1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (2 poeng)
Løs likningssettet
Oppgave 2 (1 poeng)
Løs likningen
Oppgave 3 (2 poeng)
Regn ut og skriv svaret på standardform
Oppgave 4 (1 poeng)
Vis at
Oppgave 5 (2 poeng)
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
Oppgave 6 (3 poeng)
a) Vis atb) Løs likningen
Oppgave 7 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 8 (3 poeng)
Funksjonener gitt vedFor hvilke verdier av har grafen til
- ingen skjæringspunkter med x-aksen
- ett skjæringspunkt med x-aksen
- to skjæringspunkter med x-aksen
Oppgave 9 (3 poeng)
a) Vis atb) Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 10 (4 poeng)
En funksjon er gitt ved
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til i intervallet .
b) Bestem likningen for tangenten til grafen til i punktet .
Oppgave 11 (3 poeng)
- Terningene viser samme antall øyne.
- Summen av antall øyne er 5 eller mindre.
Oppgave 12 (6 poeng)
I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60° . Høyden på en av sidene halverer denne siden.
Høyden deler den likesidete trekanten i to likestore rettvinklete trekanter.
I denne rettvinklete trekanten er vinklene 30° , 60° og 90° . I tillegg er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.
Denne sammenhengen kalles 30° , 60° og 90° - setningen. Ovenfor ser du to avsnitt fra en lærebok for 10. klasse. a) Vis at b) Bruk til å vise at .
Oppgave 13 (4 poeng)
Fire andregradsfunksjoner p , q , r og s er gitt ved
Oppgave 1 (6 poeng)
a) Legg opplysningene i tabellen ovenfor inn som punkter i et koordinatsystem der x-aksen viser antall år etter 1970 og y-aksen viser pris (kroner).
Funksjonen f er gitt vedb) Tegn grafen til i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave a).
I resten av denne oppgaven skal du bruke funksjonen som en modell som viser prisen kroner for en kroneis år etter 1970.c) Når var prisen for en kroneis 16 kroner, ifølge modellen?
d) Hvor mye har prisen for en kroneis i gjennomsnitt steget med per år fra 1975 til 2015?
Oppgave 2 (4 poeng)
Ved en videregående skole er det 640 elever. I en undersøkelse ble elevene spurt om når de legger seg kvelden før en skoledag.- av elevene svarte at de legger seg før klokka 23.
- av elevene som legger seg før klokka 23, har et karaktersnitt over fire
- av elevene som legger seg etter klokka 23, har et karaktersnitt over fire
a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
Tenk deg at vi trekker ut en elev ved skolen tilfeldig.b) Bestem sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire.
Tenk deg at den eleven vi trakk i oppgave b), har et karaktersnitt over fire.c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka 23 kvelden før en skoledag.
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave 4 (6 poeng)
- 1)
- 2)
a) Vis at Maria har rett
For å bestemme arealet av vil Maria regne slik:b) Bruk blant annet resultatet fra oppgave a), og vis at dette uttrykket for arealet kan skrives som
Mats bruker arealsetningen og får at arealet av trekanten også kan skrives slik:c) Bruk dette uttrykket og uttrykket du har for arealet fra oppgave b), til å vise at
Oppgave 5 (6 poeng)
En funksjon f er gitt veda) Vis at tangeten til grafen til i punktet er parallell med linjen som går gjennom punktet og .
Nedenfor ser du grafen til en funksjon gitt ved
b) Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til g i punktet
c) Vis at linjen gjennom punktene P(p,g(p)) og Q(q,g(q)) er parallell med tangenten i oppgave b).
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på gjennomsnittlig vekstfart, og det har vi sett på allerede i en tidligere video. Men i denne videoen skal vi ha et funksjonsuttrykk å jobbe med. I dette tilfellet er f av x lik x i andre.
klikk her for 10 sekunders quiz
På toppen av tavla står det en del formler. Dette er standarduttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, delta y på delta x.
Det blir y to minus y en over x to minus x en, og så står det noe her borte som vi kan kommentere til slutt.
Tegn grafen for x mellom null og fem. Gjør en litt mer lettelse på det.
Skulle bare ta den mellom null og fire, og deretter finner gjennomsnittlig vekstfart mellom x = en og x = tre, og til slutt stikkord sekant.
Tegn grafen for x mellom null og fire. Da må vi fylle ut en tabell. x i andre er en ganske grei funksjon: null i andre blir null, en i andre blir en, to i andre blir fire, tre i andre blir ni og fire i andre blir seksten. Og så trenger vi ikke femmeren.
Og så har vi jukset litt, så vi har et koordinatsystem som passer for den funksjonen. Koordinatsystemet går fra null til seksten på y-aksen. Han setter på y der, og så er det x der. Da holder det med null til fire, så punktet null null.
Og så kommer en, en, og en. Det blir liggende nedi der et sted.
To, da var y lik fire. Skal vi se, det blir her omtrent. På tre er vi på ni, og det skulle være her omtrent.
Og på fire har vi seksten. Da må vi tegne en glatt kurve, så får vi den typiske parabelen.
Som er som kurven til andregradsfunksjoner.
Det var på en måte bare oppvarmingen. Her har vi da en graf. Finn gjennomsnittlig vekstfart mellom x = en og x = tre, og da er stikkordet å bruke delta y på delta x. Så da kan vi først regne ut delta i.
Og delta x hver for seg. Delta y er altså y to minus y en, som det het, og da snakker vi om det punktet når x er en.
Og når x er tre.
Og da trenger vi ikke gå inn på grafen. Nå kan vi jo like gjerne finne tallene i tabellen.
Når x var tre, så var y ni.
Så økningen i y blir ni minus y-verdien når x var en, som er en.
Og det svarer til y to minus y en. Legg også merke til at det svarer til funksjonsverdien.
Når x var [..]. Vi kan si at det vi har gjort er å ta f av tre minus f av en. Det er det vi på en måte har gjort. Men uansett, ni minus en er jo åtte.
Og delta x, når x starter på en og slutter på tre, da er det en økning på tre minus en, som er to.
Og da blir det.
Gjennomsnittlig vekstfart, delta y på delta x.
Åtte delt på to, som er fire.
Men når vi opererer med
En funksjon som heter f.
Det heter jo her oppe. I stedet for å si delta y kunne de like gjerne sagt delta f, for det er økningen i funksjonen. Det er egentlig sånn at de tingene som står på tavla her bare er alternative skrivemåter. Det er for så vidt ikke noe nytt å tenke på, bortsett fra at man ikke bør bli skremt av å se noe sånt.
Og så var stikkordet sekant. En sekant er en linje som skjærer gjennom en graf eller en kurve. Det vi er ute etter her er egentlig den sekanten som går fra der x = en til der x = tre. Så det blir den linja. Jeg skal gå foran her nå så jeg får litt mer nøyaktig, og det beste er å bruke en linjal selvfølgelig.
Så den linja jeg tegnet der, det er sekanten.
Til grafen.
Mellom, jeg skriver det, for det er litt viktig å være presis, [..] ikke gjennom x = tre.
Og hvis vi skulle funnet stigningstallet til den linja, så hadde vi gjort akkurat det samme. Da hadde vi også tatt delta y på delta x, og så hadde vi tatt to punkter, og de to punktene er jo akkurat de to punktene vi har brukt. Dermed ser vi at den gjennomsnittlige vekstfarten svarer til stigningstallet til sekanten.
Det er verdt å ha litt i bakhodet videre i det temaet vi er på nå.
Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f
a) For hvilke verdier av x er
For hvilke verdier av x er
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra til .
Riktig svar!
Gjennomsnittlig vekstfart:
Riktig svar!
Funksjonen f er gitt ved
- a) Bestem den momentane vekstfarten til f når .
- b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet
Riktig svar!
Riktig svar!
Stigningstallet er .
En funksjon er gitt ved
Nedenfor ser du en skisse av grafen . Her er
a) Forklar at
Grafen til funksjonen er en rett linje som går gjennom punktet og står vinkelrett på grafen til . Se skissen nedenfor.
b) Forklar at og er formlike
(Tips: Forklar at begge trekantene er formlike med .)
c) Bruk resultatet fra oppgave b) til å vise at .d) Vis at påstanden er riktig
Påstand: Dersom grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, vil produktet av stigningstallene være lik -1.
Fra figuren kan man se at har stigningstallet siden endringen i y er negativ. Funksjonen på figuren har stigningstallet . Siden vil:
For at to linjer skal krysse må de gå i motsatte retninger, så de vil alltid ha motsatt fortegn på stigningstallet. Derfor vil produktet alltid bli -1 (så lenge vel å merke).
En funksjon er gitt ved
Nedenfor ser du en skisse av grafen . Her er
a) Forklar at
Grafen til funksjonen er en rett linje som går gjennom punktet og står vinkelrett på grafen til . Se skissen nedenfor.
Forklar at og er formlike
(Tips: Forklar at begge trekantene er formlike med .)
c) Bruk resultatet fra oppgave b) til å vise at .
d) Vis at påstanden er riktig
Påstand: Dersom grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, vil produktet av stigningstallene være lik -1.
Du får vite dette om fire funksjoner p, q r og s:
- p\'(0) = 0 og p\'(-1) < 0
- q\'(1) = -2 og q\'(2) = -2
- Den gjennomsnittlige vekstfarten til r i intervallet [-2, 0] er 3
- Tangenten til grafen til s i punktene (-2, s(-2)) og (2, s(2)) har likningene: og
Siden funksjonen p har stigningstall 0 i x = 0 så vil den ha enten et topppunkt eller bunnpunkt der. Siden den deriverte negativ i x = -1 betyr det er et bunnpunktpunkt (siden grafen synker så stiger). Det er bare graf A som har et bunnpunkt i x = 0. Graf er A er grafen til funksjonen p. Den eneste grafen som kan ha lik stigningstall i x = 1 og x = 2 er grafen C og E. Siden stigningstaller skal være -2 i begge punktene, må det være graf E som tilhører funksjonen q siden den har stigningstallet -2. For grafen til r ser man etter hvilken graf som har gjennomsnittlig vekstfart 3 i intervallet [-2, 0]. Det er graf F siden i intervallet [-2, 0] er \Delta{y} = 6[{/latex] og [latex]\Delta{x} = 2 noe som gir et stigningstall . Man vet at stigningstallet til grafen til et punkt er lik stigningstallet til tangenten til det punktet. Derfor vet man at grafen s har samme stigningstall i x = 2 og x = -2, stigningstallet -8. Siden det er tangent, så er det snakk om enten A, B , D eller F. A, D og F har derimot umulig likt stigningstall i x = 2 og x = -2 siden de de stiger i det enen punktet og synker i det andre. Derfor tilhører graf B til funksjonen s.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.