VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
05:44
Teori 2
Bestemte integraler - rektangelmetoden.
Det bestemte integralet til en funksjon er arealet under grafen mellom to verdier, som mellom A og B. Og så er spørsmålet: Hvordan regner man ut det hvis vi har en graf?
Quiz section 0
Hva beskriver et bestemt integral generelt?
Arealet under en graf
Konstant hastighet
Summen av nullpunkter
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Hvordan i all verden skal vi klare å finne arealet mellom den kurven der og x-aksen? Det er spørsmålet, og det finnes egentlig to måter å gjøre det på som du må kunne.
Quiz section 1
Hvor mange metoder nevnes for å finne arealet under kurven?
4
3
2
Og den ene av de metodene skal vi se på her, og det kan vi kalle rektangelmetoden.
Quiz section 2
Hva kalles den tilnærmingsmetoden som brukes?
Sirkelmetoden
Parabelmetoden
Rektangelmetoden
Og det gir i utgangspunktet bare tilnærmingsverdier, men man kan gjøre den tilnærmingen veldig, veldig god.
Quiz section 3
Gir rektangelmetoden et eksakt eller tilnærmet resultat?
Ingen av delene
Tilnærmet
Eksakt
Det som er prinsippet her, er at vi foreløpig ikke vet hvordan vi skal finne det arealet. Men vi kan jo gå til noe som vi kjenner, og det vi kjenner er jo hvordan vi kan regne ut arealet av et rektangel. Så hvis vi kan splitte opp det arealet under, ja, eller hvis vi kan lage noen slike rektangler [..] dette her.
Quiz section 4
Hvilken kjent formel benyttes i denne metoden?
Volum av terning
Omkrets av sirkel
Areal av rektangel
Dele opp stykket mellom A og B for eksempel i fire like biter, slik som jeg har gjort her: en, to, tre, fire.
Quiz section 5
Hvordan deles intervallet mellom A og B i eksempelet?
I fire like biter
I to biter
I uendelig mange biter
Den første biten er den ene stykket der høyden på det første rektanglet går opp dit, så det vil være f av a, for a er x-verdien der.
Quiz section 6
Hva avgjør høyden på det første rektangelet?
Ingen bestemt faktor
A - B
f(A)
Hvis det nå er sånn at den x-verdien på neste.
Quiz section 7
Hvilken notasjon brukes for x-verdien i rektangel nr. i?
i_x
x_i
x^i
Stykke, for å si det sånn, her borte.
Quiz section 8
Brukes en ny x-verdi for hvert rektangel i metoden?
Av og til
Nei
Ja
Hvis den heter x i, da skal vi komme litt tilbake til hvorfor vi kommer ned, så vil jo funksjonsverdien der være f av x i. Det er liksom en slags teller, et slags tellesystem, og da er det jo sånn at.
Quiz section 9
Er funksjonsverdien ved x_i relevant for høyden i rektangel nr. i?
Bare i første rektangel
Nei
Ja
Vi har en bredde på det.
Quiz section 10
Hva kalles bredden av hvert rektangel?
X delta
Delta Y
Delta X
Rektangelet, og så har vi en høyde, og arealet av et rektangel er jo grunnlinjen eller bredden ganger høyden. Og bredden, hvis vi nå døper den bredden for Delta X.
Quiz section 11
Hvordan beregnes arealet av et rektangel i denne metoden?
Bredde ganger høyde
Areal av kvadrat
Høyde minus bredde
Så er det altså Delta X ganger høyden f av x i.
Quiz section 12
Hva multipliseres med f(x_i) for å få arealet av rektangel nr. i?
x_i
Delta X
A + B
Vi har skrevet noe her borte: del opp i n rektangler. Så i det tilfellet her har vi delt opp i n = fire (en, to, tre, fire) rektangler med samme bredde Delta X. Alle har den bredden. Summen av rektanglenes areal blir da summetegn fra i lik en til i lik fire, hvis vi skal være på den figuren her, til f av x i ganger Delta X. Også er poenget at i, vi kunne sagt at den her borte kunne vi kalle x1.
Quiz section 13
Hvilket matematisk symbol brukes for å summere rektangelarealene?
Integraltegn
Summetegn
Brøkstrek
Der er det egentlig x2, da, som det er i lik to. Her er vi på x3, og der er vi på x4, for det er den fjerde høyden. Vi trenger faktisk ikke en femte, for vi har bare delt i fire.
Quiz section 14
Hvilken indeks har det tredje rektangelet i eksempelet?
i=3
i=4
i=2
I det tilfellet vårt skal vi summere fra i lik en til i lik fire. Det som står der, for det som står der, er jo akkurat uttrykket for et enkelt areal.
Quiz section 15
Til hvilken i-verdi summerer vi i eksempelet med fire rektangler?
i=3
i=5
i=4
Da får vi en tilnærmingsverdi for arealet under grafen mellom A og B, og det er jo det bestemte integralet. Så vi får en tilnærmingsverdi, men se her nede. Her har vi delt opp ikke i fire, men i åtte.
Quiz section 16
Hva skjer med nøyaktigheten når antall rektangler øker fra fire til åtte?
Den øker
Den minker
Den forblir uendret
Åtte.
Quiz section 17
Hvor mange rektangler brukes i det nye eksempelet?
Seks
Åtte
Ti
Da blir hvert enkelt rektangel mye smalere. Men da kan vi si det sånn at det skraverte området der, det ligger på en måte slik at det blir bare litt igjen. For det ser vi jo, at det er jo noe som er feil her. Det ligger jo noe her oppe som vi ikke får tatt med, det ligger noe der som jeg heller ikke fikk tatt med, og der og der.
Quiz section 18
Hva skjer med bredden på rektanglene når antallet dobles?
Den forblir lik
Den dobles
Den halveres
Sånne greier har vi her nede også. Det er noe vi ikke får med.
Quiz section 19
Dekker rektanglene hele arealet under kurven helt nøyaktig?
Nei
Ja
Bare ved fire rektangler
Men nå er det faktisk litt mindre.
Quiz section 20
Blir forskjellen mellom tilnærmingen og det faktiske arealet større eller mindre med flere rektangler?
Mindre
Større
Uendret
Fordi at de smalere rektanglene kommer liksom tettere oppunder.
Quiz section 21
Hvorfor reduseres feilen når rektanglene er smalere?
Funksjonen endres
De blir høyere
De følger kurven tettere
Så hvis vi deler i åtti i stedet for fire, så blir det bedre. Og så legg merke til at bredden Delta X.
Quiz section 22
Kan man øke antallet rektangler for å bedre tilnærmingen?
Kun litt
Nei
Ja
Som vi har på hvert enkelt, er jo da avstanden mellom de to ytterpunktene delt på det antallet vi velger. Så her oppe var det B minus A delt på fire, og der nede blir det B minus A delt på åtte.
Quiz section 23
Hvordan bestemmes bredden Delta X?
(B - A) * antall rektangler
B + A
(B - A) / antall rektangler
Jo flere rektangler, jo bedre tilnærming, jo større n-verdi. Altså, hvis n er fire, så har vi det oppe, hvis n er åtte, så har vi det nede. Dette kan faktisk bli veldig bra hvis vi kunne gjort noe sånn som å dele opp i uendelig mange rektangler. Det kan du si at vi ikke klarer, det er jeg enig med deg i, men grenseverdien lim, hvis vi går til uendelig, slik at vi starter på det første og slutter på det uendelige, for da har vi laget masse, masse, masse sykt små, sykt smale rektangler. Da vil det faktisk bli en perfekt tilnærming, altså det blir ikke lenger en tilnærming. Da er vi på det bestemte integralet.
Quiz section 24
Hva skjer når antall rektangler går mot uendelig?
Summen nærmer seg det bestemte integralet
Summen blir uendelig
Ingenting
Så det er det metoden går ut på. Dette her er litt sånn som man kan øve på i noen eksempler også. Det skal vi gjøre.
Quiz section 25
Hva kalles denne rektangelbaserte metoden for å finne arealet under kurven?
Punktestimatet
Rombemodellen
Rektangelmetoden
Quiz section 26
Quiz section 27
04:27
Teori 1
Bestemt integral - fundamentalteoremet.
07:03
Teori 3
Denne videoen bygger videre på forrige teorivideo. Vi regner Riemann-summer (venstresummer) til funksjonen med n rektangler der n er [10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000].
04:28
Teori 4
Trapesmetoden - en mer nøyaktig tilnærming for arealet under en graf.
03:34
Teori 5
Tilnærmingsverdier for bestemte integraler: Trapesmetoden gir oss gjennomsnittet av det vi får med rektangelmetoden, med venstretilnærming og høyretilnærming - Hvorfor det?
08:53
Teori 6
Riemann-summer i Geogebra (RektangelSum, SumOver, SumUnder og VenstreSum).
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.