1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
I denne videoen skal vi se på tall og tallmengder. Det er et tema som ikke er knyttet til en bestemt del av matematikken, men det er nyttig å ha bakgrunnskunnskap om tall og tallmengder. Man trenger det egentlig overalt. For eksempel, ser du i fasiten i matteboka di, så hender det kanskje at du ser løsninger skrevet som en mengde. Og sånne ting kommer vi litt inn på her.
klikk her for 10 sekunders quiz
På tavla her har jeg skrevet opp en del forskjellige tallmengder.
Egentlig så er det den mengden her nede som på en måte er det spesielle, de reelle tallene, og det er tallene på tallinja. Men før vi går inn på de, så begynner vi med de naturlige tallene. Det er en tallmengde som består av tallene en, to, tre og så videre. Det er sånne tall man bruker når man teller.
Så har vi hele tall. Her er den mengden skrevet opp på listeform. Vi ser det begynner et eller annet sted nedi her: minus to, minus en, null, en og to. Det er de naturlige tallene pluss null og pluss de tilsvarende negative tallene. De kaller vi hele tall, og det skjønner du sikkert hvorfor vi kaller det hele tall. Det er ikke noe desimaltall der, for eksempel.
Så har vi de rasjonale tallene. Det er tall som kan skrives som en brøk av to hele tall.
Jeg har også skrevet at nevneren ikke kan være null, for vi kan ikke dele på null. Rasjonale tall finnes det veldig, veldig mange av. Her har jeg skrevet opp noen rasjonale tall, for eksempel minus en halv. Det er jo minus en delt på to. Da er både teller og nevner hele tall.
Tallet 3,14. Da tenker jeg faktisk ikke på tallet Pi, da tenker jeg bare på desimaltallet 3,14. Det kan vi skrive som
tre hundre og fjorten delt på hundre.
Og da ser vi at det også
oppfyller definisjonen av et rasjonalt tall.
Et tall som kan skrives som en brøk av to hele tall.
Det samme gjelder det hele tallet sju. Det er også et rasjonalt tall, så vi kan, hvis vi vil, skrive det som sju delt på en.
Og igjen, da har vi fått på denne rasjonale formen. Da er vi klare for de reelle tallene. Det er tallene på tallinja.
Nå har vi litt lite plass her. Vi skulle kanskje tegne en tallinje et sted. Men
jeg sier det bare nå, så skal vi se en tallinje etterpå. De reelle tallene består både av rasjonale tall og det som heter irrasjonale tall. Det er tall som ikke kan skrives som en brøk av to hele tall. Eksempler på det er tallet Pi.
For Pi er ikke det samme som 3,14. Pi er nemlig et tall med uendelig mange desimaler.
Du kan få kalkulatoren din til å skrive Pi med kanskje tolv, tretten desimaler, men det er mange, mange flere igjen. Det er uendelig mange desimaler i tallet Pi.
Roten av to er også et irrasjonalt tall. Det kan man heller ikke uttrykke som en brøk med et helt tall i teller og nevner. Og vi kan også lage flere tall, for eksempel Pi tredjedeler. Siden telleren er irrasjonal, så vil det tallet der også være irrasjonalt.
De reelle tallene fyller altså hele tallinja. Nå skal vi se på skriveformen for tallmengder, og da har vi to
typer tallmengder. Vi kan ha en tallmengde som består av isolerte tall, og det skal jeg bare vise med to eksempler. Hva er for eksempel naturlige tall som er mindre enn fem? Det er de tallene vi har på tallinjen her. Vi har fire, tre, to
og en. Vi ser det ligger hver for seg på linja. De kan vi skrive på listeform, og da blir det at vi lager en klamme og så skriver vi en, to, tre og fire med komma i mellom.
Vi har en mengde til vi kan prøve å uttrykke også. Mengden B er hele tall større enn minus tre.
Og da har vi alle tallene fra minus to og oppover, alle de hele tallene. Og den vil vi da skrive om: minus to, minus en, null
og så fortsetter det sånn. Vi kan ta med en til kanskje. Og så bare prikk prikk prikk
Tre prikker, det er faktisk et etablert symbol som betyr 'og så videre'.
Så kan vi se på hvordan man skriver sammenhengende tallmengder. Da bruker vi en skriveform som kalles intervall. Vi kan se på det første eksempelet her. Her er x gitt ved at x skal være større enn to og samtidig skal det være mindre enn Pi. Hvis vi ser på en tallinje, så har vi to her. Kanskje også Pi er litt større enn to, for Pi er omtrent 3,14, så det ligger kanskje borti her et sted.
Da kan vi skrive at tallmengden er fra to til Pi med en sånn
en sånn
pil sånn
To, Pi
Hake kaller man de symbolene.
Og da betyr det at to ikke er med i mengden. Det er bare tall som er større enn to, og det betyr også at Pi ikke er med, men vi er helt opp til Pi. Så langt, så nært Pi vi bare kan komme, og det er veldig nært. De som driver med tallteori vet at det finnes utrolig masse tall, uendelig mange tall i nærheten av Pi, men vi skal helt bort til, men ikke ha med Pi.
Hvis vi derimot vil ha med endepunktene to og Pi i et intervall, da skriver vi i stedet mengden som
To
Komma Pi, sånn. Og da så dere at jeg brukte sånne hake, sånne klammer i stedet, sånn firkantede parenteser.
Og så, hvis jeg skal si at x er medlem i en mengde, så bruker jeg et sånt symbol som betyr 'element i'.
Elementer
Hvis du skal imponere på russekortet ditt, så kan du bruke det symbolet, for det betyr omtrent det samme som 'member of'.
Til slutt så ser vi på x større enn to og mindre eller lik Pi, bare for å se at vi ser systemet her. Vi skal altså være større enn to, da bruker vi
den haken
Og så Pi skulle få lov til å være med
Så da blir det en sånn firkantet parentes der, og så sånn 'member of' symbol. Så skal vi se på mengden av alle x'er som er mindre eller lik to, og to har vi på tallinjen der. Og mindre eller lik to betyr jo til venstre for to på tallinjen, ja, og der er det veldig mange tall. Der er det uendelig mange tall nedover, og tallinjen går jo endeløst nedover mot venstre. Og da vil jo mengden være sånn at den blir avsluttet med en sånn firkantet parentes fordi to er endepunktet og det
Det sier er det opprinnelige utdraget vårt. X skulle være mindre eller lik to, så to får lov å være med, men alle tall som er mindre enn to de uttrykker vi rett og slett ved hjelp av en pil.
Vi kan se her borte også. Hvis vi vil uttrykke x, alle x'er som er større enn tallet Pi, så blir det tilsvarende. Siden vi ikke hadde større eller lik men bare større, så blir det Pi, komma, og så pil oppover.
Ønsker du mer repetisjon av likninger? Sjekk ut 1T.
Vi undersøker også hvordan dette ser ut grafisk.
a) Undersøk om f(x) er delelig med: 1) (x-1), 2) (x+1), 3) (x-2)
b) Faktoriser f(x) .
a) Finn en formel for beløpet B på kontoen etter x år.
b) Hva er saldoen etter 20 år?
c) Tegn grafen til B(x).
d) Finn grafisk når saldoen er doblet.
.
a) Hva forteller funksjonsuttrykket?
b) Finn nullpunktet til funksjonen. Hva forteller dette?
a) Skriv funksjonsuttrykket for h(x).
b) Finn definisjonsmengden og verdimengden for h.
a) to løsninger? b) en løsning? c) ingen løsning?
En funksjon f er deriverbar og dobbelderiverbar for alle x.
Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn et av symbolene eller .
a) Grafen til f har et toppunkt i (2, f(2)).
b) og f\'\'(3)>0 Grafen til f har et bunnpunkt i (3, f(3))
Riktig svar!
Ved å vite at f\'(3) = 0, vet vi at det er et ekstremalpunkt i x = 3. Når da f\'\'(3) > 0 i tillegg så vet vi at det er et bunnpunkt.
Riktig svar!
Siden Oslo er i Norge. Man kan ikke bo i Oslo, men ikke i Norge.
En funksjon f er deriverbar og dobbelderiverbar for alle x.
Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn et av symbolene eller .
a) Grafen til f har et toppunkt i (2, f(2)).
Riktig svar!
Siden f\'(2) = 0 kan bety at grafen har et bunnpunkt eller terrassepunkt også, så vil det bare gå én vei.
Riktig svar!
Siden 1 - 1 = 0, og man kan ikke ha 0 i nevner.
Riktig svar!
Det er slik det er definert.
Skriv så enkelt som mulig
Riktig svar!
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig
Riktig svar!
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig
Riktig svar!
Riktig svar!
Ja, slik er rasjonale tall definert.
Riktig svar!
Denne er viktig å bare kunne.
Riktig svar!
Nullpunktene og finner man i denne formen: .
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem nullpunktene til f.
b) Vis at grafen til f har bunnpunktet
c) Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet (2, (f2)).
En rett linje l går gjennom punktet (3, 7) og er parallell med tangenten i oppgave c).
d) Bestem skjæringspunktene mellom linjen l og grafen til f ved regning.
e) Tegn grafen til f , tangenten i oppgave c) og den rette linjen i oppgave d) i samme koordinatsystem.
Riktig svar!
Sette inn i formelen:
Som gir oss: , . Derfor har vi nullpunktene: og
Riktig svar!
Tredje kvadratsetningen, eller konjugatsetningen:
Riktig svar!
Her brukes andre kvadratsetning:
Bestem c slik at uttrykket
blir et fullstendig kvadrat.
Riktig svar!
Vi har at
Dvs: c =
Riktig svar!
Uttrykkets verdi vil bli endret om man ganger ut nevnerne.
Riktig svar!
Derfor navnet ikke-lineært.
Riktig svar!
Da får man en ligning med bare én ukjent.
Riktig svar!
Siden e nullerer ln, blir dette som å først gange med 2 så dele på 2. Man kommer tilbake der man startet.
Riktig svar!
Fordi endringen er negativ.
Riktig svar!
300 kr betales uansett hvor mange kilometer man kjører, og så legger man til 5 kroner for hver kilometer kjørt.
Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 16–74 år som røykte daglig i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012.
La x være antall år etter 2002. (La x = 0 svare til år 2002, x = 1 til år 2003, osv.)
- a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 2002 til 2012.
- b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025.
Riktig svar!
En brukbar modell er
Riktig svar!
Ja, fordi her er x en eksponent i funksjonen.
Løs likningen
Riktig svar!
Fra dette ser vi at , eller at: . Når vi løser dette:
Som gir oss: eller
Løs likningen
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Riktig svar!
Funksjonene f og g er gitt ved
a) Illustrer grafisk at likningen f(x) = g(x) kan ha ingen løsning, én løsning eller to løsninger, avhengig av verdien av a.
b) Bestem ved regning verdiene av a slik at likningen f(x) = g(x) har
ingen løsning
én løsning
to løsninger
Bruker abc- formelen og får 16 + 8a under rottegnet. Når uttrykket er negativt har likningen ingen løsning. Når uttrykket er null har det en løsning. Når uttrykket er positivt har det to løsninger.
løsning
a < -2 ingen løsning
løsningera lik null gir:
f er parallell med x-aksen og det er en skjæring, i punktet
Om en funksjon får du vite at:
\begin{itemize} \item $f(x) = kx^2 + 12x + 9$ \item $f(x)$ er et fullstendig kvadrat \end{itemize
a) Bestem k
b) Bestem nullpunktene til f.
Siden nullpunktene er på symmetrilinjen kan man finne dem via:
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem nullpunktene til f.
b) Vis at grafen til f har bunnpunktet
c) Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet (2, (f2)).
En rett linje l går gjennom punktet (3, 7) og er parallell med tangenten i oppgave c).
d) Bestem skjæringspunktene mellom linjen l og grafen til f ved regning.
e) Tegn grafen til f , tangenten i oppgave c) og den rette linjen i oppgave d) i samme koordinatsystem.
Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv, det betyr at grafen vender sin hule side opp, og har et minimumspunkt. Dette ligger på symmetrilinja som er x= 0,5.
Eller vi kan derivere og sette den deriverte lik null:
Dvs. bunnpunkt i
Løs likningssystemet
\begin{align} x^2 + 2y &= 13x \\\ 3x - y &= - 5 \end{align}
Løser den enkleste likningen for én av de ukjente. Velger her å starte med likning 2, og løser den for y, siden det er den enkleste likningen og y står alene.
\begin{align} 3x - y &= -5 \\\ - y &= -3x - 5 \\\ y &= 3x + 5 \end{align}
Setter så dette inn i likning 1.
\begin{align} x^2 + 2y &= 13x \\\ x^2 + 2(3x + 5) &= 13x \\\ x^2 + 6x + 10 &= 13x \\\ x^2 - 7x + 10 &= 0 \\\ \end{align}
Bruker så ABC-formelen og får
Setter dette inn i likning 2, siden den er enklest, og finner y.
\begin{align} y_1 &= 3 \cdot 2 + 5 = 11 \\\ y_2 &= 3 \cdot 5 + 5 = 20 \end{align}
Dette gir løsning:
Pål og vennene hans pleier hver fredag å kjøpe brus og pølser i kiosken på hjørnet. En fredag kjøpte de til sammen 6 flasker brus og 4 pølser. Det kostet 170 kroner. Neste fredag kjøpte de 5 flasker brus og 10 pølser. Det kostet 275 kroner.
a) Sett opp et likningssystem som passer til situasjonen.
b) Bestem prisen for én brus og prisen for én pølse
Setter først brus og pølser som to forskjellige bokstaver.
\begin{align} x &= brus \\\ y &= pølser \end{align}
Setter så opp det de kjøpte på venstre siden og totalprisen på høyre side. Det gir likningssystemet:
\left[ \begin{align} 6x + 4y &= 170 \\\ 5x + 10y &= 275 \end{align} \right]
Avstanden mellom byene A og B er 200 km.
- . En bil starter i A og kjører mot B med farten 60 km/h.
- . Vi setter i gang en klokke idet bilen i A starter.
- . En annen bil starter i B 20 min senere og kjører mot A med farten 40 km h.
- . La t være tiden klokken viser, målt i timer.
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes.
b) Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes.
Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene.
c) Bestem hvilken fart bilen hans må ha for at dette skal skje.
Bilene møtes i s, som er avstanden fra A. Da har bil A kjørt i 60 km/t i t antall timer. Bilen i B må kjøre motsatt vei og starter 20 minutter senere. Bil B kjører mot A i 40 km/t og det gjør den i (t - 1/3) timer.
Pål og vennene hans pleier hver fredag å kjøpe brus og pølser i kiosken på hjørnet. En fredag kjøpte de til sammen 6 flasker brus og 4 pølser. Det kostet 170 kroner. Neste fredag kjøpte de 5 flasker brus og 10 pølser. Det kostet 275 kroner.
a) Sett opp et likningssystem som passer til situasjonen.
b) Bestem prisen for én brus og prisen for én pølse
\left[ \begin{align} 6x + 4y &= 170 \\\ 5x + 10y &= 275 \end{align} \right]
Løser likning 1 for y.
\begin{align} 6x + 4y &= 170 \\\ 4y &= 170 - 6x \\\ y &= \frac{170 - 6x}{4} \\\ y &= \frac{85 - 3x}{2} \end{align}
Setter dette så inn i likning 2.
\begin{align} 5x + 10y &= 275 \\\ 5x + 10(\frac{85 - 3x}{2}) &= 275 \\\ 5x + 5(85 - 3x) &= 275 \\\ 5x - 15x &= 275 - 425 \\\ 10x &= 150 \\\ x &= 15 \end{align}
Setter dette inn i likning 1
\begin{align} y &= \frac{85 - 3 \cdot 15}{2} \\\ y &= \frac{40}{2} \\\ y &= 20 \end{align}
Én brus koster da 15 kroner og én pølse koster 20 kroner.
Løs likningssystemet
Løser x av ligning to og får:
Setter inn x verdier i ligning en og finner tilhørende y verdi:
Avstanden mellom byene A og B er 200 km.
- . En bil starter i A og kjører mot B med farten 60 km/h.
- . Vi setter i gang en klokke idet bilen i A starter.
- . En annen bil starter i B 20 min senere og kjører mot A med farten 40 km h.
- . La t være tiden klokken viser, målt i timer.
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes.
b) Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes.
Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene.
c) Bestem hvilken fart bilen hans må ha for at dette skal skje.
timer som er ca. timer og minutter.
Bilene møtes i s, som er ca. kilometer fra A.
En arkitekt skal tegne et hus med total yttervegg pa . Ytterveggen bestar av isolert
veggflate og vindu. Tabellen nedenfor viser varmetapet per time gjennom isolert veggflate og
gjennom vindu under visse betingelser.
a) Bestem det totale varmetapet per time gjennom ytterveggen dersom er vindu.
Det totale varmetapet gjennom ytterveggen per time skal være 2,0 kWh.
b) Sett opp et ligningssystem som kan brukes til a bestemme hvor mange kvadratmeter
veggflate og hvor mange kvadratmeter vindu ytterveggen ma ha.
Løs likningssystemet.
\begin{align*} x + y = 120\\\ 0.009 \cdot x + 0.048 \cdot y = 2\\\ \end{align*}
Løser også denne på kalkulator og får
\begin{align*} x \approx 96.4 \\\ y \approx 23.6\\\ \end{align*}
For at det totale varmetapet skal være må arkitekten velge med isolert veggflate og med vindu.
Et rektangel med sider x og y har areal 6 og omkrets 11.
a) Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.
b) Bestem lengden av sidene i rektangelet ved å løse likningssystemet.
Omkrets: 2x + 2y = 11
Areal: xy=6
\left[ \begin{align*}2x+2y=11\\\ xy=6 \end{align*}\right]
Et rektangel med sider x og y har areal 6 og omkrets 11.
a) Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.
b) Bestem lengden av sidene i rektangelet ved å løse likningssystemet.
Omkrets: 2x + 2y = 11
Areal: xy=6
\left[ \begin{align*}2x+2y=11\\\ xy=6 \end{align*}\right]
\left[ \begin{align*}x=\frac{11}{2}-y\\\ xy=6 \end{align*}\right]
Innsatt gir det løsninger som jo er samme rektangel.
Lenden på rektangelet er 4 og bredden er .
Avstanden mellom byene A og B er 200 km.
- . En bil starter i A og kjører mot B med farten 60 km/h.
- . Vi setter i gang en klokke idet bilen i A starter.
- . En annen bil starter i B 20 min senere og kjører mot A med farten 40 km h.
- . La t være tiden klokken viser, målt i timer.
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes.
b) Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes.
Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene.
c) Bestem hvilken fart bilen hans må ha for at dette skal skje.
Dersom bilene skal møtes midt mellom A og B, vil bil A bruke timer.
Bil B:
Bil B må holde en hastighet på 75 kilometer per time for at de skal møtes på midten.
er rettvinklet.
Et punkt P på AC er plassert slik at
PA + AB = PC + CB.
Vi setter PC = x og CB = y .
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.
b) Bestem x og y ved å løse likningssystemet.
\left[ \begin{align*} x+y=30\\\ (10+x)^2+400 = y^2 \end{align*}\right]
\left[ \begin{align*} x=30 - y \\\ (10+30-y)^2+400 = y^2 \end{align*}\right]
\left[ \begin{align*} x=30 - y \\\ (1600 -80y +y^2 +400 = y^2 \end{align*}\right]
Den nederste likningen gir: 80y = 2000, dvs.
er rettvinklet.
Et punkt P på AC er plassert slik at
PA + AB = PC + CB.
Vi setter PC = x og CB = y .
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.
b) Bestem x og y ved å løse likningssystemet.
Det er like langt fra B til P, som C og om A, derav første likning.
er Pytagoras anvendt på trekanten ABC.
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den
første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?
Avlesning av grafen i a gir ca. 23 km.
Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 16–74 år som røykte daglig i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012.
La x være antall år etter 2002. (La x = 0 svare til år 2002, x = 1 til år 2003, osv.)
- a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 2002 til 2012.
- b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025.
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den
første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?
Bruker Geogebra og finner at den lineære funksjonen som passer best med de oppgitte data er :
y = 0,83x + 2,31
x er antall uker etter treningsstart.
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den
første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?
Avlesning av grafen i a viser at det skjer den niende treningsuken.
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes x dager etter 31. mars,tilnærmet var gitt ved funksjonen
Her svarer til 31. mars, til 1.april, til 2 . april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag ?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai ?
c) Bestem
Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
80 personer, ettersom .
1,045 tilsvarerer en vekst på 4,5%.
Svaret blir da 80 personer og 4,5% vekst.
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes x dager etter 31. mars,tilnærmet var gitt ved funksjonen
Her svarer til 31. mars, til 1.april, til 2 . april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai.
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag ?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai ?
c) Bestem
Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
f(16) forteller hvor mange "likes" det var 16. april, 162.
f\'(16) forteller om den momentane endringen denne dagen, en økning på ca 7 "likes".
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.