VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
02:03
Teori 1
Bestemt integral - arealet under en graf.
I denne videoen skal vi se hva som menes med bestemt integral.
Quiz section 0
Hva beskriver et bestemt integral?
Arealet under en kurve mellom to punkter
Toppunktet til en funksjon
Et gjennomsnitt av tall
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og det har å gjøre med. Ja, det vi ser her på en måte. Vi har en funksjon f av x, grafen til den funksjonen ser vi litt av der, og så ser vi at vi har to verdier på x-aksen, x = a og x = b, og så har vi da et areal som ligger mellom x-aksen og grafen. Ja, vi skravert, og så er spørsmålet: Hvordan kan vi regne ut det arealet?
Quiz section 1
Hva vil vi finne mellom a og b?
Arealet under f(x)
Et tilfeldig tall
Lengden på x-aksen
Og det skal vi i og for seg ikke lære i denne videoen her, hvordan man regner det ut.
Quiz section 2
Vises utregningsmetoden her?
Ja
Bare delvis
Nei
Men vi kan egentlig si det sånn at i denne videoen skal vi lære hva vi kaller det arealet, for det kaller vi nemlig det bestemte integralet til f av x mellom a og b.
Quiz section 3
Hva kalles arealet under f(x) mellom a og b?
Det bestemte integralet
En differensial
Et ubestemt integral
Og det har en bestemt skriveform, så den [..] der står bare for areal. Så arealet er, ja, bare for å understreke det på engelsk, så er arealet det vi har der da [..].
Quiz section 4
Hva viser integraltegnet med grenser?
Et areal
En summasjon av tilfeldige tall
Et punkt på x-aksen
Det arealet er da gitt som integralet, og, og der ser vi her har vi noen nye symboler, en sånn lang s.
Quiz section 5
Hvilket symbol brukes for integral?
Et langstrakt s
Et sirkeltegn
Et plusstegn
[..] integraltegn kan vi kalle det.
Quiz section 6
Hva kalles dette s-formede tegnet?
Integraltegn
Divisjonstegn
Parentes
Og så står det a nederst, og så står det b øverst, og så ser vi der har vi funksjonen vår, og så har de slengt på en dx etterpå. Så her er det flere ting som akkurat nå kanskje er litt rart, men det er dette som er skriveformen. Så hvis vi har f av x, så må vi slenge på dx, og så må vi ha et sånt integraltegn foran. Og hvis vi skulle integrere mellom a og b, fordi vi er ute etter å finne arealet mellom a og b, x-verdien av, så er det altså a der og b der. Hadde dere for eksempel vært å finne arealet mellom sju og fjorten, så hadde det stått et sju-tall der og fjorten der.
Quiz section 7
Hva plasseres nederst og øverst på integraltegnet?
En vilkårlig konstant
Grenseverdiene a og b
Funksjonens toppunkt
Quiz section 8
Quiz section 9
Hva beskriver et bestemt integral?
00:00
Hva vil vi finne mellom a og b?
00:05
Vises utregningsmetoden her?
00:35
Hva kalles arealet under f(x) mellom a og b?
00:40
Hva viser integraltegnet med grenser?
00:53
Hvilket symbol brukes for integral?
01:06
Hva kalles dette s-formede tegnet?
01:16
Hva plasseres nederst og øverst på integraltegnet?
01:22
Hva skjer når integrasjonsgrensene bytter plass?
00:00
Hva representerer et bestemt integral?
00:19
Hva skjer med integralet når grensene snus?
00:40
Hva mangler den enkle definisjonen av integraler?
01:05
Hva beskriver en arealfunksjon?
01:34
Hvordan kan integralet fra a til b uttrykkes?
01:53
Hva viser differansen mellom arealfunksjonene?
02:02
Hva skjer når grensene a og b byttes i integralet?
02:29
Hva betyr "det motsatte" i integralregning?
02:55
Hva skjer når rekkefølgen byttes ved subtraksjon?
03:04
Hva bestemmer integralets fortegn?
03:35
Vi har en funksjon f, som er positiv i hele intervallet mellom a og b. Det bestemte integralet kan tolkes som
Riktig svar!
Siden alt er over x -aksen så er det ikke nødvendig å dele opp i flere ledd.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Regn ut integralene
a)
b)
c)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Figuren viser grafene til funksjonene F og f .
Det er gitt at F\'(x)=f(x)
a) Bruk figuren til å bestemme F\'(4)
b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Bestem integralene
a)
b)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Figuren viser grafene til funksjonene F og f .
Det er gitt at F\'(x)=f(x)
a) Bruk figuren til å bestemme F\'(4)
b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Funksjonen er gitt ved
Rektangelet er gitt ved at
, der
- er origo
- er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til og x-aksen
- er toppunktet på grafen til
Vis at arealet av det fargelagte området utgjør av rektangelets areal.
Se løsning og registrer oppgaven
Rektangelets areal er
Arealet av det blå området er integralet av funksjonen mellom 0 og a.
Forholdet mellom det blå området og rektangelet er da:
Funksjonen er gitt ved
\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}
Vi skal nå se på den uendelige rekken
b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at
c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for .
Se løsning og registrer oppgaven
Rektanglene under grafen gir en tilnærming for arealet under hele grafen. Rektanglene etter den røde boksen er en oppdeling fra 1 til k, altså en tilnærming for integralet av funksjonen fra 1 til k:
Siden det er tydelig at det samlede arealet til rektanglene er mindre enn hele integralet så får man:
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.