VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Grunnlaget
06:55
07:18
14:39
15:51
04:56
07:19
06:36
14:15
10:52
04:21
Potenser og logaritmer
23:19
19:21
21:19
09:42
14:31
09:10
22:19
17:22
Grenseverdier og derivasjon
60:34
08:47
14:23
11:44
12:55
05:03
13:12
09:34
05:15
09:31
18:58
31:07
Funksjoner
24:27
07:14
08:34
14:23
20:02
Eksponentialfunksjoner
04:32
10:49
02:38
04:29
08:37
27:25
10:42
Sannsynlighet
12:43
05:25
12:36
06:18
03:59
25:33
29:09
20:38
03:47
06:02
16:59
06:09
13:27
Flere temaer
114:30
125:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
DEL 1 - Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
DEL 2 - Med hjelpemidler
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
05:10
Teori 1
Jevn prosentvis vekst = eksponentiell vekst. Eksponentialfunksjoner.
I denne videoen skal vi se på prosentvis vekst og noe som heter eksponentialfunksjoner. Men for å bli kjent med det begrepet, så vil vi først ta for oss et eksempel: en bakteriepopulasjon. Den består innledningsvis av tjue tusen individer. Ja, det er ikke tjue tusen da. Men her har vi noen bakterier, og når de har det bra, de bakteriene, så vil de kunne formere seg ganske kjapt. Og da vil det være sånn at de vil kanskje øke med ti prosent; antallet vil øke ti prosent per minutt. Det vil jo bare gjelde så lenge det er god tilgang på mat her borte da.
Quiz section 0
Hva kalles funksjoner som beskriver prosentvis vekst over tid?
Lineære funksjoner
Konstant funksjoner
Eksponentialfunksjoner
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og at de ikke er alt for tett på hverandre, og en del andre ting som har med biologi å gjøre.
Quiz section 1
Men vi har ti prosent vekst per minutt. Og da kan vi, som har lært om vekstfaktor, regne hvilken vekstfaktor det svarer til: en pluss ti delt på hundre, det blir en komma en.
Quiz section 2
Hvordan beregner man vekstfaktoren ved prosentvis økning?
Ved å multiplisere prosentandelen med 100
Ved å dele prosentandelen på 100 og legge til 1
Ved å trekke prosentandelen fra 100
Når vi så tenker på at da vil jo bakteriepopulasjonen vokse, så kan vi tenke oss en funksjon b av x, som skal være bakterietallet etter x minutter.
Quiz section 3
Hva kan en funksjon b(x) representere i en vekstmodell?
Antallet etter x enheter tid
Den opprinnelige mengden
Vekstfaktoren
Og til å begynne med har vi tjue tusen, og vekstfaktoren en komma en null eller en komma en. Den må vi jo gange med hvert eneste minutt. Så etter det første minuttet, så må vi gange med en komma en. Når vi så får et nytt minutt, så må vi gange med en komma en en gang til, og da blir det opphøyd i andre.
Quiz section 4
Hvordan beregner man totalveksten etter flere tidsenheter med konstant vekstfaktor?
Ved å legge til vekstfaktoren for hver tidsenhet
Ved å multiplisere vekstfaktoren med antall tidsenheter
Ved å opphøye vekstfaktoren i antall tidsenheter
Etter tre minutter så vil det være enda en faktor en komma en, og da blir det opphøyd i tredje. Så etter x minutter så må det jo bli
Quiz section 5
Hva representerer eksponenten x i uttrykket for eksponentiell vekst?
Startverdien
Antall tidsenheter
Vekstfaktoren
Tjue tusen ganger en komma en opphøyd i x.
Quiz section 6
Hva er den generelle formen for en eksponentiell funksjon?
f(x) = a + b x
f(x) = a ⋅ bx
f(x) = a x2 + b x + c
En sånn funksjon, som er et tall ganger noe opphøyd i x, det kalles en eksponentialfunksjon. Så vi kan si generelt sett at vi da har et sånt uttrykk: et tall. Det må jo ikke være tjue tusen; det kan være bare en eller annen verdi a, som vi ikke vil spesifisere nå. Og vi har en eller annen faktor, det må ikke være vekstfaktor heller egentlig.
Quiz section 7
Men det må være en eller annen, et eller annet tall b opphøyd i x. Da har vi det som heter en eksponentialfunksjon. Og det er verdt å sammenligne det litt med det vi har lært før om vekst. For vi har jo hatt noe som vi kan kalle lineær vekst, at noe har en verdi b til å begynne med, og så stiger det jevnt og trutt med samme tall, for eksempel hvert minutt. Da får vi det som heter lineær vekst, og da har vi den lineære funksjonen a x pluss b. Det kan vi også kalle en førstegradsfunksjon. Så grafen til den funksjonen her vil typisk være en rett linje, og det har vi jo lært om tidligere i
Quiz section 8
Hva er den generelle formen for en lineær funksjon?
f(x) = a x2 + b x + c
f(x) = a x + b
f(x) = a ⋅ bx
Har vi sett teori-videoer på tidligere. En rett linje som skjærer y-aksen i verdien b, og som har et stigningstall lik a. Og så, litt ettersom hvilken verdi det er, så jo mer eller mindre bratt vil den funksjonen være. En eksponentialfunksjon, den vil typisk se ut omtrent som dette her: at den begynner på en eller annen verdi, og det er den verdien a der.
Quiz section 9
Hva representerer stigningstallet a i en lineær funksjon?
Vekstfaktoren
Hvor raskt funksjonen stiger eller synker
Startverdien
Og så vil den stige på en måte mer og mer, fordi for hver tidsenhet så ganger vi med, eller for hver økning i x, så ganger vi på nytt, for eksempel med tallet en komma en. Så den funksjonen her blir brattere og brattere. Vi kan også for så vidt la den gå bakover i tid, sånn at vi går forbi
Quiz section 10
Hva kjennetegner veksten til en eksponentialfunksjon sammenlignet med en lineær funksjon?
Den øker jevnt
Den øker saktere over tid
Den øker raskere og raskere
Y-aksen som
Quiz section 11
Så omtrent sånn ser typiske eksponentialfunksjoner ut. Det går også an å tenke seg at vi har negativ vekst, som for eksempel
Quiz section 12
Hva skjer med en eksponentialfunksjon når vekstfaktoren er mindre enn 1?
Den øker raskere
Den minker over tid
Den blir konstant
Jeg bare skriver det med en annen farge nå. La oss si vi har en funksjon c da, bare for å skille den. Som hadde vært at hvis det var en bakteriekultur som også besto av tjue tusen, men som i stedet minket med ti prosent av en eller annen grunn. Kanskje det var for lite mat, sånn at bakteriene rett og slett døde. Og da vil vi, en ti prosent nedgang, det vil være null komma ni.
Quiz section 13
Hva er vekstfaktoren ved en nedgang på 10%?
0.9
1.1
-0.1
Og hvis vi tenker oss at sånn er det hvert minutt, så vil vi ha null komma ni opphøyd i x. Da vil den kulturen også starte på tjue tusen, som vi kan si er det tallet vi har der da, og så vil den ha gått nedover på den måten der.
Quiz section 14
Mens derimot hvis vi kunne gå tilbake i tid, så var det jo mer tidligere.
Quiz section 15
Hva skjer med en eksponentialfunksjon med vekstfaktor mindre enn 1 når vi går bakover i tid?
Verdien forblir konstant
Verdien minker
Verdien øker
Så den da som kan se sånn ut. Så hvis den verdien b er større enn en, da er det typisk at det vokser, for da er vekstfaktoren større enn en. Mens hvis vi har en vekstfaktor mindre enn en, så får vi den nedadgående kurven. Begge deler er eksponentialfunksjoner.
Quiz section 16
Hva bestemmer om en eksponentialfunksjon øker eller minker?
Verdien av eksponenten x
Verdien av vekstfaktoren b
Startverdien a
Quiz section 17
Quiz section 18
09:41
Oppgave 1
Et engangsbeløp på 50 000 kr settes inn på en tom konto. Renta er 3,8 % p.a.
a) Finn en formel for beløpet B på kontoen etter x år.
b) Hva er saldoen etter 20 år?
c) Tegn grafen til B(x).
d) Finn grafisk når saldoen er doblet.
a) Finn en formel for beløpet B på kontoen etter x år.
b) Hva er saldoen etter 20 år?
c) Tegn grafen til B(x).
d) Finn grafisk når saldoen er doblet.
06:43
Oppgave 2
Regning med vekstfaktor: "Noe" vokser med 5 % hver dag. Hvor lang tid tar det før dette er blitt dobbelt så stort?
04:33
Oppgave 3
Noe minker med 5% hvert år, hvor lang tid tar det før dette er halvert?
06:28
Oppgave 4
Halveringstiden til en radioaktiv isotop er 45 dager. En jordprøve inneholder 20mg av isotpen. Hvor lang tid tar det før jordprøven inneholder 1mg av denne isotopen?
Hva kalles funksjoner av typen a^x?
00:00
Hvilket grunntall brukes ofte i eksponentialfunksjoner?
00:09
Kan en funksjon med basen e skrives som e^(k·x)?
00:17
Hvilken logaritme hører til basen e?
00:28
Er a^x det samme som e^(ln(a)·x)?
00:41
Kan en potens opphøyes på nytt i x?
00:53
Gir potensreglene oss (a^b)^c = a^(b·c)?
00:57
Kan (a^b)^x skrives som a^(b·x)?
01:00
Er parenteser viktige i algebra?
01:12
Kan ln(a) finnes med en kalkulator?
01:17
Er ln(5) omtrent 1,6?
01:31
Kan ln(5) fungere som en konstant i eksponentialfunksjoner?
01:45
Kan e^(5x) skrives som (e^5)^x?
01:50
Ønsker man noe i formen a^x, kan e^(k·x) skrives som (e^k)^x?
01:59
Hvilken regel ligger til grunn for (e^k)^x = e^(k·x)?
02:03
Er e^5 en konstant?
02:14
Kan e^5 regnes ut numerisk?
02:22
Er e^5 større enn 100?
02:28
Er e^5 omtrent 148,4?
02:34
Kan e^(5x) tilnærmes av en konstant opphøyd i x?
02:49
Endrer en fast faktor foran a^x selve basen?
02:55
Hvis vi har k·a^x, forandres basen a?
03:19
Hva kalles funksjoner som beskriver prosentvis vekst over tid?
00:00
Hvordan beregner man vekstfaktoren ved prosentvis økning?
00:49
Hva kan en funksjon b(x) representere i en vekstmodell?
01:04
Hvordan beregner man totalveksten etter flere tidsenheter med konstant vekstfaktor?
01:16
Hva representerer eksponenten x i uttrykket for eksponentiell vekst?
01:37
Hva er den generelle formen for en eksponentiell funksjon?
01:46
Hva er den generelle formen for en lineær funksjon?
02:18
Hva representerer stigningstallet a i en lineær funksjon?
03:01
Hva kjennetegner veksten til en eksponentialfunksjon sammenlignet med en lineær funksjon?
03:28
Hva skjer med en eksponentialfunksjon når vekstfaktoren er mindre enn 1?
03:54
Hva er vekstfaktoren ved en nedgang på 10%?
04:04
Hva skjer med en eksponentialfunksjon med vekstfaktor mindre enn 1 når vi går bakover i tid?
04:44
Hva bestemmer om en eksponentialfunksjon øker eller minker?
04:49
kan også skrives
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden e nullerer ln, blir dette som å først gange med 2 så dele på 2. Man kommer tilbake der man startet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hvordan ser uttrykket for en eksponentalfunksjon ut?
Riktig svar!
Ja, fordi her er x en eksponent i funksjonen.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Løs likningen
Riktig svar!
Fra dette ser vi at , eller at: . Når vi løser dette:
Som gir oss: eller
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Løs likningen
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes x dager etter 31. mars,tilnærmet var gitt ved funksjonen
Her svarer til 31. mars, til 1.april, til 2 . april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag ?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai ?
c) Bestem
Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
Se løsning og registrer oppgaven
a)
80 personer, ettersom .
1,045 tilsvarerer en vekst på 4,5%.
Svaret blir da 80 personer og 4,5% vekst.
80 personer, ettersom .
1,045 tilsvarerer en vekst på 4,5%.
Svaret blir da 80 personer og 4,5% vekst.
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes x dager etter 31. mars,tilnærmet var gitt ved funksjonen
Her svarer til 31. mars, til 1.april, til 2 . april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai.
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag ?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai ?
c) Bestem
Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
Se løsning og registrer oppgaven
c)
f(16) forteller hvor mange "likes" det var 16. april, 162.
f\'(16) forteller om den momentane endringen denne dagen, en økning på ca 7 "likes".
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.