Vi skal nå se på formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke. Den formelen står her: Sn er lik A1, første ledd, gang kvotienten opphøyd i ente minus én, delt på kvotienten minus én.

Kvotienten nevnte jeg altså; vi trekker fra én der nede. Bruken av formelen skal vi øve på i noen andre videoer. Nå vil vi bare bevise den formelen, for det beviset er litt snedig, for å si det sånn.

Det står egentlig i tre trinn. Først så skriver vi bare opp hvordan summen av de n første leddene blir. Det må jo bli:

A1.

Det var første ledd.

Så kommer andre ledd, det blir A1 ganger k.

Og det neste leddet blir A1 ganger k i andre, og sånn fortsetter vi helt ut til A1 ganger k opphøyd i n minus én. Det er jo formelen for ente ledd.

[..] Og så kommer et lurt triks som noen har funnet på: Vi kan ta Sn og gange med k.

Da får vi:

A1, k,

og så får vi, for det blir jo ganger k der, da blir det A1 k i andre der. Sånn fortsetter det, og når vi kommer til nest siste ledd, som jeg kanskje ikke har skrevet opp der, så blir det A1 ganger k i n minus én.

Og så kommer det leddet der,

A1 ganger k i n minus én ganger k, det blir A1 k i n-te. Nå har jeg gjort noe litt rart her; jeg har skrevet alle leddene med rødt unntatt det og det.

Og så tar vi bare den ligningen som står her minus den ligningen som står der. Og hva betyr det? Jo, det betyr at vi skal ta den minus den, og det blir jo:

Sn ganger k minus Sn. Ja, sånn.

Men hva skjer når vi tar alt det minus alt det?

Jo, da kommer poenget med de fargene, fordi det som står der, A1 k, det står også her oppe, så hvis vi tar det og trekker fra det, så forsvinner det jo.

Og hvis du tar den minus den, så forsvinner det. Alt forsvinner unntatt det blå.

Og det betyr at hvis vi tar den linjen nederst minus den øverste, så da blir den positiv, for den A1 k i n-te var den vi skulle trekke fra her oppe, minus A1, og alt det andre ble borte.

Og så kan vi faktorisere litt,

fordi hva er det vi driver med nå? Vi har jo en plan her, og det er å prøve å finne en formel for Sn. Så dette er faktisk en ligning der Sn er ukjent. Derfor må vi faktorisere litt, og da blir det sånn,

fordi Sn er jo en faktor i begge de leddene der. Siden vi ønsker en litt sånn flott formel, så kan vi også faktorisere på høyresiden. Nå gidder jeg ikke skrive med blått lenger. A1 er jo et ledd som er felles i begge ledd, og da får vi k i n-te minus én.

Og da gjenstår det bare å dele på k minus én. Det gjør vi bare sånn.

Og det er jo akkurat det som står der oppe. Riktignok står A1 oppe i brøken der og foran brøkstreken der, men det spiller jo ingen rolle.