1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonene
a)
b)
c)
Oppgåve 2 (5 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til f .
b) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til f.
c) Lag en skisse av grafen til f.
Oppgåve 3 (3 poeng)
a) Forklar at polynomet
Oppgåve 4 (3 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgåve 5 (3 poeng)
En rekke er gitt veda) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen Sn av rekken.
b) Bestem summen av den uendelige rekken
Oppgåve 6 (4 poeng)
En tallfølgea) Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.
b) Vis at leddene
c) Vis at
Oppgåve 7 (4 poeng)
Laa) Bestem et uttrykk for inntekten
b) Bestem et uttrykk for overskuddet
Oppgåve 8 (4 poeng)
I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 200 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst. La a være prisen en spiller må betale for ett spill, og X utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang.
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor
b) Hva bør kasinoet sette prisen a til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?
Oppgåve 9 (6 poeng)
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Levetiden X til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.
b) Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn x timer. Bestem x.
c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X ? Begrunn svaret.
Oppgåve 1 (8 poeng)
Maria trener på et apparat i et treningssenter. La f(x) være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, x minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen f er gitt ved
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til
b) Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min. Det samlede energiforbruket E, målt i kilojoule (kJ), i de første t minuttene av treningen er gitt ved
c) Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.
d) Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.
Oppgåve 2 (8 poeng)
I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen. I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år. Menn:
Kvinner:
a) Lag lineære modeller f og g for farten til menn og kvinner. La x være antall år etter 1900.
b) Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene? Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på 5,72 m/s, mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på 5,01 m/s.
c) Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene? En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp x år etter 1900 er gitt ved:
d) Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.
Oppgåve 3 (4 poeng)
Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år. Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.a) Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?
b) Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?
Oppgåve 4 (4 poeng)
Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner. Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene.
Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kJ) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.
Vedlegg 1 Standard normalfordeling
Tabellen viser 
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I sikkerhetskontrollen på en flyplass blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer trukket ut for en grundigere kontroll. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med p=0,10.
- a) Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre gjennom sikkerhetskontrollen, blir trukket ut.
Vi lar X være antallet som blir trukket ut av 1000 passasjerer. -
b) Bestem forventningsverdien og standardavviket SD(X).
Flyplasspersonalet har en mistanke om at for mange personer blir trukket ut. Av 1000 passasjerer viste det seg at 110 ble trukket ut. - c) Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå på 5 %. Avgjør om flyplasspersonalet har grunn til mistanke.
Riktig svar!
Tre personer etter hverandre:
P (tre trukket ut) =
Sannsynligheten er 0.001, eller 0.1% for at tre personer etter hverandre blir trukket ut.
Figuren nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene og .
Vi får opplyst at
har 10 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 100 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 10 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 50 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
- a) Hvilke av de grafiske fremstillingene nedenfor illustrerer ?
Avgjør også hvilken grafisk fremstilling som illustrerer henholdsvis og .
- b) For den ene variabelen er . Hvilken variabel er dette?
- c) Hvilken av de fire binomisk variablene har størst standardavvik?
Riktig svar!
har . Vi leser av søylehøydene i graf (3).
Alternativt, graf (1) har for lave søyler, dvs.
er for liten
Figuren nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene og .
Vi får opplyst at
har 10 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 100 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 10 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 50 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
- a) Hvilke av de grafiske fremstillingene nedenfor illustrerer ?
Avgjør også hvilken grafisk fremstilling som illustrerer henholdsvis og .
- b) For den ene variabelen er . Hvilken variabel er dette?
- c) Hvilke av de fire binomisk variablene har størst standardavvik?
Riktig svar!
Bruker :
Vi ser at er størst , da er også
størst, siden
har det største standardavviket.
Hvilken av disse forsøksseriene kan IKKE kalles binomisk?
Riktig svar!
Uten tilbakelegging gjør at forsøkene ikke blir like hver gang, dessuten er det ikke en suksess eller ikke suksess situasjon.
I sikkerhetskontrollen på en flyplass blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer trukket ut for en grundigere kontroll. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med p=0,10.
- a) Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre gjennom sikkerhetskontrollen, blir trukket ut.Vi lar X være antallet som blir trukket ut av 1000 passasjerer.
-
b) Bestem forventningsverdien og standardavviket SD(X).
Flyplasspersonalet har en mistanke om at for mange personer blir trukket ut. Av 1000 passasjerer viste det seg at 110 ble trukket ut. - c) Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå på 5 %. Avgjør om flyplasspersonalet har grunn til mistanke.
Riktig svar!
Du gjør en binomisk forsøksserie med N forsøk, der sannsynligheten for suksess i hvert delforsøk er p. La X være antall suksesser. Hva blir forventningsverdien E(X) og hva blir variansen VAR(X) ?
Riktig svar!
Summen av alle sannsynlighetene bli siden sannsynligheten er p i alle delforsøk. Variansen er en kvadrert verdi, så N blir også kvadrert.
Du gjør ett forsøk, der sannsynligheten for suksess er p. La X være antall suksesser. Hvilke verdier kan X ha, og hva blir forventningsverdien til X?
Riktig svar!
Siden det bare er ett forsøk så kan man bare enten ha én suksess eller ingen suksesser. Forventningsverdien er den summen av sannsynligheten for suksess i hvert delforsøk, og her er det bare ett forsøk, så den summen er p.
Figuren nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene og .
Vi får opplyst at
har 10 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 100 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 10 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
har 50 delforsøk og er sannsynligheten for suksess.
- a) Hvilke av de grafiske fremstillingene nedenfor illustrerer ?
Avgjør også hvilken grafisk fremstilling som illustrerer henholdsvis og .
- b) For den ene variabelen er . Hvilken variabel er dette?
- c) Hvilken av de fire binomisk variablene har størst standardavvik?
For grafene (2) og (4) fordeler sannsynligheten seg på 10 verdier. Det må derfor være fordelingene til og
har forventningsverdi og har forventningsverdi . Siden
sannsynligheten er tilnærmet symmetrisk om forventningsverdien, ser vi at (2) må illustrere X1 og (4) må illustrere
For grafene (1) og (3) fordeler sannsynligheten seg på flere enn 10 verdier. Det må derfor være fordelingene til og
har forventningsverdi og har forventningsverdi . Siden
sannsynligheten er tilnærmet symmetrisk om forventningsverdien, ser vi at (1) må illustrere og (3) må illustrere
Tidligere statistikk fra en skole viser at 32 % av elevene i Vg3 hadde én eller flere timer fravær i russetiden.
Vi trekker tilfeldig ut 27 elever i Vg3. Vi antar at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fravær, er p = 0,32 og er uavhengig av de andre elevenes fravær.
a) Bestem sannsynligheten for at minst 20 av disse elevene ikke har fravær i russetiden.
Ledelsen ved skolen hadde en mistanke om at det nye fraværsreglementet som ble innført i august 2016, ville føre til mindre fravær. Før russetiden startet, satte de derfor opp to hypoteser som de ønsket å teste.
\begin{align} H_0 : p &= 0,32 \\\ H_1 : p &< 0,32 \end{align}
De ønsket å bruke et signifikansnivå på 5 %. Det var 120 elever i Vg3 på skolen dette skoleåret.
b) Hva er det høyeste antall elever som kan ha fravær i russetiden, for at H0 skal forkastes?
Siden man kan se på dette som et repeterende forsøk med to utfall så kan vi bruke en binomisk sannsynlighetsmodell. Siden det er sannsynligheten for at en elev har fravær er så vil sannsynligheten for at de IKKE har det være
Bruker sannsynligheteskalkulatoren på geogebra.
Sannsynligheten for at minst 20 av 27 ikke hadde fravær i russetiden er
Tidligere statistikk fra en skole viser at 32 % av elevene i Vg3 hadde én eller flere timer fravær i russetiden.
Vi trekker tilfeldig ut 27 elever i Vg3. Vi antar at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fravær, er p = 0,32 og er uavhengig av de andre elevenes fravær.
a) Bestem sannsynligheten for at minst 20 av disse elevene ikke har fravær i russetiden.
Ledelsen ved skolen hadde en mistanke om at det nye fraværsreglementet som ble innført i august 2016, ville føre til mindre fravær. Før russetiden startet, satte de derfor opp to hypoteser som de ønsket å teste.
\begin{align} H_0 : p &= 0,32 \\\ H_1 : p &< 0,32 \end{align}
De ønsket å bruke et signifikansnivå på 5 %. Det var 120 elever i Vg3 på skolen dette skoleåret.
b) Hva er det høyeste antall elever som kan ha fravær i russetiden, for at H0 skal forkastes?
Tester meg frem med verdier til jeg ser at jeg har fått riktig svar.
Antall elever som kan ha fravær i russetiden for at må forkastes er høyest 29 elever.
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.