VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
04:28
Teori 4
Trapesmetoden - en mer nøyaktig tilnærming for arealet under en graf.
En mer nøyaktig tilnærming for arealet under grafen enn rektangelmetoden, står det her.
Quiz section 0
Hva omtales som mer nøyaktig enn rektangelmetoden?
Ingen forskjell
Trapesmetoden
Sirkelfunksjon
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Her ser du et trapes, og du ser formelen for areal av et trapes. Dette er kjente ting vi lærte på ungdomsskolen eller i en til et eller annet sånt.
Quiz section 1
Hvilken form nevnes med en kjent arealformel?
Sirkel
Kvadrat
Trapes
Her ser du en funksjon, grafen til funksjonen, og så ser du at arealet nå er blitt forsøksvis vist [..].
Quiz section 2
Hva illustreres med grafen?
En volum
Et areal
En sekant
At vi har lagt sånne trapeser under, og man ser det ser jo egentlig ut som arealet til.
Quiz section 3
Hva er plassert under grafen?
Rektangler
Trapeser
Trekanter
Under grafen, fordi det er vanskelig å se. Er dette det jeg peker på nå? Er det den skrå linjen som gjør at det er et trapes, eller er det grafen? Her går begge to, men de er såpass tett på hverandre at man på en måte ikke ser at det er luft imellom. Men det er jo litt luft imellom.
Quiz section 4
Hvorfor er det vanskelig å skille linjen fra grafen?
Fordi de aldri møtes
Fordi fargene mangler
Fordi de er tett på hverandre
En trapes er det på figuren, altså hvis vi teller etter, så er det vel åtte trapeser her da. Men da liksom endelig gått da, og det betyr at Delta X er B minus A delt på n. Der ser du Delta X-en, det er da på en måte bredden til hvert trapes, eller skal vi si høyden?
Quiz section 5
Hva kalles (B – A) / n?
E
Pi
Delta X
Fordi her har vi zoomet inn på et trapes, trapes nummer i.
Quiz section 6
Hva er fokus her?
En hel sirkel
Hele grafen
Ett bestemt trapes
Som er det som befinner seg mellom x i minus en og x i. Da har vi at den ene parallelle siden. Og legg merke til at i formelen for trapes er det to parallelle sider, og det er de som har lengder A og B. Den ene lengden er A, som da er f av x i, og den andre er B, som er f av x i minus en. Og høyden H var da avstanden mellom A og B, som betyr den vannrette avstanden her, som jo er Delta X.
Quiz section 7
Hvor mange parallelle sider har et trapes?
Tre
To
Fire
Og summa summarum, så blir det da at trapesformelen A pluss B, jeg tror kanskje det er pekt på nå er A og den der B, men det spiller ingen rolle, delt på to ganger Delta X.
Quiz section 8
Hva er en enkel formel for arealet av et trapes?
A * B
(A – B) / 2 * høyden
(A + B) / 2 * høyden
Er jo summen av alle de trapesene, alle de åtte da, hvis vi skal være konkrete på den figuren vår. Men det alt sammen betyr da å summere. Her kommer det to, men skal vi se, fra y lik en til n, og ser du at det uttrykket her er jo akkurat det trapes-uttrykket som stod her oppe. Og hvis vi ser på det uttrykket, ser du at totallet og Delta X ikke har noe med i å gjøre, så de kan settes utenfor summetegnet: en halv Delta X. Og så blir det den summen som du ser der. Og den summen er slik at det er fullt mulig å lage en Python-kode, for eksempel basert på den oppskriften der, kan du si. Men man kan også pynte litt på den.
Quiz section 9
Hva gjør vi med trapesene for å finne totalarealet?
Vi summerer dem
Vi trekker dem fra hverandre
Vi deler dem på to
Hva har skjedd her da? Jo, for hvis du nå, hvis du starter med i lik en, så blir det x null, altså f av x null, og så blir det f av x en her borte. Og det er det som står med blått. Og så når vi da går til neste, som er i lik to, så blir det to minus en, som er en, det som står med rødt, f av x [..]. Og så når du putter inn to der, så blir det den andre røde der. Det er jo to ledd inn i summetegnet, så det kommer liksom to og to ledd, men da ser du at x en har du både med blått og rødt, x to har du både med rødt og grønt, og slik fortsetter det. Så det er bare de to tallene på enden, f av x null og f av xN, som ikke kommer to ganger.
Quiz section 10
Hvilke punkter opptrer kun én gang i summen?
Ingen
Alle midtpunkter
De første og siste
Og f av x null er jo det samme som f av A, og f av xN er det samme som f av B, og det har vi skrevet her.
Quiz section 11
Hva tilsvarer f(x₀) her?
f(A)
f(B)
Ingen spesifikk verdi
Så da, og hva er vitsen med dette her? Det kan man lure på.
Quiz section 12
Hva stilles det spørsmål ved?
Fargen på grafen
Lengden på x-aksen
Poenget med metoden
Men saken er at vi kan... For det første kan vi selvfølgelig kode ut ifra den oppskriften der, og hvis da for eksempel n er, la oss si du vil ha en veldig god tilnærming, da vil du kanskje gjøre det med en million, at n er lik en million, som er et veldig stort tall. Da blir det færre regneoperasjoner i Python her nede enn der oppe, for her må du bare, tross alt, bare summere en million tall, men i den som står her må du summere to tall i slengen, og så skal du gjøre det en million ganger, og det betyr at du må summere to millioner ganger. Så det er noen nyanseforskjeller i hva som er mest effektivt hvis du har store tall. Hvis du bare summerer ti rektangler, så er det egentlig samme hvem av dem du bruker.
Quiz section 13
Hva påvirkes av valget av summemetode?
Fargen på plottet
Regneeffektiviteten
Funksjonens verdi
Quiz section 14
Quiz section 15
04:27
Teori 1
Bestemt integral - fundamentalteoremet.
05:44
Teori 2
Bestemte integraler - rektangelmetoden.
07:03
Teori 3
Denne videoen bygger videre på forrige teorivideo. Vi regner Riemann-summer (venstresummer) til funksjonen med n rektangler der n er [10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000].
03:34
Teori 5
Tilnærmingsverdier for bestemte integraler: Trapesmetoden gir oss gjennomsnittet av det vi får med rektangelmetoden, med venstretilnærming og høyretilnærming - Hvorfor det?
08:53
Teori 6
Riemann-summer i Geogebra (RektangelSum, SumOver, SumUnder og VenstreSum).
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.