I denne videoen skal vi se på regelen for den deriverte til e opphøyd i x. Det er en veldig enkel regel å huske. e opphøyd i x derivert er lik e opphøyd i x.

Så den deriverte til e opphøyd i x er funksjonen selv.

Resten av denne videoen er at vi skal bevise den regelen. Det er kanskje ikke det du trenger å se på først, så hvis du ikke er interessert i det beviset, så bare stopp nå.

Men i alle fall, hvis du fortsatt er med oss, så skal vi nå se hvordan man kan bevise akkurat dette. Beviset bygger på den måten vi har definert den deriverte på. Det er en grenseverdi når delta x går mot null av delta f over delta x.

Da har vi en funksjon f av x lik e opphøyd i x. Vi sier også at den deriverte er lik grenseverdien når delta x går mot null av delta f over delta x. Da tar vi det i trinn. Først finner vi delta f, så finner vi brøken delta f over delta x, og til slutt tar vi grenseverdien.

Poenget med delta f er at det er det samme som f av x pluss delta x minus f av x.

Her har vi altså e opphøyd i x pluss delta x minus e opphøyd i x.

Når vi setter inn dette, ser vi at når det står pluss her, så kan vi splitte det ved hjelp av en potensregel.

Tall opphøyd i

x pluss delta x er altså to forskjellige tall i en sum. Da kan vi splitte det på denne måten. Det er en potensregel. Hvorfor gjør vi det? Jo, for da kan vi faktorisere og sette e opphøyd i x utenfor parentes. Da får vi det som står igjen inni her. Hvis du virkelig vil øve deg på dette beviset, må du nesten skrive litt selv også når du ser på videoen. Da blir du virkelig overbevist om at dette er riktig.

Så tar vi brøken delta f over delta x. Da er det bare å ta det som står der og dele på delta x. Det er det vi har gjort her. For enkelhets skyld har vi satt e opphøyd i x utenfor parentesen, med resten av brøken inni.

Grunnen til at jeg skriver den med svart og resten med rødt, er at e opphøyd i x er konstant når vi snakker om grenseverdien der delta x går mot null. Det er delta x som er variabelen. e opphøyd i x betyr bare at vi er på en bestemt x. Det som skal variere er delta x, for delta x skal etter hvert gå mot null. Da kan vi se at jeg bare setter e opphøyd i x utenfor, og så står vi igjen med grenseverdien som står her.

Så kommer cluet, nemlig at den grenseverdien

i seg selv er lik en. Det er ikke helt åpenbart i det hele tatt. Da ser vi videre her, fordi vi egentlig har grenseverdien når x går mot null av e opphøyd i x minus en delt på x.

Grenseverdien når x går mot null av e opphøyd i x minus en delt på x.

Og hvordan skal vi vise at den er lik en?

Det er nemlig det samme om vi har et argument som heter delta x overalt, eller om vi bare bruker x. Her kan vi bare kalle det x. Det er i seg selv slett ikke enkelt å bevise, så det har vi ikke tenkt å gjøre. Men vi kan tro på denne grenseverdien ved å teste noen verdier på kalkulator. Det tenkte jeg å gjøre nå.

e opphøyd i null komma en minus en

delt på null komma en. Det blir en komma null fem.

Cirka.

Det er ikke en, det er bare nesten. Men hvis det er en grenseverdi som faktisk er lik en, så håper jeg at det kommer litt nærmere en hvis vi reduserer x til null komma null en. Da prøver jeg det i stedet.

Skal vi se.

Dette er noe du gjerne kunne gjort selv.

Da blir det faktisk en god del mindre.

Det vil si, det blir ikke mye mindre, men det blir nærmere en.

Hvis vi prøver enda mindre nå.

Da blir det faktisk enda flere nuller. Da blir det en komma null null.

Null fem cirka. Vi sier at det begynner å nærme seg en, så kanskje vi tror på dette.

Ja, jeg tror vi sier at vi ikke har noe valg. Vi må tro på det.

Poenget er at vi da kan erstatte det som kommer ut der med tallet en. Da står det e opphøyd i x ganger en, og da har vi egentlig vist at den deriverte til funksjonen e opphøyd i x er e opphøyd i x.