VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
04:38
Teori 1
Cosinus til en differanse mellom to vinkler - vi utleder formelen.
I denne videoen skal vi møte formelen for cosinus til en differanse av to vinkler. Formelen står her, og en differanse betyr det ene minus det andre. Hvis vi har en vinkel U og en vinkel V, sier formelen, som vi nå skal utlede, at cosinus til differansen U minus V blir cosinus til den ene vinkelen ganger cosinus til den andre, pluss sinus til den ene vinkelen ganger sinus til den andre. Hva vi skal med disse formlene får vi komme litt tilbake til. Vi bruker dem en del i å løse ligninger og til å utlede andre ting.
Quiz section 0
Hva introduseres i denne delen?
Ingen ny formel
En formel for tangensdifferanser
En formel for cosinusdifferanser
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Men vi vil nå bevise den formelen, og da skal vi bruke enhetssirkelen som jeg har tegnet opp her med mange forskjellige ting som vi skal komme inn på straks. Og så skal vi bruke skalarproduktet.
Quiz section 1
Hva skal brukes for å bevise formelen?
Likninger
Enhetssirkelen
Divisjon
Det vi legger merke til er at her står det OP multiplisert med OK. Hvis vi har en vinkel U som går et stykke bortover, for eksempel til andre kvadrant, så vil U være sånn at skjæringspunktet mellom vinkelbeinet og enhetssirkelen kaller vi P. Da er førstekoordinaten cosinus U og den andre koordinaten sinus U. Så har vi en annen vinkel V som er litt mindre, og da gjør vi akkurat det samme. Et punkt Q med cosinus V og sinus V som koordinater. Det betyr at OP-vektoren vil være
Quiz section 2
Hvilke punkter brukes for vinklene U og V?
M og N
P og Q
X og Y
Det samme bare på vektorform, for det er jo sånn at når vi starter i origo, så blir vektorkoordinaten OP det samme som P-koordinaten, og akkurat det samme med OK.
Quiz section 3
Hvor starter vektoren OP?
I en trekant
I origo
I punktet Q
Og siden vi snakker om en differanse.
Quiz section 4
Hva slags differanse omtales?
En tall-differanse
En vinkel-differanse
En vektordifferanse
Så er jo det nettopp den blå beregningen der. Hvis for eksempel den vinkelen der er på etthundreogførti grader, og den vinkelen der er på førti, så blir U minus V hundre grader.
Quiz section 5
Hva skjer når vi trekker fra to vinkler?
Vi får en ny vinkel
Vi fjerner sirkelen
Vi endrer radien
Men vi skal bruke skalarprodukt. Ja, og da er det jo sånn at for det første er skalarproduktet definert som absoluttverdien av OP-vektoren ganger absoluttverdien av OK ganger cosinus til vinkelen i mellom.
Quiz section 6
Hva skal benyttes videre?
Logaritmer
Skalarprodukt
Polynomdeling
De to vektorene.
Quiz section 7
Hvilke to ting refereres det til?
To vektorer
To sirkler
To tall
Og det er jo nettopp.
Quiz section 8
Hvordan beskrives skalarproduktet?
Det er ikke definert
Som lengder multiplisert med cosinus
Som summen av to sirkler
[..]
Quiz section 9
Hva antyder denne korte pausen?
At noe er utelatt
At en ny formel ble vist
At ingenting skjer
Så da får vi den. Derfor kan vi bruke dette her, for da får vi akkurat det vi er ute etter. Men hva er det ellers her da? Jo, OP-vektoren på enhetssirkelen er jo én.
Quiz section 10
Hva oppnår vi ved å bruke skalarproduktet her?
Et upresist resultat
En formel for cosinus
En løsning uten trigonometri
Og OK har også en lengde på én.
Quiz section 11
Hva er lengden til vektoren OK?
1
2
Den varierer
Så der har vi en ting.
Quiz section 12
Hva sier foreleseren om denne observasjonen?
Den må forkastes
Den er viktig å merke seg
Den er uten betydning
Det er på en måte venstresiden i ligningen.
Quiz section 13
Hva representerer venstresiden i ligningen?
Cosinus til en differanse
En summering av vinkler
Et produkt av vektorer
Og så skal vi få høyresiden inn i formelen ved å tenke litt annerledes, for vi kan jo også bruke skalarprodukt.
Quiz section 14
Hva skal inkluderes i formelen nå?
Ingenting mer
Høyresiden
En ny funksjon
Det får vi ved å gange sammen.
Quiz section 15
Hvordan får man frem denne siden av formelen?
Ved å dele opp vinklene
Ved å trekke fra sirkler
Ved å multiplisere koordinatene
Ja, nå blir det litt trangt her.
Quiz section 16
Hva sies om plassen under utledningen?
Den er for stor
Den er litt trang
Den er uendelig
Men vi får prøve å skvise det inn. Førstekoordinat til OP blir
Quiz section 17
Hva skal gjøres med koordinatene?
De skal subtraheres
De skal legges til en sirkel
De skal multipliseres parvis
cos U
Quiz section 18
Hvilken trigonometrisk funksjon nevnes først?
cos
tan
cot
Andre koordinaten er sin U.
Quiz section 19
Hva er den andre koordinaten for U?
cos U
sin U
tan U
Og tilsvarende cos V.
Quiz section 20
Hvilken koordinat angis for V?
cos V
sec V
cot V
sin V
Quiz section 21
Hvilken annen trigonometrisk funksjon nevnes for V?
log V
sin V
tan V
V, og hvis vi bruker vektorkoordinater.
Quiz section 22
Hva innebærer det å bruke vektorkoordinater?
At vi kun ser på tallinjen
At punktene uttrykkes som (x, y)
At vi ikke bruker koordinater
Det vi holder på med nå var vel kanskje pensum i R1. Da skal vi ta førstekoordinaten ganger førstekoordinaten, og da får vi jo nettopp cos U ganger cos V.
Quiz section 23
Hva var muligens pensum i R1?
Logaritmelære
Vektorer i planet
Analysedel A
Og så blir det pluss andre koordinat ganger andre koordinat, sinus U.
Quiz section 24
Hva gir tillegg av andrekoordinatenes produkt?
En differanse
Ingen endring
En sum
Gange sinus V. Det betyr jo at hvis vi nå legger sammen, siden det som står der, er det samme som det som står der, så må jo venstre og høyre side her
Quiz section 25
Hvilken operasjon nevnes på sinus V?
Dele
Gange
Subtrahere
Cos U minus V være det samme som det som står der, og da er vi jo i mål.
Quiz section 26
Hva sies om cos (U - V)?
At det ikke henger sammen med U og V
At det kan skrives som et sum-uttrykk
At det er et vilkårlig tall
Da er vi i mål.
Quiz section 27
Hva sier foreleseren om selve beviset?
At beviset nå er fullført
At det er mangelfullt
At det ikke er ferdig
Så da har vi vist regelen. Senere, i noen andre videoer, skal vi bruke denne regelen til forskjellige ting da.
Quiz section 28
Hva skal skje i senere videoer?
Formelen beholdes, men brukes ikke
Formelen skal brukes videre
Formelen forkastes helt
Quiz section 29
Quiz section 30
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.