1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Oppgave 1 (5 poeng)
Løs likningenea)
b)
c)
Oppgave 2 (2 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgave 3 (6 poeng)
Skriv så enkelt som muliga)
b)
c)
Oppgave 4 (2 poeng)
Løs ulikheten
Oppgave 5 (5 poeng)
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
Oppgave 6 (2 poeng)
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
Oppgave 7 (4 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Lag en skisse av grafen til f . b) Løs likningen
Oppgave 8 (7 poeng)
Funksjonen g er gitt veda) Bestem b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [0, 2]. d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er 24.
Oppgave 9 (3 poeng)
Nedenfor ser du fortegnslinjen til , for en funksjon f.
Oppgave 1 (3 poeng)
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner. Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.Oppgave 2 (6 poeng)
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %. Vi lar X være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at X er binomisk fordelt.b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
Oppgave 3 (7 poeng)
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
a) Forklar at x og y må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
Oppgave 4 (8 poeng)
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom g som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de x første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen f gitt vedvære en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de x første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
klikk her for 10 sekunders quiz
.
Modellen er beregnet for mellom 0 og 10 timer.
a) Ved hvilket tidpunkt vokser bakterietallet raskest?
b) Hva er vekstfarten da?
a) For hvilken x er overskuddet størst og hvor stort er det?
b) Regn ut og . Hva forteller disse verdiene?
a) Tolk tallene 25 og 50.
b) Hva var prisen for en tur på 4,3 km?
c) Hvor langt kommer du for 300 kr?
Riktig svar!
Siden stigningstallet er 6 og den går igjennom punktet (3,9) kan man skrive linjen som funksjonen:
Nullpunktet til denne linjen er da:
Linjen skjærer x-aksen i , noe som ikke er origo.
Tabellen nedenfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i noen år fra 1997 til 2013.
I resten av oppgaven vil vi bruke modellen
Riktig svar!
Produksjonen passerer 2000000 tonn i år 2020.
Fire personer deltar i et terningspill. Hver av deltakerne kaster en terning tre ganger i første runde.
Sannsynligheten for at en bestemt deltaker får minst én sekser i løpet av de tre kastene, er p.
a) Vis at .
b) Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
Riktig svar!
Binomisk utvalg, to av fire, med p = 0,4213. Bruker geogebra:
Det er 35,7% sannsynlig at nøyaktig to deltakere får minst en sekser (hver) i kastene.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem f\'(x).
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
c) Bestem ligningen til tangenten til grafen i punktet (0,f(0)).
d) Grafen til f har en annen tangent som er parallell med tangenten du fant i oppgave c). Bestem tangeringspunktet for denne tangenten.
Riktig svar!
Likning til tangenten til grafen i (0, f(0)):
f(0) = -4
f\'(0) = 9
En bedrift produserer enheter av en vare. Enhetskostnaden kroner per produsert enhet er gitt ved
a) Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 200 enheter av varen?Hva blir da den samlede produksjonskostnaden?
Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 2000 kroner per enhet.
b) Forklar at bedriftens overskudd O når det produseres x enheter, er gitt ved
c) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?
Riktig svar!
Vi deriverer overskuddsfunksjonen og setter den deriverte lik null, og finner x. ( Vi ser at dette er en parabel med et maksimum, siden det er negativt fortegn foran andregradsleddet.)
Produksjon av hundre enheter gir det største overskuddet, O(100) = 20000 kr.
En bedrift regner med at kostnadene i kroner ved å produsere x enheter av en vare per dag er gitt ved
Bedriften selger alle varene de produserer for 200 kroner per enhet.
a) Forklar at overskuddet O per dag er gitt ved
b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd per dag. Hva blir det største overskuddet?
Riktig svar!
Setter den deriverte lik null og får løsningen x = 200.
200 solgte enheter gir størst overskudd.
En bedrift produserer enheter av en vare. Kostnadene (i kroner) er gitt ved
Inntektene I (i kroner) er gitt ved
der p er salgsprisen per enhet for varen.
a) Vis at overskuddet O er gitt ved
b) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom p =140?
c) For en bestemt salgspris p er overskuddet størst når bedriften produserer og selger
2000 enheter. Hva er denne salgsprisen p?
Riktig svar!
\begin{align*} O(x)&=-0.1x^2+150x-20000 \end{align*}
Har et uttrykk på formen Hvis kan vi være sikre på at grafen til funksjonen har et toppunkt og ikke et bunnpunkt.
Dermed kan vi trygt derivere og sette den deriverte lik null. Vi vil da finne produksjonsmengden som gir størst overskudd.
\begin{align*} O\'(x)&=-0.2x+150\\\ 0&=-0.2x+150\\\ 0.2x&=150\\\ x&=\underline{\underline{750}} \end{align*}
Med vil det gi størst overskudd å produsere 750 enheter.
En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene K ved å produsere x enheter av varen per dag er
,
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til K i intervallet . Hva forteller dette svaret oss?
b) Bestem K\'(100). Hva forteller dette svaret oss?
Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?
Riktig svar!
Overskuddet er størst når grenseinntekter er lik grensekostnader.
Overskuddet er størst når det produseres 150 enheter.
Her er en annen måte å tenke på:
Overskuddet er gitt ved inntekt minus kostnad, altså:
Inntekt er 60 kroner per enhet, så det betyr:
Overskuddet er størst når den deriverte av funksjonen er lik null:
Overskuddet er størst når det produseres 150 enheter.
En bedrift produserer enheter av en vare. Kostnadene (i kroner) er gitt ved
Inntektene I (i kroner) er gitt ved
der p er salgsprisen per enhet for varen.
a) Vis at overskuddet O er gitt ved
b) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom p =140?
c) For en bestemt salgspris p er overskuddet størst når bedriften produserer og selger
2000 enheter. Hva er denne salgsprisen p?
Riktig svar!
Det er oppgitt at overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 2000 enheter. Vi kan dermed anta at
\begin{align*} O\'(x)&= -0.2x+(10+p)\\\ 0 &= -0.2 \cdot 2000 + 10 + p \\\ 0 &= -400 + 10 + p \\\ p &= \underline{\underline{390}} \end{align*}
Riktig svar!
Ellers ville den hatt et minimum, siden grafen vil gått nedover og ikke oppover.
Riktig svar!
Det er der hvor krummingen er null.
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem eventuelle nullpunkter til f.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.
c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til f.
d) Lag en skisse av grafen til f.
Riktig svar!
Vendepunkt:
f\'\'(x)= -12x^2 + 24x
f\'\'(x)=0
er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er og .
Riktig svar!
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem nullpunktene til f.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f.
c) Lag en skisse av grafen til f.
d) Bestem likningen for linjen som tangerer grafen til f i punktet (1, (1)) f .
Likningen til tangenten blir da:
En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og
sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene.
En uke har butikken tilgang til 300 kg torsk og 200 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de
ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La x være antall kilogram de produserer av type A, og y antall kilogram de produserer av type B.
b) Skraver det området ulikhetene avgrenser, i et koordinatsystem.
Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 35 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke.
Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kroner per kilogram for type B.
c) Butikken lager og selger x kg av type A og y kg av type B. Forklar at fortjenesten er gitt ved
Produksjonene er begrenset av de blå linjene og må ligge i det skraverte feltet i b. En rød nivålinje er lagt inn:
Vi observerer at fortjenesten kan bli noe større enn det, nærmere bestemt det volumet som er gitt i skjæringspunktet mellom linjene som begrenses av maksimumsalg og tilgang på torsk:
og
Vi får:
Innsatt for x gir det x= 400
Man bør altså produsere 400 kg av type A og 150 kg av type B. Fortjenesten blir da kroner.
Tabellen nedenfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i noen år fra 1997 til 2013.
a) La x være antall år etter 1997. Framstill tallene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem.
Bestem en eksponentiell modell som passer bra med tallene i tabellen.
Hvor mange prosent vokser produksjonen per år?
I resten av oppgaven vil vi bruke modellen
c) Når vil produksjonsveksten for første gang være større enn 100 000 t per år?
Vekstfaktoren er 1,08, det betyr at det er en økning på 8% per år.
En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og
sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene.
En uke har butikken tilgang til 300 kg torsk og 200 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de
ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La x være antall kilogram de produserer av type A, og y antall kilogram de produserer av type B.
Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 35 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke.
Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kroner per kilogram for type B.
d) Hva er den største fortjenesten butikken kan få?
Funksjonen f er gitt ved
a) Bestem f\'(x).
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
c) Bestem ligningen til tangenten til grafen i punktet (0,f(0)).
d) Grafen til f har en annen tangent som er parallell med tangenten du fant i oppgave c). Bestem tangeringspunktet for denne tangenten.
Den deriverte til den andre tangenten må være 9.
f(4)=0
Den andre tangenten med stigningstall 9 tangerer i punktet (4,0)
Salgsprisen P i kroner per kilogram for et bestemt fiskeslag er gitt ved
der x er antall tonn fisk som selges per uke.
a) Forklar at den totale inntekten I fra fiskesalget en uke er gitt ved
En annen modell F for prisen per kilogram er gitt ved
der a er et positivt tall.
For en bestemt verdi av a blir inntektene størst når det selges 3 t.
c) Bruk CAS til å bestemme denne verdien av a.
P(x) er kroner per kilogram. x er antall tonn. Inntektene blir antall kilo solgt multiplisert med kilopris:
Salgsprisen P i kroner per kilogram for et bestemt fiskeslag er gitt ved
der x er antall tonn fisk som selges per uke.
b) Bruk graftegner til å bestemme hvilken fiskemengde som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten da?
En annen modell F for prisen per kilogram er gitt ved
der a er et positivt tall.
For en bestemt verdi av a blir inntektene størst når det selges 3 t.
Salgsprisen P i kroner per kilogram for et bestemt fiskeslag er gitt ved
der x er antall tonn fisk som selges per uke.
En annen modell F for prisen per kilogram er gitt ved
der a er et positivt tall.
For en bestemt verdi av a blir inntektene størst når det selges 3 t.
Salg av ca 4,5 tonn fisk gir de største inntektene, ca 113 000 kroner per uke.
En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og
sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene.
En uke har butikken tilgang til 300 kg torsk og 200 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de
ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La x være antall kilogram de produserer av type A, og y antall kilogram de produserer av type B.
b) Skraver det området ulikhetene avgrenser, i et koordinatsystem.
Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 35 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke.
Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kroner per kilogram for type B.
Variable kostnader per kg, type A:
Variable kostnader per kg, type B:
Fortjeneste:
Fire personer deltar i et terningspill. Hver av deltakerne kaster en terning tre ganger i første runde.
Sannsynligheten for at en bestemt deltaker får minst én sekser i løpet av de tre kastene, er p.
a) Vis at .
b) Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
Dersom BARE de to første skal få en eller flere seksere, betyr det at de to siste ikke får seksere i det hele tatt:
P( de to første får minst en sekser)
Det er ca. 5,9% sannsynlighet for at bare de to første får seksere.
Fire personer deltar i et terningspill. Hver av deltakerne kaster en terning tre ganger i første runde.
Sannsynligheten for at en bestemt deltaker får minst én sekser i løpet av de tre kastene, er p.
a) Vis at .
b) Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
P( minst en sekser ) = 1 - P(ingen seksere)
Tre kast:
P( minst en sekser)
Det er altså litt over 42% sannsynlig at en bestemt spiller får en eller flere seksere.
En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og
sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene.
En uke har butikken tilgang til 300 kg torsk og 200 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de
ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La x være antall kilogram de produserer av type A, og y antall kilogram de produserer av type B.
a) Begrunn at ulikhetene nedenfor passer med opplysningene.
Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 35 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke.
Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kroner per kilogram for type B.
c) Butikken lager og selger x kg av type A og y kg av type B. Forklar at fortjenesten er gitt ved
d) Hva er den største fortjenesten butikken kan få?
x er kilogram type A y er kilogram type B
Produksjonen må være et positivt antall kg.
De greier ikke selge mere enn 550 kg totalt.
Er begrensningen i tilgang på torsk.
Er begrensningen i tilgang på sei.
Tabellen nedenfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i noen år fra 1997 til 2013.
I resten av oppgaven vil vi bruke modellen
b) Når vil produksjonen passere 2 000 000 t?
Vi ser at kurven vokser brattere og brattere etter som tiden går. Spørsmålet er når den momentane veksten, altså den deriverte, først når 100000.
Løser i CAS:
Den årlige veksten vil være over 100000 fra 2014 og utover, i følge modellen.
En bedrift produserer enheter av en vare. Enhetskostnaden kroner per produsert enhet er gitt ved
a) Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 200 enheter av varen?Hva blir da den samlede produksjonskostnaden?
Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 2000 kroner per enhet.
b) Forklar at bedriftens overskudd O når det produseres x enheter, er gitt ved
c) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?
Dersom det produseres 200 enheter er enhetskostnaden kr. 2100,-
De samlede produksjonskostnadene blir:
Totale produksjonskostnader blir 420 000 kroner.
En bedrift produserer enheter av en vare. Enhetskostnaden kroner per produsert enhet er gitt ved
a) Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 200 enheter av varen?Hva blir da den samlede produksjonskostnaden?
Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 2000 kroner per enhet.
b) Forklar at bedriftens overskudd O når det produseres x enheter, er gitt ved
c) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?
Overskudd er inntekter minus kostnader.
En bedrift regner med at kostnadene i kroner ved å produsere x enheter av en vare per dag er gitt ved
Bedriften selger alle varene de produserer for 200 kroner per enhet.
a) Forklar at overskuddet O per dag er gitt ved
b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd per dag. Hva blir det største overskuddet?
Inntekt er :
Overskudd = Inntekt - Kostnad:
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.