1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (5 poeng)
Deriver funksjonenea)
b)
c)
Oppgave 2 (4 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
Oppgave 3 (4 poeng)
Tre punkt , og er gitt.a) Bestem og
Et punkt er gitt slik atb) Bestem koordinatene til
Oppgave 4 (6 poeng)
Funksjonen P er gitt veda) Begrunn at er et vendepunkt på grafen til . b) Faktoriser i lineære faktorer. c) Løs likningen
Oppgave 5 (6 poeng)
a) Forklar at koordinatene til punktene , og er
, og
Skjæringspunktet mellom medianene i trekanten er T.b) Forklar at vi kan skrive på to måter:
der s og t er reelle tall.
c) Bruk vektorlikningene i oppgave b) til å bestemme s og t. Bestem koordinatene til T.
Oppgave 6 (4 poeng)
En fabrikk produserer lyspærer. Alle lyspærene blir kontrollert. I kontrollen blir 8,0 % av lyspærene forkastet. Nærmere undersøkelser viser at- 92,0 % av de forkastede lyspærene er defekte
- 2,0 % av de godkjente lyspærene er defekte
Oppgave 7 (7 poeng)
En rettvinklet der er gitt. Den innskrevne sirkelen har sentrum i og radius . Sirkelen tangerer trekanten i punktene , og . Vi setter , og . Du får oppgitt at og
a) Bruk figuren til å forklare at og
Av figuren ser vi dessuten atb) Vis at
c) Forklare at vi kan skrive arealet T av trekanten på to måter:
og
d) Bruk resultatene du fant i oppgavene b) og c) til å utlede Pytagoras' setning.
Oppgave 1 (6 poeng)
I en kortstokk er det 52 kort. Kortene er fordelt på de fire fargene hjerter, ruter, spar og kløver. Hver farge har 13 kort fordelt på verdiene 2 til 10, knekt, dame, konge og ess. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig fem kort fra kortstokken.a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med verdi 10.
b) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med samme verdi.
c) Bestem sannsynligheten for at alle kortene du kommer til å trekke, har samme farge.
Oppgave 2 (6 poeng)
Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt veda) Tegn grafen til når . b) Bestem fertsvektoren og akselerasjonsvektoren . c) Bruk CAS til å bestemme den minste banefarten til partikkelen.
Oppgave 3 (4 poeng)
a) Vis at
b) Bestem slik at blir lengst mulig.
Hvor lang er d for denne verdien av x ?
Oppgave 4 (8 poeng)
Funksjonen er gitt ved
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til .
Grafen til har tre tangenter som går gjennom punktet .b) Forklar at x-koordinaten til tangeringspunktene må være løsning av likningen
c) Bruk CAS til å løse denne likningen. Bestem likningen til hver av tangentene.
La være et punkt i planet.d) Hva er det maksimale antallet tangenter grafen til kan ha som går gjennom ?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på gjennomsnittlig vekstfart, og det har vi sett på allerede i en tidligere video. Men i denne videoen skal vi ha et funksjonsuttrykk å jobbe med. I dette tilfellet er f av x lik x i andre.
klikk her for 10 sekunders quiz
På toppen av tavla står det en del formler. Dette er standarduttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, delta y på delta x.
Det blir y to minus y en over x to minus x en, og så står det noe her borte som vi kan kommentere til slutt.
Tegn grafen for x mellom null og fem. Gjør en litt mer lettelse på det.
Skulle bare ta den mellom null og fire, og deretter finner gjennomsnittlig vekstfart mellom x = en og x = tre, og til slutt stikkord sekant.
Tegn grafen for x mellom null og fire. Da må vi fylle ut en tabell. x i andre er en ganske grei funksjon: null i andre blir null, en i andre blir en, to i andre blir fire, tre i andre blir ni og fire i andre blir seksten. Og så trenger vi ikke femmeren.
Og så har vi jukset litt, så vi har et koordinatsystem som passer for den funksjonen. Koordinatsystemet går fra null til seksten på y-aksen. Han setter på y der, og så er det x der. Da holder det med null til fire, så punktet null null.
Og så kommer en, en, og en. Det blir liggende nedi der et sted.
To, da var y lik fire. Skal vi se, det blir her omtrent. På tre er vi på ni, og det skulle være her omtrent.
Og på fire har vi seksten. Da må vi tegne en glatt kurve, så får vi den typiske parabelen.
Som er som kurven til andregradsfunksjoner.
Det var på en måte bare oppvarmingen. Her har vi da en graf. Finn gjennomsnittlig vekstfart mellom x = en og x = tre, og da er stikkordet å bruke delta y på delta x. Så da kan vi først regne ut delta i.
Og delta x hver for seg. Delta y er altså y to minus y en, som det het, og da snakker vi om det punktet når x er en.
Og når x er tre.
Og da trenger vi ikke gå inn på grafen. Nå kan vi jo like gjerne finne tallene i tabellen.
Når x var tre, så var y ni.
Så økningen i y blir ni minus y-verdien når x var en, som er en.
Og det svarer til y to minus y en. Legg også merke til at det svarer til funksjonsverdien.
Når x var [..]. Vi kan si at det vi har gjort er å ta f av tre minus f av en. Det er det vi på en måte har gjort. Men uansett, ni minus en er jo åtte.
Og delta x, når x starter på en og slutter på tre, da er det en økning på tre minus en, som er to.
Og da blir det.
Gjennomsnittlig vekstfart, delta y på delta x.
Åtte delt på to, som er fire.
Men når vi opererer med
En funksjon som heter f.
Det heter jo her oppe. I stedet for å si delta y kunne de like gjerne sagt delta f, for det er økningen i funksjonen. Det er egentlig sånn at de tingene som står på tavla her bare er alternative skrivemåter. Det er for så vidt ikke noe nytt å tenke på, bortsett fra at man ikke bør bli skremt av å se noe sånt.
Og så var stikkordet sekant. En sekant er en linje som skjærer gjennom en graf eller en kurve. Det vi er ute etter her er egentlig den sekanten som går fra der x = en til der x = tre. Så det blir den linja. Jeg skal gå foran her nå så jeg får litt mer nøyaktig, og det beste er å bruke en linjal selvfølgelig.
Så den linja jeg tegnet der, det er sekanten.
Til grafen.
Mellom, jeg skriver det, for det er litt viktig å være presis, [..] ikke gjennom x = tre.
Og hvis vi skulle funnet stigningstallet til den linja, så hadde vi gjort akkurat det samme. Da hadde vi også tatt delta y på delta x, og så hadde vi tatt to punkter, og de to punktene er jo akkurat de to punktene vi har brukt. Dermed ser vi at den gjennomsnittlige vekstfarten svarer til stigningstallet til sekanten.
Det er verdt å ha litt i bakhodet videre i det temaet vi er på nå.
a) Finn likningen for sirkelen.
b) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og koordinataksene.
c) Skisser sirkelen i et koordinatsystem
Avgjør om punktet ligger innenfor sirkelen.
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene
a) [0,5] b) [5,10] c) [10,15]
- Sentrum i sirkelen ligg på linja y = x
- Sentrum i sirkelen ligg like langt frå origo som frå punktet A(6 , 0)
- Origo og punktet A ligg begge på sirkelperiferien
a) Teikn sirkelen i eit koordinatsystem.
b) Bestem ei likning for sirkelen.
a) Finn en formel for beløpet B på kontoen etter x år.
b) Hva er saldoen etter 20 år?
c) Tegn grafen til B(x).
d) Finn grafisk når saldoen er doblet.
Riktig svar!
300 kr betales uansett hvor mange kilometer man kjører, og så legger man til 5 kroner for hver kilometer kjørt.
Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 16–74 år som røykte daglig i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012.
La x være antall år etter 2002. (La x = 0 svare til år 2002, x = 1 til år 2003, osv.)
- a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 2002 til 2012.
- b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025.
Riktig svar!
En brukbar modell er
Riktig svar!
Ja, fordi her er x en eksponent i funksjonen.
Løs likningen
Riktig svar!
Fra dette ser vi at , eller at: . Når vi løser dette:
Som gir oss: eller
Løs likningen
Riktig svar!
Hvilken av funksjonene er ikke en eksponentiell funksjon?
Riktig svar!
Her er x grunntallet i potensen.
Vi har en logistisk funksjon . Hvilken grenseverdi nærmer funkssjonen seg når x går mot uendelig?
Riktig svar!
Siden telleren blir 1.
Funksjonen kan skrives , der ..
Riktig svar!
Dette er en potensregel.
Vi har en logistisk funksjon . Hva blir ?
Riktig svar!
En populasjon blir beskrevet av en logistisk funksjon . Bæreevnen til populasjonen, er da det samme som
Riktig svar!
Fordi når x går mot uendelig vil nevneren gå mot 1.
Hva er IKKE riktig når det gjelder funksjonene og ?
Riktig svar!
Her vil det bli forskjell mellom eksponentene i f(x) og g(x) siden g(x) har -50x og f(x) har -5x.
Funksjonen kan skrives , der ..
Riktig svar!
nullerer hverandre ut.
Grafen til den deriverte til en logistisk funksjon har toppunkt i x = 10. Dette forteller at
Riktig svar!
Siden den deriverte viser hvor fort grafen stiger, og et toppunkt vil da vise hvor grafen stiger raskest.
Hvilken kommando gir logistisk regresjon i Geogebra?
Riktig svar!
Dette må man bare huske.
I geogebra kan man gjøre regresjon med kommandoene regeksp og regeksp2. Gir begge eksponentiell regresjon?
Riktig svar!
Det er forskjell i måten funksjonsuttrykket blir.
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 16–74 år som røykte daglig i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012.
La x være antall år etter 2002. (La x = 0 svare til år 2002, x = 1 til år 2003, osv.)
- a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 2002 til 2012.
- b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025.
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den
første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?
Bruker Geogebra og finner at den lineære funksjonen som passer best med de oppgitte data er :
y = 0,83x + 2,31
x er antall uker etter treningsstart.
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den
første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?
Avlesning av grafen i a viser at det skjer den niende treningsuken.
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den
første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?
Avlesning av grafen i a gir ca. 23 km.
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes x dager etter 31. mars,tilnærmet var gitt ved funksjonen
Her svarer til 31. mars, til 1.april, til 2 . april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai.
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag ?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai ?
c) Bestem
Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
f(16) forteller hvor mange "likes" det var 16. april, 162.
f\'(16) forteller om den momentane endringen denne dagen, en økning på ca 7 "likes".
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes x dager etter 31. mars,tilnærmet var gitt ved funksjonen
Her svarer til 31. mars, til 1.april, til 2 . april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag ?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai ?
c) Bestem
Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
80 personer, ettersom .
1,045 tilsvarerer en vekst på 4,5%.
Svaret blir da 80 personer og 4,5% vekst.
Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7 995 kroner.Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner.
- a) Forklar at dersom terminbeløpet er x kroner, så vil
Løs denne likningen
Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet. - b) Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken?Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8 107 kroner på kontoen.
- c) Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken.
Summen av alle innbetalinger ført fra til like etter den 12. innbetalingen danner en geometrisk
rekke med , som er det siste sparebeløpet hun nettopp har satt inn, n = 12 som er antall
ledd i rekken (antall sparebeløp) og hvor p er den ukjente sparerenten.
Vi vet at summen av rekken er lik kontobeløpet som er kroner 8107.
Jeg kan da løse følgende likning i GeoGebra
Elises månedlige sparerenten har vært på 0,7 %
Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7 995 kroner.Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner.
- a) Forklar at dersom terminbeløpet er x kroner, så vil
Løs denne likningen
Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet. -
b) Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken?
Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8 107 kroner på kontoen. - c) Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken.
Situasjonen blir tilsvarende situasjonen i a). Men nå er månedsbeløpene Frida betaler kroner 289 og vekstfaktorene setter jeg nå som den ukjente x.Likningen blir nå som vist ved CAS i GeoGebra
Vekstfaktoren er på 1,015. Det betyr at
Den månedlige bankrenten er på 1,5 %.
Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7 995 kroner.Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner.
- a) Forklar at dersom terminbeløpet er x kroner, så vil
Løs denne likningen
Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet. -
b) Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken?
Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8 107 kroner på kontoen. - c) Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken.
Jeg finner nå-verdiene av alle Fridas betalinger slik GeoGebrafiguren nedenfor illustrerer.
Summen av nå-verdiene må være lik kostprisen for PC-en pluss gebyret.
Da er
Venstre side av likningen danner en geometrisk rekke med og n = 36.
Summen av rekken er
Likningen blir da
Jeg løser likningen ved CAS i GeoGebra
De månedlige beløpene er på 295 kroner.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.