1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonene
a)
b)
c)
Oppgåve 2 (5 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til f .
b) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til f.
c) Lag en skisse av grafen til f.
Oppgåve 3 (3 poeng)
a) Forklar at polynomet
Oppgåve 4 (3 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgåve 5 (3 poeng)
En rekke er gitt veda) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen Sn av rekken.
b) Bestem summen av den uendelige rekken
Oppgåve 6 (4 poeng)
En tallfølgea) Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.
b) Vis at leddene
c) Vis at
Oppgåve 7 (4 poeng)
Laa) Bestem et uttrykk for inntekten
b) Bestem et uttrykk for overskuddet
Oppgåve 8 (4 poeng)
I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 200 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst. La a være prisen en spiller må betale for ett spill, og X utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang.
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor
b) Hva bør kasinoet sette prisen a til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?
Oppgåve 9 (6 poeng)
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Levetiden X til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.
b) Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn x timer. Bestem x.
c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X ? Begrunn svaret.
Oppgåve 1 (8 poeng)
Maria trener på et apparat i et treningssenter. La f(x) være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, x minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen f er gitt ved
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til
b) Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min. Det samlede energiforbruket E, målt i kilojoule (kJ), i de første t minuttene av treningen er gitt ved
c) Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.
d) Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.
Oppgåve 2 (8 poeng)
I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen. I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år. Menn:
Kvinner:
a) Lag lineære modeller f og g for farten til menn og kvinner. La x være antall år etter 1900.
b) Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene? Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på 5,72 m/s, mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på 5,01 m/s.
c) Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene? En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp x år etter 1900 er gitt ved:
d) Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.
Oppgåve 3 (4 poeng)
Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år. Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.a) Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?
b) Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?
Oppgåve 4 (4 poeng)
Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner. Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene.
Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kJ) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.
Vedlegg 1 Standard normalfordeling
Tabellen viser 
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
klikk her for 10 sekunders quiz
a) Hva slags rekke er dette?
b) Konvergerer rekka? - Finn evenetuelt summen.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
a) Hva slags rekke er dette?
b) Er rekka konvergent. I så fall: Finn summen.
a) En uendelig geometrisk rekke.
b) En brøk.
a) Forklar at rekka er geometrisk.
b) For hvilke x-verdier konvergerer rekka?
c) For hvilken x-verdi blir summen av rekka lik 2?
d) For hvilken x-verdi blir summen lik 1 ?
Riktig svar!
Den konvergerer mot en bestemt verdi.
Deriver funksjonene
- a)
- b)
Riktig svar!
Deriverer ved å bruke kjerneregelen med
f\'(x)=3 \cdot \frac{1}{u} \cdot u\' = 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot 1 = \frac{3}{x+2}
Deriver funksjonene
- a)
- b)
Riktig svar!
Deriverer ved å bruke produktregelen og kjerneregelen:
- a) Bestem et uttrykk for summen
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved - b) Begrunn hvorfor rekken konvergerer.
- c) Bestem slik at summen av rekken blir .
Riktig svar!
Jeg skriver først rekken på en annen måte:
Da ser vi at dette er en geometrisk rekke, med
og
Bruker formel for sum av de n første ledda i en geometrisk rekke:
- a) Bestem et uttrykk for summen
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved - b) Begrunn hvorfor rekken konvergerer.
- c) Bestem slik at summen av rekken blir .
Riktig svar!
En funksjon er gitt ved
- a) Bestem ved regning nullpunktene til
- b) Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til .
- c) Bestem ved regning vendepunktet på grafen til .
- d) Lag en skisse av grafen til .
Riktig svar!
Nullpunktene til :
- a) Bestem ved regning nullpunktene til
- b) Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til .
- c) Bestem ved regning vendepunktet på grafen til .
- d) Lag en skisse av grafen til .
Riktig svar!
Topp-/bunnpunkter på grafen til :
Grafen til har et toppunkt i
- a) Bestem ved regning nullpunktene til
- b) Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til .
- c) Bestem ved regning vendepunktet på grafen til .
- d) Lag en skisse av grafen til .
Riktig svar!
Vendepunktet på grafen til :
f\' \'(x)= 6x -12 \\\ f\' \'(x)=0 \\\ 6x-12 =0 x=2
Lager fortegnslinje:
Grafen til har et vendepunkt i
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon , markert med rødt på figuren. Det er også tegnet inn tre rette linjer. Disse har likningene
, og
To av linjene tangerer grafen til funksjonen i henholdsvis og .
Enhetskostnaden ved produksjon av enheter er .
- a) Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter.
- b) Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er 2,06 kroner per enhet.
- c) Bestem den minste enhetskostnaden.
Riktig svar!
I punktet er .
To av de rette linjene går også gjennom punktet
Den ene er linja (denne har størst stigningstall, og stiger raskest av de tre rette linjene).
Den andre er linja (dette er linja som tangerer grafen til i punktet
Vi kan dermed bruke en av disse linjene, til å regne ut funksjonsverdien til for
Vi får da:
Funksjonen er gitt ved
Bestem hvilke punkter på grafen til som har tangent med stigningstall lik 2.
Riktig svar!
Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.
Når vi vet at stigningtallet til tangenten er lik 2, vet vi dermed også at
Punktene og på grafen til har tangent med stigningstall lik 2.
En stokastisk variabel har følgende sannsynlighetsfordeling:
Vi får oppgitt at forventningsverdien er og at variansen er Var .
- a) Vis at disse opplysningene gir oss likningssystemet
- b) Bestem verdien av , og .
Riktig svar!
Jeg starter med andre likning:
Setter dette inn i første likning:
Setter inn i siste likning:
Riktig svar!
Siden da bli leddene mindre og mindre.
Riktig svar!
I rekka er k = 2x, og absoluttverdien av x må være mindre enn 1/2 for at k skal være imellom -1 og 1.
Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er 2r. Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående.
Vi lar være lengden av halvsirkelbue nummer n.
- a) Forklar at blir en uendelig, geometrisk rekke.
- b) Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret
Vi kan fortsette og konstruere halvsirkler som vist på figuren i det uendelige. Regningen viser at
hvert ledd i rekken er lik leddet foran multiplisert med konstanten
Det betyr at blir en uendelig, geometrisk rekke.
En type tablett inneholder 60 mg av et bestemt stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av 6 timer
En pasient får én tablett hver tolvte time.
Hvor mange milligram av stoffet vil maksimalt samles i kroppen etter lang tids bruk?
Vi tenker oss en pasient som har tatt én tablett hver tolvte time i lang (uendelig lang) tid.
Like etter at pasienten har tatt en ny tablett vil han i kroppen ha 60 mg fra den siste tabletten, pluss
milligram fra den tabletten han tok for 12 timer siden (fordi stoffet halveres to ganger i
løpet av tolv timer), pluss milligram fra den tabletten han tok for 24 timer siden, pluss
milligram fra den tabletten han tok for 36 timer siden, osv.
Disse størrelser danner en uendelig konvergent geometrisk rekke med og
med sum .
Det kan maksimalt samles 80 milligram av stoffet i kroppen.
Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er 2r. Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående.
Vi lar være lengden av halvsirkelbue nummer n.
- a) Forklar at blir en uendelig, geometrisk rekke.
- b) Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret
Rekken er konvergent siden . Følgelig har rekken summen
Summen er alle halvsirkelbuene er lik hele omkretsen til den første sirkelen.
Det må også bety at den første halvsirkelbuen er lik summen av alle de andre halvsirkelbuene.
Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen.
Forkort brøken.
Brøken kan forkortes, dersom er en faktor i telleren .
Fra nullpunktsetningen vet vi at dersom er en faktor i polynomet må være et nullpunkt for .
Vi sjekker dette:
Brøken kan forkortes.
Vi kan forkorte brøken ved å utføre polynomdivisjon:
- a) Bestem et uttrykk for summen
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved - b) Begrunn hvorfor rekken konvergerer.
- c) Bestem slik at summen av rekken blir .
Rekka konvergerer fordi og dermed er . Da vet vi at en uendelig geometrisk rekke konvergerer.
Vi kan også begrunne det ut fra formelen for summen vi fant i oppg. a):
Når vil .
Da vil vi få:
- a) Bestem ved regning nullpunktene til
- b) Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til .
- c) Bestem ved regning vendepunktet på grafen til .
- d) Lag en skisse av grafen til .
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon , markert med rødt på figuren. Det er også tegnet inn tre rette linjer. Disse har likningene
, og
To av linjene tangerer grafen til funksjonen i henholdsvis og .
Enhetskostnaden ved produksjon av enheter er .
- a) Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter.
- b) Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er 2,06 kroner per enhet.
- c) Bestem den minste enhetskostnaden.
Grensekostnaden er K\' (x) :
Den deriverte til når , er det samme som stigningstallet til tangenten til grafen når .
Linja tangerer grafen til i punktet der
Vi ser at denne tangenten har stigningstallet
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon , markert med rødt på figuren. Det er også tegnet inn tre rette linjer. Disse har likningene
, og
To av linjene tangerer grafen til funksjonen i henholdsvis og .
Enhetskostnaden ved produksjon av enheter er .
- a) Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter.
- b) Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er 2,06 kroner per enhet.
- c) Bestem den minste enhetskostnaden.
Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden
Nå skal vi se på punket . Her er
Den rette linja tangerer grafen til i punktet .
Vi ser at tangenten har stigningstallet og derfor er
Vi kan regne ut enhetskostnaden for på samme måte som vi gjorde i oppg. a). Vi bruker den rette linja til å regne ut funksjonsverdien til for
Vi har nå vist at for
Den minste enhetskostnaden har vi ved produksjon av 1000 enheter, og da er enhetskostnaden 3,43 kroner per enhet.
En stokastisk variabel har følgende sannsynlighetsfordeling:
Vi får oppgitt at forventningsverdien er og at variansen er Var .
- a) Vis at disse opplysningene gir oss likningssystemet
- b) Bestem verdien av , og .
Summen av alle sannsynlighetsverdiene i en sannsynlighetsfordeling skal være lik 1.
Det gir oss første likning:
Forventningsverdien regner vi ut slik: som gir:
Det gir oss andre likning:
Variansen regner vi ut slik: som gir:
Det gir oss tredje likning:
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.