiz section 26
Hvorfor gidder vi ikke gjøre mer med uttrykket foreløpig?
Fordi vi vil se på grenseverdien når n går mot uendelig
Fordi det ikke er mulig
Fordi vi er ferdige
Selv om jeg har møtt noen ledd til.
Quiz section 27
Hva betyr det at brøkene vi legger til blir stadig mindre?
At summen blir uendelig
At summen hopper opp og ned
At summen kan nærme seg en endelig verdi
Og da kan vi jo.
Quiz section 28
Hva menes med 'Og da kan vi jo' i forklaringen?
At vi starter på noe helt annet
At vi avslutter
At vi skal fortsette med neste steg
Se på når n går mot uendelig da. Det som er det interessante med den formelen, det er jo bare ett sted det står n i det uttrykket vi har her, og det er på en halv i n-te. En halv i n-te går jo faktisk
Quiz section 29
Hva er interessant med n som går mot uendelig?
Å se om rekken blir negativ
Å se om rekken forsvinner
Å se om rekken konvergerer eller divergerer
mot null.
Quiz section 30
Hva skjer med (1/2)^n når n går mot uendelig?
Det går mot uendelig
Det går mot null
Det øker og minker
Når n går mot uendelig.
Quiz section 31
Hvorfor blir (1/2)^n veldig lite?
Fordi vi trekker fra 1/2
Fordi vi legger til 1/2
Fordi vi ganger med 1/2 mange ganger
En halv ganger en halv ganger en halv ganger en halv, og så videre. For eksempel en halv i tiende, det er et veldig, veldig lite tall. En halv i hundrede er enda mindre, og grensa er altså null, og da
Quiz section 32
Hva skjer med et tall når du ganger det gjentatte ganger med 1/2?
Det blir mindre og mindre
Det øker
Det forblir det samme
betyr jo det at summen
Quiz section 33
Hva betyr det at summen går mot en verdi?
At den blir uendelig
At den nærmer seg en bestemt grense
At den hopper opp og ned
blir
Quiz section 34
Hva innebærer det når vi sier summen 'blir' noe?
At summen tilnærmes en verdi
At summen ikke endrer seg
At summen blir negativ
to
Quiz section 35
Hvorfor er det viktig at summen kan nærme seg et bestemt tall?
For å ignorere rekken
For å gjøre den uendelig
For å vite at rekken konvergerer
så den brøkstreken en halv i n-te er også null
Quiz section 36
Hva betyr det at en halv i n-te er null i grensen?
At i det lange løp er bidraget ubetydelig
At det alltid er null
At vi regnet feil
i den grensa vi nå diskuterer, delt på minus en halv.
Quiz section 37
Hva betyr 'delt på minus en halv'?
At vi ganger med -0,5
At vi deler teller med -0,5
At vi legger til -0,5
Og da ser vi at disse minustegnene blir jo egentlig borte, så vi får to ganger en delt på en halv, og det er det samme som fire. Så det betyr faktisk at uansett, hvis vi hadde tatt med uendelig mange ledd, så blir faktisk summen
Quiz section 38
Hva skjer når minustegnene 'blir borte'?
At uttrykket forsvinner
At uttrykket blir null
At uttrykket blir positivt
fire, og hvis vi ikke tar med uendelig mange ledd, så blir det mindre enn fire.
Quiz section 39
Hva betyr det at summen blir fire i grensen?
At rekken stopper
At rekken er divergent
At rekken konvergerer til 4
Her har vi skrevet opp hva vi da, vår situasjon i dag, har generelt. Hvis lim betyr grensa.
Quiz section 40
Hva betyr 'lim' i matematikk?
Grenser for sekvenser eller rekker
Et heltall
En tilfeldig verdi
av
Quiz section 41
Hva betyr 'med uendelig mange ledd'?
At rekken aldri slutter
At rekken har to ledd
At rekken er tom
Med en med uendelig mange ledd. Når summen av en rekke uendelig mange ledd faktisk blir et tall, da, sånn som i vårt tilfelle fire
Quiz section 42
Når summen av en uendelig rekke er et endelig tall, hva kalles den?
Forbigående
Divergent
Konvergent
blir lik et eller annet tall s, så kalles rekka konvergent.
Quiz section 43
Hva betyr det at en rekke konvergerer?
Den nærmer seg en endelig verdi
Den vokser uten stopp
Den blir negativ
Rekke konvergerer mot verdien s, så vår rekke, den vi så på nå, den konvergerte mot verdien fire.
Quiz section 44
Hva kalles verdien en konvergent rekke nærmer seg?
Uendeligheten
Startverdien
Grenseverdien
Quiz section 45
Quiz section 46
01:54
Teori 2
Den harmoniske rekka: konvergerer IKKE.
04:18
Teori 3
Vi summerer den harmoniske rekka i python.
03:40
Teori 4
Konvergente geometriske rekker.
04:52
Teori 5
Konvergensområder.
00:58
Oppgave 1
Gitt rekka -5 + 15 - 45 + ..
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
01:19
Oppgave 2
Gitt rekka -6 + 6 - 6 + ...
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
08:58
Oppgave 3
Geometrisk rekke der k er trigonometrisk funksjon. Gitt som eksempeloppgave ( eksamensoppgave).
04:35
Oppgave 4
Vis at desimaltallet 0,535353... kan skrives som
a) En uendelig geometrisk rekke.
b) En brøk.
a) En uendelig geometrisk rekke.
b) En brøk.
06:58
Oppgave 5
Gitt rekka
a) Forklar at rekka er geometrisk.
b) For hvilke x-verdier konvergerer rekka?
c) For hvilken x-verdi blir summen av rekka lik 2?
d) For hvilken x-verdi blir summen lik 1 ?
a) Forklar at rekka er geometrisk.
b) For hvilke x-verdier konvergerer rekka?
c) For hvilken x-verdi blir summen av rekka lik 2?
d) For hvilken x-verdi blir summen lik 1 ?
12:19
Oppgave 6
Vi løser oppgave 4 fra eksamen R2 våren 2011.
Hva handler videoen om?
00:00
Når konvergerer rekken?
00:07
Hvordan regnes summen?
00:30
Hva angir formelen?
00:40
Hva skjer om |K| er større enn 1?
00:47
Hva skjer hvis K=3?
01:00
Hva skjer med Kⁿ når |K|
01:16
Hva skjer med små tall opphøyd i store tall?
01:37
Hva kan man erstatte Kⁿ med når n→∞ og |K|
01:50
Hva skjer når man bytter rekkefølgen på ledd med minus?
02:22
Hva blir formelen etter fortegnsbyttet?
02:49
Hva skjer med fortegn ved bytte av to tall med minus?
03:16
Hva ble resultatet?
03:35
Hva kalles en rekke der hvert ledd er et fast multiplum av det forrige?
00:00
Hva menes med summen av en rekke?
00:13
Hva kalles den første termen i en rekke?
00:17
Hva kaller vi faktoren vi multipliserer med i en geometrisk rekke?
00:30
Hva er formålet med en formel for summen av en geometrisk rekke?
00:38
Hva betyr det når vi sier 'i n-te'?
00:49
Hva skjer når vi forkorter et uttrykk?
00:58
Hva skjer med tre opphøyd i n når n blir veldig stort?
01:06
Hva kalles en rekke som vokser uten grenser?
01:21
Hva betyr det at en rekke er divergent?
01:43
Hva skjer med summen av en divergent rekke når n går mot uendelig?
01:56
Hva betyr det at ikke alle rekker vokser uten grenser?
02:04
Hva er en 'geometrisk rekke'?
02:26
Hva kalles den første termen i en geometrisk rekke?
02:36
Hva skjer når vi multipliserer med en halv gjentatte ganger?
02:39
Hva er kvotienten dersom vi alltid multipliserer med en halv?
02:39
Hva betyr det å skrive noe 'litt finere'?
02:41
Hva betyr (1/2)^n når n øker?
02:50
Hva menes med 'minus en' i et uttrykk?
02:53
Hva er en halv minus en?
02:59
Hva betyr det når vi sier 'sånn' i matematisk forklaring?
03:01
Hva uttrykker et enkelt 'Ja' i en forklaring?
03:02
Hva betyr det at det 'stod en halv i n-te'?
03:09
Hvorfor kan vi bruke den samme formelen som er oppe?
03:13
Hva betyr 'oppå brøkstreken'?
03:28
Hva betyr det når nevneren blir minus en halv?
03:32
Hvorfor gidder vi ikke gjøre mer med uttrykket foreløpig?
03:39
Hva betyr det at brøkene vi legger til blir stadig mindre?
04:06
Hva menes med 'Og da kan vi jo' i forklaringen?
04:10
Hva er interessant med n som går mot uendelig?
04:13
Hva skjer med (1/2)^n når n går mot uendelig?
04:28
Hvorfor blir (1/2)^n veldig lite?
04:32
Hva skjer med et tall når du ganger det gjentatte ganger med 1/2?
04:37
Hva betyr det at summen går mot en verdi?
04:51
Hva innebærer det når vi sier summen 'blir' noe?
04:53
Hvorfor er det viktig at summen kan nærme seg et bestemt tall?
04:55
Hva betyr det at en halv i n-te er null i grensen?
04:58
Hva betyr 'delt på minus en halv'?
05:09
Hva skjer når minustegnene 'blir borte'?
05:15
Hva betyr det at summen blir fire i grensen?
05:32
Hva betyr 'lim' i matematikk?
05:40
Hva betyr 'med uendelig mange ledd'?
05:49
Når summen av en uendelig rekke er et endelig tall, hva kalles den?
05:50
Hva betyr det at en rekke konvergerer?
05:59
Hva kalles verdien en konvergent rekke nærmer seg?
06:04
Hva skal vi bevise?
00:00
Hvordan beskrives rekken?
00:10
Hva gjøres med noen av leddene?
00:13
Hva fortsetter man med i det uendelige?
01:10
Hva får man uendelig mange av?
01:24
Hvorfor er den harmoniske rekken større?
01:38
Hva er konklusjonen?
01:49
Er en rekke en sum av flere ledd?
00:00
Betyr konvergent at summen nærmer seg et endelig tall?
00:12
Kan man undersøke en sum digitalt med programmering?
00:20
Er det vanlig å definere en variabel til å starte på null?
00:28
Kan en for-løkke kjøre en sekvens av tall automatisk?
00:54
Bør man forstå hver linje i koden sin?
01:18
Øker en variabel hvis man legger til et positivt tall for hver runde?
01:22
Er det vanlig å starte summen på null i slike løkker?
01:42
Kan man legge et brøktall til en sum av heltall?
01:55
Kan avrunding begrense antall desimaler?
02:11
Er 'round' en vanlig funksjon for avrunding i programmering?
02:39
Skriver man ofte ut resultatet etter en løkke?
02:46
Kan en liste inneholde mange summer underveis i et program?
02:54
Tar flere desimaler mer plass i en utskrift?
03:09
Kan en sum vokse langsomt uten å være endelig?
03:16
Kan en uendelig sum fortsette å øke selv om den stiger sakte?
03:47
Betyr divergent at summen aldri når en endelig verdi?
03:51
Hva er en konvergent rekke?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Den konvergerer mot en bestemt verdi.
Vi har den uendelig egeometriske rekka . Hva er konvergensområdet ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
I rekka er k = 2x, og absoluttverdien av x må være mindre enn 1/2 for at k skal være imellom -1 og 1.
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a) Bestem konvergensomrâdet til rekken.
b) Løs Iikningene
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Hva skal til for at en geometrisk rekka skal konvergere?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden da bli leddene mindre og mindre.
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Bestem x slik at
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Sumformelen for uendelig geometrisk rekke er gitt ved
Vi får da
Vi ser at er med i konvergensområdet til rekken, og er dermed en løsning av likningen
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Funksjonen er gitt ved
\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <div style="opacity:0.4";><p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></div></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}
Vi skal nå se på den uendelige rekken
b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at
c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for .
Se løsning og registrer oppgaven
Resultatet fra oppgave a) var at:
S er en uendelig rekke, som vil så at . Det betyr at:
S \\leq 1 + \\inf_{1}^{\\infty} = 2
Så
En uendelig rekke er gitt ved
-
a) Vis at , når
Det kan vises at
(1)\' + (x)\' + (x^{2})\' + (x^{3})\' + \ldots = (\frac{1}{1-x})\', når -
b) Vis at
, når -
c) Bruk resultatet i oppgave b) till å vise at
-
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
-
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme
Se løsning og registrer oppgaven
Når , konvergerer rekken.
Formelen for summen av en uendelig, konvergerende, geometrisk rekke er
og
Hvilket skulle vises.
En uendelig rekke er gitt ved
-
a) Vis at , når
Det kan vises at
(1)\' + (x)\' + (x^{2})\' + (x^{3})\' + \ldots = (\frac{1}{1-x})\', når -
b) Vis at
, når -
c) Bruk resultatet i oppgave b) till å vise at
-
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
-
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme
Se løsning og registrer oppgaven
\displaystyle\begin{align*} (1)\' + (x)\' + (x^2)\' + (x^3)\' + \ldots & = \left(\frac{1}{1-x}\right)\' \\\
\Rightarrow 0 + 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots & = \frac{0\cdot(1-x) - 1\cdot(-1)}{(1-x)^2} \\\
\Rightarrow 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots & = \frac{1}{(1-x)^2}\end{align*}
Hvilket skulle vises.
Funksjonen er gitt ved
\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <div style="opacity:0.4";><p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></div></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}
Vi skal nå se på den uendelige rekken
b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at
c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for .
Se løsning og registrer oppgaven
Setter inn i CAS og som regner det ut for oss med "Sum( Uttrykk, Variabel, Start, Slutt )".
Det betyr at summen .
a) Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut
b) En geometrisk rekke er gitt ved og .
Avgjør om den uendelige rekken konvergerer. Bestem eventuelt summen av rekken.
Se løsning og registrer oppgaven
Vet at rekken er geometrisk, så må følge formelen
For å finne bruker vi det at
Siden så konvergerer rekken
Bruker så summen av en uendelig konvergent rekke, som er:
Ser at vi trenger , så finner den ved å dele på .
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Bestem x slik at
Se løsning og registrer oppgaven
Rekken har kvotienten og konvergerer når .
Ved å betrakte brøken ser vi at den vil ligge i området når
Konvergensområdet til rekken er
En uendelig rekke er gitt ved
-
a) Vis at , når
Det kan vises at
(1)\' + (x)\' + (x^{2})\' + (x^{3})\' + \ldots = (\frac{1}{1-x})\', når -
b) Vis at
, når -
c) Bruk resultatet i oppgave b) till å vise at
-
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
-
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme
Se løsning og registrer oppgaven
\displaystyle \begin{align*} 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots & = \frac{1}{(1-x)^2} \\\
\Rightarrow 1 + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \ldots & = \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2} \right)^2} \\\
\Rightarrow 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots & = \frac{1}{\frac{1}{4}} \\\
\Rightarrow 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots & = 4\end{align*}
Hvilket skulle vises.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.