I denne videoen skal vi regne ut gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart knyttet til en funksjon og en graf, og vi skal prøve å merke oss noen viktige forskjeller mellom begrepet gjennomsnittlig vekstfart og begrepet momentan vekstfart. Stikkordet til det handler litt om er tangent og sekant.

Vi skal komme tilbake til det. Vi har allerede gjort litt, skrevet en del på tavla. Som du ser, vi har tegnet grafen til x i andre, f av x er lik x opphøyd i to. Jeg kan kanskje skrive det opp, at det er det vi har gjort.

Og den grafen er den svarte kurven. Den har flere ting.

Det ene er at vi har en blå strek som kanskje ikke er så veldig lett å se. Det er en sekant, og så har vi tegnet en tangent i punktet x er lik en, f av en. Det er den røde streken.

Gjennomsnittlig vekstfart, da må vi jo snakke om gjennomsnittet mellom to, mellom to tider eller mellom to x-verdier. Og her skal vi regne ut mellom x er lik en og x er lik to.

Og da er det jo slik at da ser vi her er grafen når x er en her nede, og så går jo grafen oppover da, og når x er blitt to så er y-verdien blitt fire, og det betyr at den endringen, vekstfarten om vi vil, er da delta y på delta x. Delta y det er da y-verdien der oppe, fire, minus y-verdien der nede, en, delt på x-verdien der oppe som er to, minus x-verdien der nede som er en. Og da ser vi at dette blir tre delt på en, som er tre.

Så den gjennomsnittlige vekstfarten, og det tilsvarer stigningstallet til den, unnskyld, til den blå rette streken fra det punktet her og til det punktet der. La oss si at det punktet her heter A da, og så heter det punktet der B.

Så det er den gjennomsnittlige vekstfarten.

Og her ser vi da delta y som var tre, og der ser vi delta x som var to minus en som er en. X har økt med en, mens y økte med tre.

Så har vi et spørsmål om å finne momentan vekstfart i x er lik en. Jeg har juksa litt. Se nå. Det er altså stigningstallet til tangenten, fordi det bør vi merke oss: momentan vekstfart er det samme som stigningstallet til tangenten, og tangenten den er den røde streken som akkurat toucher.

Grafen bare i ett punkt. Legg merke til at sekanten den hadde jo to steder hvor den krysset grafen på en måte. Tangenten den bare toucher i det ene punktet, så tangenten til grafen i x er lik en.

Grafen i x er lik en.

Men vi kan jo fortsatt se at den tangenten treffer her nede på null minus en, og så kan du lure på hvorfor vet jeg at det var der den traff.

Det er kanskje fordi jeg har jukset og tegnet denne funksjonen på GeoGebra, og også bedt om å tegne tangent, eller at jeg er veldig god til å tegne tangent fordi jeg har gjort det mange ganger før. Men det er faktisk en riktig tangent.

Hvis man skal bare ha en graf og skal tegne selv, så hender det man bruker øyemål, og da er det ikke sikkert man får akkurat den perfekte verdien, sånn som jeg faktisk har gjort nå.

Men da ser vi at vi har et punkt, tangenten er der. Men den er også her nede, det punktet er vi ikke på grafen, men det er fortsatt et punkt som heter null minus en, for det er kun punkt en en hvor den toucher grafen.

Og da blir delta y på delta x, det blir da en der oppe.

Minus y-verdien der nede som er minus en, delt på x-verdien en der oppe minus null som er x-verdien der, og da ser vi det blir to delt på en, som er to.

Så stigningstallet i tangenten er to, mot stigningstallet til sekanten, gjennomsnittlig vekstfart mellom A og B, som var tre. Og vi ser at sekanten er litt brattere, så det gir jo mening at tallet er tre.

Litt større enn tallet to, som var den momentane vekstfarten da.

Moralen med dette er egentlig bare å prøve å se for seg gjennomsnittlig vekstfart. Da snakker vi om to punkter, og da får vi en sånn linje som kalles en sekant. Stigningstallet til den er delta y på delta x, det er det alltid på en måte.

Men hva de verdiene er, det kommer jo an på hva linja er på en måte. Momentan vekstfart.

Stigningstallet til tangenten, og den var den vi fant her nede.