VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Følger og rekker
07:59
21:40
10:59
28:08
36:09
43:52
20:59
28:33
28:45
49:28
Integralregning
07:38
08:24
01:11
07:52
30:41
10:26
04:27
34:04
28:47
13:11
20:05
Integrasjonsmetoder
15:05
09:24
21:10
08:40
16:57
09:55
23:29
27:42
07:34
07:31
Vektorer
02:35
03:31
07:57
03:14
41:39
15:07
17:35
34:30
14:04
12:49
59:28
30:16
37:45
11:48
27:40
16:06
Trigonometri
19:21
08:45
21:24
03:26
13:21
09:44
03:30
11:22
03:06
15:54
19:22
17:23
Funksjoner og kurver
13:18
05:28
39:37
13:44
07:04
14:29
04:15
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
03:51
Teori 5
Hvorfor er ?
I denne videoen er spørsmålet: Hvorfor er det sånn at det bestemte integralet fra b til a av f av x dx er det motsatte, altså minus, integralet fra a til b av f av x dx?
Quiz section 0
Hva skjer når integrasjonsgrensene bytter plass?
Integralets verdi dobles
Fortegnet blir motsatt
Ingenting endres
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Det bestemte integralet, når vi har det på vanlig måte fra a til b, er definert som arealet avgrenset av grafen til f av x, x-aksen og linjene x lik a og x lik b, slik som vi ser der.
Quiz section 1
Hva representerer et bestemt integral?
Lengden av grafen
Grafens toppunkt
Arealet mellom grafen og x-aksen
Men,
Quiz section 2
da burde vel integralet fra b til a av f av x dx bety akkurat det samme. Fordi, hvis vi nå prøver å lese definisjonen ut ifra det som står med rødt her, så blir det altså arealet avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x lik b og x lik a. Så det blir bare motsatt rekkefølge på siste setningen der, og da skulle man jo tro det var akkurat det samme arealet vi snakker om.
Quiz section 3
Hva skjer med integralet når grensene snus?
Det blir alltid null
Det får motsatt fortegn
Det blir uendret
Men det er litt sånn at den definisjonen her er litt upresis, selv om den er nyttig for å forstå integralkonseptet. Så er det noe upresist med den definisjonen der. For eksempel tar den ikke hensyn til om grafen ligger over eller under x-aksen. For det viser seg jo at hvis grafen er under x-aksen, så blir integralet negativt, selv om arealet i seg selv er positivt.
Quiz section 4
Hva mangler den enkle definisjonen av integraler?
Funksjonens toppunkt
Antall intervaller
Hensyn til grafens plassering over/under x-aksen
[..]
Quiz section 5
Men hvis vi nå tar utgangspunkt i at det bestemte integralet også kan knyttes til en såkalt arealfunksjon, og dette har vi sett i noen andre videoer, der ser vi en sånn arealfunksjon, A av x. Avhengig av hvor x er, så blir det arealet større da.
Quiz section 6
Hva beskriver en arealfunksjon?
Lengden på grafen
Arealet som vokser med x-verdien
Grafens høyeste verdi
Da er det sånn at integralet fra a til b av f av x dx blir arealfunksjonen i b minus arealfunksjonen i a.
Quiz section 7
Hvordan kan integralet fra a til b uttrykkes?
Arealfunksjon i a pluss arealfunksjon i b
Arealfunksjon i a ganger arealfunksjon i b
Arealfunksjon i b minus arealfunksjon i a
Og vi kan illustrere det også. Hvis du følger litt med nå, skal jeg endre litt på bildet. Der ser du arealet, arealfunksjonen A og B. Arealet er fra venstre og fram til verdiene der.
Quiz section 8
Hva viser differansen mellom arealfunksjonene?
Integralets grenseverdier
Totalarealet under hele grafen
Arealet mellom punktene a og b
Og det må jo bety at der har vi differansen, det du ser nå. Det var jo nettopp det arealet vi snakket om.
Quiz section 9
Men hvis vi tar utgangspunkt i det som står der, hvis vi tar det som en slags definisjon, det som står inne i boksen der, så vil jo det implisere at hvis du bytter om a og b
Quiz section 10
Hva skjer når grensene a og b byttes i integralet?
Integralverdien skifter fortegn
Integralverdien forblir uendret
Verdien øker alltid
på toppen og bunnen av integrasjonssymbolet, så må vi også bytte om a og b her. Da står det A av a minus A av b isteden, og det er faktisk ikke det samme,
Quiz section 11
fordi
Quiz section 12
A av a minus A av b, det er det motsatte av A av b minus A av a.
Quiz section 13
Hva betyr "det motsatte" i integralregning?
Verdien får motsatt fortegn
Verdien blir alltid null
Integralets verdi dobles
Med det motsatte mener jeg motsatt fortegn, altså minus. Vi kan ta et konkret talleksempel bare for å forstå akkurat det som står her. Sju minus seks, det er jo én. Men seks minus sju, det er minus én. Så du ser at når du bytter om rekkefølgen på disse tallene, så lenge det er minus mellom, så får du det motsatte fortegnet som resultat.
Quiz section 14
Hva skjer når rekkefølgen byttes ved subtraksjon?
Resultatet forblir det samme
Resultatet blir alltid null
Resultatet får motsatt fortegn
Og derfor ender vi opp med
Quiz section 15
at det blir et minustegn når vi tar integralet fra b til a istedenfor integralet fra a til b. Så det betyr at disse to integralene vil ha motsatt fortegn. Hvem av dem som er positiv kommer jo an på om grafen ligger under x-aksen.
Quiz section 16
Hva bestemmer integralets fortegn?
Grafens posisjon i forhold til x-aksen
Integralets høyde
Funksjonens bredde
Quiz section 17
Quiz section 18
02:03
Teori 1
Bestemt integral - arealet under en graf.
10:10
Teori 2
Numerisk integrasjon - bestemte integraler - i python.
Vi lærer hva som menes med en Riemann-sum, og regner Riemann-summer til funksjonen med 10 rektangler.
05:44
Teori 3
Bestemte integraler - rektangelmetoden.
08:53
Teori 4
Riemann-summer i Geogebra (RektangelSum, SumOver, SumUnder og VenstreSum).
Hva beskriver et bestemt integral generelt?
00:00
Hvor mange metoder nevnes for å finne arealet under kurven?
00:17
Hva kalles den tilnærmingsmetoden som brukes?
00:33
Gir rektangelmetoden et eksakt eller tilnærmet resultat?
00:40
Hvilken kjent formel benyttes i denne metoden?
00:47
Hvordan deles intervallet mellom A og B i eksempelet?
01:13
Hva avgjør høyden på det første rektangelet?
01:23
Hvilken notasjon brukes for x-verdien i rektangel nr. i?
01:34
Brukes en ny x-verdi for hvert rektangel i metoden?
01:39
Er funksjonsverdien ved x_i relevant for høyden i rektangel nr. i?
01:42
Hva kalles bredden av hvert rektangel?
01:59
Hvordan beregnes arealet av et rektangel i denne metoden?
02:02
Hva multipliseres med f(x_i) for å få arealet av rektangel nr. i?
02:19
Hvilket matematisk symbol brukes for å summere rektangelarealene?
02:25
Hvilken indeks har det tredje rektangelet i eksempelet?
03:01
Til hvilken i-verdi summerer vi i eksempelet med fire rektangler?
03:17
Hva skjer med nøyaktigheten når antall rektangler øker fra fire til åtte?
03:29
Hvor mange rektangler brukes i det nye eksempelet?
03:49
Hva skjer med bredden på rektanglene når antallet dobles?
03:51
Dekker rektanglene hele arealet under kurven helt nøyaktig?
04:15
Blir forskjellen mellom tilnærmingen og det faktiske arealet større eller mindre med flere rektangler?
04:19
Hvorfor reduseres feilen når rektanglene er smalere?
04:22
Kan man øke antallet rektangler for å bedre tilnærmingen?
04:27
Hvordan bestemmes bredden Delta X?
04:35
Hva skjer når antall rektangler går mot uendelig?
04:49
Hva kalles denne rektangelbaserte metoden for å finne arealet under kurven?
05:35
Hva beskriver et bestemt integral?
00:00
Hva vil vi finne mellom a og b?
00:05
Vises utregningsmetoden her?
00:35
Hva kalles arealet under f(x) mellom a og b?
00:40
Hva viser integraltegnet med grenser?
00:53
Hvilket symbol brukes for integral?
01:06
Hva kalles dette s-formede tegnet?
01:16
Hva plasseres nederst og øverst på integraltegnet?
01:22
Hva skjer når integrasjonsgrensene bytter plass?
00:00
Hva representerer et bestemt integral?
00:19
Hva skjer med integralet når grensene snus?
00:40
Hva mangler den enkle definisjonen av integraler?
01:05
Hva beskriver en arealfunksjon?
01:34
Hvordan kan integralet fra a til b uttrykkes?
01:53
Hva viser differansen mellom arealfunksjonene?
02:02
Hva skjer når grensene a og b byttes i integralet?
02:29
Hva betyr "det motsatte" i integralregning?
02:55
Hva skjer når rekkefølgen byttes ved subtraksjon?
03:04
Hva bestemmer integralets fortegn?
03:35
Kan produktet tolkes som et areal ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden det er to "lengder" i et koordinatsystem ganget med hverandre.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi har en funksjon f, som er positiv i hele intervallet mellom a og b. Det bestemte integralet kan tolkes som
Riktig svar!
Siden alt er over x -aksen så er det ikke nødvendig å dele opp i flere ledd.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Regn ut integralene
a)
b)
c)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Figuren viser grafene til funksjonene F og f .
Det er gitt at F\'(x)=f(x)
a) Bruk figuren til å bestemme F\'(4)
b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Bestem integralene
a)
b)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Figuren viser grafene til funksjonene F og f .
Det er gitt at F\'(x)=f(x)
a) Bruk figuren til å bestemme F\'(4)
b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Funksjonen er gitt ved
Rektangelet er gitt ved at
, der
- er origo
- er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til og x-aksen
- er toppunktet på grafen til
Vis at arealet av det fargelagte området utgjør av rektangelets areal.
Se løsning og registrer oppgaven
Rektangelets areal er
Arealet av det blå området er integralet av funksjonen mellom 0 og a.
Forholdet mellom det blå området og rektangelet er da:
Funksjonen er gitt ved
\ \ f(x) = \frac{1}{x^2}</p></br> <p>a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at</p></br> <a href="https://s3-us-west-2.amazonaws.com/mattevideoimages/2020/04/04141644/pt2032019.png"><img src="https://www.mattevideo.no/wp-content/uploads/2020/04/pt2032019.png" alt="" width="572" height="247" class="align\right size-full wp-image-16781" /></a> <p>[latex] \ \ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{^2} + \frac{1}{^2} + \cdots + \frac{1}{^2} \leq 1 + \integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2} dx} \ , \sapce k \in \mathbb{N}
Vi skal nå se på den uendelige rekken
b) bruk resultatet fra a) til å begrunne at
c) bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for .
Se løsning og registrer oppgaven
Rektanglene under grafen gir en tilnærming for arealet under hele grafen. Rektanglene etter den røde boksen er en oppdeling fra 1 til k, altså en tilnærming for integralet av funksjonen fra 1 til k:
Siden det er tydelig at det samlede arealet til rektanglene er mindre enn hele integralet så får man:
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.