VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Rekker
09:41
15:19
02:19
08:08
05:02
13:17
10:17
17:10
Algebra
45:37
21:34
34:11
13:04
11:32
Derivasjon II
26:41
18:36
17:11
25:26
22:27
Økonomiske modeller
39:26
07:43
07:18
09:09
Sannsynlighet
11:02
06:23
37:35
10:14
05:57
04:31
10:29
10:50
02:05
06:44
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonene
a)
b)
c)
Oppgåve 2 (5 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til f .
b) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til f.
c) Lag en skisse av grafen til f.
Oppgåve 3 (3 poeng)
a) Forklar at polynomet
Oppgåve 4 (3 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgåve 5 (3 poeng)
En rekke er gitt veda) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen Sn av rekken.
b) Bestem summen av den uendelige rekken
Oppgåve 6 (4 poeng)
En tallfølgea) Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.
b) Vis at leddene
c) Vis at
Oppgåve 7 (4 poeng)
Laa) Bestem et uttrykk for inntekten
b) Bestem et uttrykk for overskuddet
Oppgåve 8 (4 poeng)
I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 200 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst. La a være prisen en spiller må betale for ett spill, og X utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang.
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor
b) Hva bør kasinoet sette prisen a til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?
Oppgåve 9 (6 poeng)
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Levetiden X til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.
b) Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn x timer. Bestem x.
c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X ? Begrunn svaret.
Oppgåve 1 (8 poeng)
Maria trener på et apparat i et treningssenter. La f(x) være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, x minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen f er gitt ved
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til
b) Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min. Det samlede energiforbruket E, målt i kilojoule (kJ), i de første t minuttene av treningen er gitt ved
c) Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.
d) Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.
Oppgåve 2 (8 poeng)
I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen. I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år. Menn:
Kvinner:
a) Lag lineære modeller f og g for farten til menn og kvinner. La x være antall år etter 1900.
b) Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene? Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på 5,72 m/s, mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på 5,01 m/s.
c) Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene? En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp x år etter 1900 er gitt ved:
d) Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.
Oppgåve 3 (4 poeng)
Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år. Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.a) Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?
b) Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?
Oppgåve 4 (4 poeng)
Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner. Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene.
Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kJ) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.
Vedlegg 1 Standard normalfordeling
Tabellen viser 
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
02:27
Teori 1
Kostnadsoptimal produksjonsmengde.
I denne videoen skal vi se på definisjonen av kostnadsoptimal produksjonsmengde. Jeg måtte nesten lese for å huske navnet kostnadsoptimal produksjonsmengde.
Quiz section 0
Hva er kostnadsoptimal produksjonsmengde?
Mengden som gir lavest enhetskostnad
Mengden som gir høyest enhetskostnad
Mengden som gir ingen kostnad
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og nå er vi i økonomi, og da kan vi tenke oss at vi har en kostnadsfunksjon som heter K av X, og det er jo kostnaden når vi produserer X enheter.
Quiz section 1
Hva beskriver K(X)?
Kostnaden ved å produsere X enheter
Inntekten ved salg av X enheter
Antall produserte enheter
Og så har vi noe som heter enhetskostnad, og det er at du tar den kostnaden og deler på antall produserte, så det blir K av X delt på X.
Quiz section 2
Hva er enhetskostnad?
Kostnad delt på antall enheter
Kostnad ganger antall enheter
Kostnad minus antall enheter
Da får du kostnaden per produsert enhet. Og så er det slik at kostnadsoptimal produksjonsmengde rett og slett er den produksjonsmengden, altså det antallet X, som gir lavest enhetskostnad.
Quiz section 3
Hva kjennetegner mengden med lavest enhetskostnad?
Den gir ingen kostnad
Den gir høyest enhetskostnad
Den er kostnadsoptimal
Det er definisjonen. Her nede står det en liten observasjon, og den skal vi se mer på i neste video faktisk. Men det vil være slik at den X-verdien som gjør at linja fra origo til punktet X [..]
Quiz section 4
Hvilken geometrisk egenskap er knyttet til kostnadsoptimal produksjonsmengde?
Kostnadsfunksjonen krysser X-aksen
En linje fra origo er tangent til kostnadsfunksjonen
Kostnadsfunksjonen har et maksimumspunkt
Blir tangent til grafen til K av X i punktet. Og hva mener jeg med det? Jo, jeg mener at hvis vi tenker oss at vi har en kostnadsfunksjon. Jeg skal gjøre den litt tydeligere. Her har vi en kostnadsfunksjon.
Quiz section 5
Hva betyr det at en linje er tangent til en graf?
Den berører aldri grafen
Den berører grafen i ett punkt
Den krysser grafen i flere punkter
Sannsynligvis er den ikke definert for negative tall, forresten. Sånn, og da ser vi det koster visst mye bare å kjøpe maskiner, sånn at du får laget disse greiene her. Men så stiger kostnaden.
Quiz section 6
Hva innebærer det at kostnadsfunksjonen ikke er definert for negative tall?
Man kan ikke produsere et negativt antall enheter
Negative enheter gir lavere kostnad
Negative enheter gir høyere kostnad
På et eller annet vis.
Quiz section 7
Øker kostnader vanligvis med produksjonsmengden?
Bare ved spesielle tilfeller
Ja
Nei
Og da er det faktisk sånn, merkelig nok, at det stedet på grafen hvor du kan sette en prikk og så lage en linje fra origo til punktet, at den prikken faktisk blir en tangent.
Quiz section 8
Hva kjennetegner punktet der linjen fra origo er tangent til kostnadsfunksjonen?
Det gir kostnadsoptimal produksjonsmengde
Det gir ingen produksjon
Det gir høyest enhetskostnad
Da har du funnet, eller på det stedet er det du har den kostnadsoptimal produksjonsmengden. Så for eksempel, hvis vi prøver her, setter et punkt her og tegner fra origo opp, så går den igjennom. Det er ikke en tangent. Det er ikke en tangent. Men akkurat bort dit, så ser vi at det blir en tangent.
Quiz section 9
Hva betyr det om linjen fra origo krysser kostnadsfunksjonen i stedet for å være tangent?
Produksjonsmengden er kostnadsoptimal
Produksjonsmengden er ikke kostnadsoptimal
Kostnadsfunksjonen finnes ikke
Hvorfor det er sånn, det kan vi se på i neste video.
Quiz section 10
Får vi en forklaring på tangent-egenskapen i denne videoen?
Nei, det kommer i neste video
Ja, detaljert i denne videoen
Ja, men uten sammenheng
Quiz section 11
Quiz section 12
03:24
Teori 2
Kostnadsoptimal produksjonsmengde og grafen til k(x).
01:49
Teori 3
Grensekostnad.
01:35
Teori 4
Grensekostnad - talleksempel.
a) Finn grensekostnaden ved 400 produserte enheter, ved å bruke definisjonen
b) Finn grensekostnaden ved derivasjon.
a) Finn grensekostnaden ved 400 produserte enheter, ved å bruke definisjonen
b) Finn grensekostnaden ved derivasjon.
09:59
Teori 5
Vi ser på den kostnadsoptimale produksjonsmengden i Geogebra.
02:03
Teori 6
Grensekostnad i Geogebra
a) Finn grensekostnaden ved 400 produserte enheter, ved å bruke definisjonen
b) Finn grensekostnaden ved derivasjon.
05:22
Teori 7
Grensekostnad og kostnadsoptimal produksjonsmengde: enhetskostnaden er minst når den er lik grensekostnaden.
Hva er kostnadsoptimal produksjonsmengde?
00:00
Hva beskriver K(X)?
00:13
Hva er enhetskostnad?
00:25
Hva kjennetegner mengden med lavest enhetskostnad?
00:35
Hvilken geometrisk egenskap er knyttet til kostnadsoptimal produksjonsmengde?
00:57
Hva betyr det at en linje er tangent til en graf?
01:14
Hva innebærer det at kostnadsfunksjonen ikke er definert for negative tall?
01:30
Øker kostnader vanligvis med produksjonsmengden?
01:44
Hva kjennetegner punktet der linjen fra origo er tangent til kostnadsfunksjonen?
01:47
Hva betyr det om linjen fra origo krysser kostnadsfunksjonen i stedet for å være tangent?
02:00
Får vi en forklaring på tangent-egenskapen i denne videoen?
02:22
Når kostnadsfunksjonen er K(x), hva er da enhetskostnaden?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Fordi x er antall enheter, så vil man finne enhetskostnaden ved å dele den totale kostnaden på antall enheter.
Du tegner grafen til kostnadsfunksjonen, K(x) og markerer et vilkårlig punkt (x, K(x)) på grafen. Deretter tegner du en rett linje fra origo og ut til punktet (x, K(x)) . Stigningstallet til denne linja vil da være lik?
Riktig svar!
Fordi de krysser hverandre i E(x) = K\'(x)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hvorfor trenger ikke grensekostnaden K\'(10) være eksakt like mye som det kostnaden øker når x vokser fra 10 til 11?
Riktig svar!
Siden grafen ikke er en rett linje, vil ikke grafen følge tangenten, bare i ett spesifikt punkt.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi tegner grafen til en kostnadsfunksjon, K(x) og markerer punktet P(x,K(x)). Deretter tegner vi linja fra origo og ut til P. Hva forteller det at denne linja er minst bratt der hvor den er tangent til K(x)?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden stigningstallet til linja opp til P er stigningstallet til enhetskostnaden E(x), så når den er en tangent betyr det at det er den deriverte.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi har en kostnadsfunksjon K(x). Hvordan finner vi IKKE grensekostnaden ved 10 produserte enheter?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Her finne man ikke grensekostnaden, men heller hvor mye grensekostnaden endrer seg ved å produsere en mer enhet, altså den dobbeltderiverte.
Enhetskostnaden er minst når den er lik
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Den der minst når
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er p kroner per enhet, får de solgt x enheter av varen slik tabellen viser.
- a) Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk p(x) for prisen p. Bruk dette til å bestemme et uttrykk for inntektsfunksjonen .
Bedriften har funnet ut at kostnadene K(x) (målt i kroner) ved produksjon og salg av x enheter er gitt ved
- b) Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3 000 enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.
- c) Løs ulikheten l^{\'}(x) > K^{\'}(x). Hva forteller svaret oss?
- d) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?
Se løsning og registrer oppgaven
Jeg definerer K(x) og I(x) i CAS i GeoGebra. Grensekotnadene ved produksjon av 3000 enheter er kroner 195 og grenseinntektene er kroner 900. Det koster altså 195 kroner å produsere én ekstra enhet, men det gir en ekstra inntekt på 900 kroner. Bedriften bør altså øke produksjonen.
En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er p kroner per enhet, får de solgt x enheter av varen slik tabellen viser.
- a) Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk p(x) for prisen p. Bruk dette til å bestemme et uttrykk for inntektsfunksjonen .
Bedriften har funnet ut at kostnadene K(x) (målt i kroner) ved produksjon og salg av x enheter er gitt ved
- b) Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3 000 enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.
- c) Løs ulikheten . Hva forteller svaret oss?
- d) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?
Se løsning og registrer oppgaven
Jeg løser ulikheten ved CAS i GeoGebra
Inntektene ved å produsere én ekstra enhet er større enn utgiftene ved å produsere én ekstra enhet så lenge produksjonen er under 4339 enheter. Det lønner seg altså å øke produksjonen så lenge produksjonen er under 4339 enheter.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.