1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
klikk her for 10 sekunders quiz
a) Finn koordinatene til skjæringspunktene med x- y- og z-aksen.
b) Finn en normalvektor til planet.
b) Finn likningen for skjæringslinja mellom de to planene.
Riktig svar!
Hvis de er parallelle får man bare gå langs én linje.
Riktig svar!
Siden normalvektoren vil da stå 90 garder på planet, og da også punktet.
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
-
a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . -
c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Riktig svar!
\displaystyle \begin{align*} \vec{n}_{\alpha} & = \vec{AB} \times \vec{AC} \\\
& = [(-1)(-2) - (-1)0, - (-2)(-2) - (-1)(-1), (-2)0 - (-1)(-1)] \\\
& = [2,-3,-1]\end{align*}
\displaystyle\begin{align*} \alpha: 2(x-4) -3(y-3) - (z-1) & = 0 \\\
2x - 8 - 3y + 9 - z + 1 & = 0 \\\
2x - 3y - z + 2 & = 0 \end{align*}
En kuleflate er gitt ved likningen
-
a) Vis at punktet ligger på kuleflaten.
-
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
- c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet P.
Riktig svar!
planet som tangerer i
\displaystyle\begin{align*} (x-2) + 2(y-3) + 2(z-5) & = 0 \\\
x - 2 + 2y - 6 + 2z - 10 & = 0 \\\
x + 2y + 2z & = 18\end{align*}
Riktig svar!
Siden da er det den minste vinkelen mellom planene.
Riktig svar!
Ja siden z-aksen står normalt på xy-planet.
Riktig svar!
Den linjen man ser i koordinatsystemet med bare x- og y-aksene går uendelig langt inn og ut av arket som et plan.
Riktig svar!
Hvis to linjer skjærer hverandre får man et punkt. Ser man de to linjene som plan vil det punktet bli strukket ut like langt som planene, altså bli til en linje.
Riktig svar!
Det er slik man gjøre det.
Riktig svar!
Hvis man tar vektorproduktet av hvilken som helst av de, så får man noe som er parallelt med den oppgitte normalvektoren.
Riktig svar!
Her kan man skrive det som (x - 1)(x - 1).
Riktig svar!
Siden kvadratroten av 4 er 2.
Riktig svar!
Da får man to deler og en sirkelflate der hvor kulen blir skjært.
En kuleflate er gitt ved likningen
a) Vis at punktet P(4, 1, 2) ligger på kuleflaten.
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
c) Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet P.
Riktig svar!
Et plan kan beskrives med en normalvektor og et punkt på planet.
Normalvektoren i dette tilfellet er vektoren fra sentrum til punkt
altså:
Da er likning for planet , altså
En kuleflate er gitt ved likningen
a) Vis at punktet P(4, 1, 2) ligger på kuleflaten.
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
c) Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet P.
Riktig svar!
>br />
Sentrum i S(1, -3,2) og radius r = 5.
En kuleflate er gitt ved likningen
-
a) Vis at punktet ligger på kuleflaten.
- b) Bestem sentrum og radius til kulen.
-
c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet P.
Riktig svar!
\displaystyle\begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 6z + 2 & = 0 \\\
x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 - 6z & = -2 \\\
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 6z + 9 & = -2 + 1 + 1 + 9 \\\
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 & = 3^2\end{align*}
sentrum: og radius:
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Setter inn i CAS og finner avstanden med "Avstand(Punkt, Objekt)". Setter deretter inn den gitte funksjonen og ser om de er like med "==".
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Setter inn i CAS og bruker "Avstand(Punkt, Objekt)".
Dette er avstanden fra kulens sentrum til planet. Den korteste avstanden er da .
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at
Kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
Et plan er gitt ved likningen
c) Vis at
Avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem eksakte verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
For at en kule og et plan skal tangere så må den korteste distansen mellom sentrumet til kulen og planet være lik radiusen til kulen. Bruker funksjonen vi fikk fra oppgave c i CAS til å finne hvilke t som gjør at kulen tangerer flaten.
Punktene og er gitt.
a) Bestem . Bestem arealet av
b) Punktene A, B og C ligger i et plan . Bestem likningen for planet .
c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer .
Vi setter punktet C og normalvektoren inn i likningen for et plan og finner likningen for planet
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
- a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . -
c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Setningen forteller at punktene og bestemmer entydig et plan kun hvis punktene ikke ligger langs en rett linje.
\displaystyle\begin{align*}\vec{AB} & \neq k \cdot \vec{AC}\ , \ k \in \mathbb{R} \\\
\vec{AB} & = [2-4,2-3,0-1] = [-2,-1,-1] \neq k \cdot\vec{AC} = k \cdot [1-2,2-2,-2-0] = k \cdot [-1,0,-2]\end{align*}
Hvilket skulle vises.
Punktene og er gitt.
a) Bestem ved regning vektorproduktet
b) Forklar at C ligger på linjen gjennom A og B.
c) Bestem en likning for planet gjennom A, B og C.
d) Avgjør om punktet D(2, 2, 3) ligger i .
Punktet D ligger ikke i planet
Vi har gitt punktene , og
a) Vis at punktene ligger i planet gitt ved:
En linje står normalt på og går gjennom .
b) Bestem en parameterframstilling for
En kuleflate tangerer i .
c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen:
, for en
Punktet ligger på kuleflaten.
d) bestem sentrum til kuleflaten.
Putter inn koordinatene fra punktene inn i likningen for planet og ser om det går opp.
For punkt
Ligger i planet
For punkt
Ligger i planet
For punkt
Ligger i planet
Da er det vist at punktene ligger i planet.
Planet
-
a) Vis at punktet ikke ligger i planet .
En linje går gjennom P slik at . -
b) Bestem en parameterframstilling for .
-
c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom og .
-
d) Bestem avstanden fra P til .
Punktet ligger ikke i planet kun dersom punktets koordinater ikke tilfredstiller likningen til planet.
punktet ligger ikke i planet .
En kuleflate er gitt ved likningen
a) Vis at punktet P(4, 1, 2) ligger på kuleflaten.
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
c) Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet P.
Punktet P tilfredsstiller likninga for kuleflaten.
Punktene og ligger på en kuleflate slik at er en diameter til kuleflaten
a) Vis at kuleflaten er gitt ved likningen
Planet er gitt ved
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten og planet .
et plan er gitt ved likningen
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kulefalten og er gitt ved
d) Bestem ekste verdier for t slik at planet tangerer kulefalten
Setter inn i CAS. Finner sentrumet og bruker "Kule(Punkt, Punkt)".
Vi har gitt punktene , og
a) Vis at punktene ligger i planet gitt ved:
En linje står normalt på og går gjennom .
b) Bestem en parameterframstilling for
En kuleflate tangerer i .
c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen:
, for en
Punktet ligger på kuleflaten.
d) bestem sentrum til kuleflaten.
Siden kuleflaten tangerer så betyr det at radiusen og planet står normalt på hverandre, altså
Det vil videre si at radiusen og normalvektoren til er parallelle. Kuleflaten tangerer i , og siden linjen gjennom med retningsvektor er linjen , så er sentrumet til kuleflaten ligger på linjen .
Avstanden fra til er radiusstørrelsen . Det vil si:
Bruker så likning for kuleflate og får at:
Det er det vi skulle vise og oppgaven er da ferdig.
En kuleflate er gitt ved likningen
- a) Vis at punktet ligger på kuleflaten.
-
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
-
c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet P.
punktet ligger på kulen.
Vi har gitt punktene , og
a) Vis at punktene ligger i planet gitt ved:
En linje står normalt på og går gjennom .
b) Bestem en parameterframstilling for
En kuleflate tangerer i .
c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen:
, for en
Punktet ligger på kuleflaten.
d) bestem sentrum til kuleflaten.
Vet at distansen mellom og sentrumet er lik radiusen .
Setter inn for og opphøyer i andre på begge sider.
Løser ut.
Setter inn for t og får
Sentrum til kuleflaten er
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.