VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Tallfølger og rekker
19:36
08:38
28:45
49:28
17:57
41:31
28:09
35:10
28:19
15:14
Integrasjon
23:57
10:26
50:30
26:51
13:52
44:32
23:29
44:01
Trigonometriske likninger
18:56
30:28
20:01
03:26
13:30
19:46
52:10
21:52
Trigonometriske funksjoner
31:47
40:37
Vektorer & romgeometri
28:24
13:30
23:47
15:07
31:39
47:19
26:56
07:03
41:39
18:40
17:19
27:40
14:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
06:29
Teori 11
Arealet under graf, med geogebra.
Arealet under en graf med GeoGebra.
Quiz section 0
Hvilken metode brukes for å beregne arealet under en kurve?
Derivasjon
Integrasjon
Multiplikasjon
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Integrasjon.
Quiz section 1
Kan integrasjon brukes til å summere små biter av areal?
Usikkert
Nei
Ja
Da går vi inn i GeoGebra og tar et par tilfeldig valgte funksjoner, mer eller mindre. Det er et par ting [..] faktisk som vi skal tenke litt på etter hvert. La oss ta en enkel og grei ting som sinus x.
Quiz section 2
Er det mulig å integrere ulike funksjoner?
Bare lineære
Nei
Ja
Her [..], harmonisk og fin.
Quiz section 3
Finnes det funksjoner med periodiske egenskaper?
Nei
Ja
Bare i geometri
Og så vil vi ha det arealet mellom null og ti. Og da skriver jeg da integral. Vi ser at det er noe, vi ser jo at det er noe som skjer her nede.
Quiz section 4
Kan man bruke integrasjon for å finne areal over et gitt intervall?
Nei
Ja
Bare for negative intervaller
Integral.
Quiz section 5
Hva kalles prosessen for å finne en antiderivert?
Derivasjon
Integrasjon
Ingen av delene
Ja.
Quiz section 6
Er integrasjon og derivasjon omvendte prosesser?
Ja
Nei
Bare i visse tilfeller
Komma.
Quiz section 7
Kan desimaler være viktige ved angivelse av grenser for integrasjon?
Ja
Nei
Bare ved hele tall
null komma fire.
Quiz section 8
Må man spesifisere intervallgrenser nøyaktig for integrasjon?
Bare for negative tall
Nei
Ja
Velkommen skravert og greier. A er lik to centimeter, så det var de alle der. Det er lik to.
Quiz section 9
Kan integraler representere geometriske størrelser?
Ja
Nei
Vet ikke
Og sånn kan vi jo bytte ut hvis vi for eksempel går mellom null og to pi i stedet. La oss bare gjøre det om til to pi.
Quiz section 10
Kan man justere integrasjonsgrenser etter behov?
Ja
Bare ved spesielle funksjoner
Nei
Sånn.
Quiz section 11
Kan integralet av en periodisk funksjon over en hel periode være null?
Ja
Nei
Alltid positivt
Og da sier han at det arealet er null. Det er fordi det er like mye positivt her som negativt der, og summen blir da null. Så det betyr jo strengt at arealet... Men integralet fra null til to pi er null. Hvis vi skulle regnet ut hvor mye arealet der var, måtte vi ta to der pluss to der, og da hadde vi fått fire. Men uansett, da gjør man det og så skal vi se på en annen funksjon. Jeg har lyst til å kanskje ta... Vi kan gå. Ja, vi kan bare være sånn, men vi gjemmer den der.
Quiz section 12
Kan et integral bli null selv om funksjonen har positive og negative verdier?
Ja
Nei
Bare om funksjonen er konstant
Sånn, og så skriver vi en ny funksjon.
Quiz section 13
Er det mulig å integrere nye funksjoner når som helst?
Ja
Nei
Bare hvis funksjonen er lineær
X ln x, og nå skal jeg gjøre det sånn at det blir feil, for det er noe med disse ln-funksjonene man skal være litt obs på. Du satt inn noe ugyldig, sier han.
Quiz section 14
Må man alltid vurdere funksjonens definisjonsområde før man integrerer?
Ikke nødvendig
Nei
Ja
For det første må man ha mellomrom, så nå vil den kjenne igjen ln, og så bør vi også ha parentes. Kanskje det ikke er nødvendig, men...
Quiz section 15
Krever matematisk notasjon ofte presis formatering?
Ja
Nei
Bare ved komplekse funksjoner
Da kommer den.
Quiz section 16
Kan små endringer i notasjonen endre resultatet?
Kun ved store endringer
Nei
Ja
Og her ser vi nå at det er et nullpunkt på en, og så [..] funksjonen på null. Den er ikke definert for negative tall. ln til noe negativt finnes ikke, og den er heller ikke definert for ln til null. Så hvis vi nå tar integral...
Quiz section 17
Er ln(x) kun definert for x større enn 0?
Ja
Nei
Bare i visse tilfeller
Til g, komma null komma en. Da vil jeg finne arealet mellom null og en.
Quiz section 18
Er integrasjon over intervallet [0,1] en vanlig praksis i matematikk?
Nei
Ja
Sjeldent
Så ser vi at OK, den har på en måte ikke protestert mot det. Men det står udefinert.
Quiz section 19
Kan en funksjon være udefinert i deler av integrasjonsintervallet?
Bare hvis x < 0
Nei
Ja
Og det går på den.
Quiz section 20
Kan funksjoner med singulariteter gi problemer under integrasjon?
Av og til
Nei
Ja
Problemet er tallet null, men da kan vi omgå det ved å skrive null komma null null. Legg merke til at de bruker punktum der, og så bare masse nuller. Sånn kan man gå så nært man vil, nemlig. Og da sier han at det arealet der, eller det integralet, er interessant. Det ble minus null komma tjuefem.
Quiz section 21
Kan nullpunkter av og til skape utfordringer i et integral?
Ja
Bare i statistikk
Nei
Og vi kan jo for mors skyld si om
Quiz section 22
Er negative integralsvar mulig?
Bare ved diskrete funksjoner
Nei
Ja
Musikk på innstillingene, og så kan vi ta avrunding. Kan vi ta tre gjeldende sifre? For det er jo ikke sikkert at det der var en fjerdedel, liksom.
Quiz section 23
Kan avrunding påvirke tolkningen av integrasjonsresultat?
Av og til
Nei
Ja
Og det ser nesten sånn ut, hehe.
Quiz section 24
Kan flere desimaler gi mer presise integrasjonsresultater?
Ja
Nei
Alltid samme verdi
Vi prøver med litt flere da.
Quiz section 25
Kan man ofte justere presisjon i digitale verktøy?
Nei
Ja
Av og til
Fem, ja. Det ser faktisk ut som at det blir minus en fjerdedel, og det kunne vi sikkert ha bekreftet ved å derivere den funksjonen, men det har vi ikke tenkt å gjøre nå. Nå skal vi hente fram igjen den andre også, den første funksjonen rett og slett sånn, og så var det en litt morsom mulighet. Det var integral.
Quiz section 26
Kan integrasjon av en funksjon gi et brøkresultat?
Ja
Nei
Bare ved lineære funksjoner
Hvis vi ser nå, og jeg begynte å skrive, så står det integral mellom funksjon, funksjon, start, slutt. Så hvis vi tar integral mellom
Quiz section 27
Kan man integrere mellom to ulike funksjoner for å finne området mellom dem?
Ja
Nei
Bare i 3D
f og g.
Quiz section 28
Er det vanlig å kalle ulike funksjoner for f og g?
Kun i programmering
Nei
Ja
Så gjør vi sånn som i stad. Vi tar null komma null null null null null null null en.
Quiz section 29
Kan man bruke svært små intervaller for å unngå problemer ved integrasjon?
Ukjent
Nei
Ja
Og til, ja, hehe. Det hadde jo vært morsomt å finne skjæringspunktet der, men jeg vet ikke om jeg orker å gjøre det.
Quiz section 30
Kan man finne skjæringspunkter mellom funksjoner for å avgrense et areal?
Ikke med integrasjon
Nei
Ja
Jo, vi kan gjøre det, men foreløpig ikke mellom null og en.
Quiz section 31
Kan man velge nye grenser for integrasjon basert på skjæringspunkter?
Kun ved polynom
Nei
Ja
[..] Sånn. Da regner den ut det arealet der. Nå skal jeg ta bort den forrige. Så nå har den regnet det arealet som vi ser her. Men vi kan finne skjæringspunktet der, og hvis vi nå tar og går her... Det er ikke alltid så lett dette her, men jeg tror det går.
Quiz section 32
Er det mulig å plotte flere integraler samtidig i et verktøy?
Kun ett om gangen
Ja
Nei
Skal vi se.
Quiz section 33
Kan digitale verktøy automatisk finne skjæringspunkter?
Kun i spesielle tilfeller
Nei
Ja
Skjæring mellom to objekter, mellom den og den. Hmm. Da kom den der, prøver en gang til. Ja, der kom den. Klarte vi det, litt flaks. Der kom den på B. Det var det jeg var ute etter, og det heter en komma sju fem to sju.
Quiz section 34
Heter møtepunktet mellom to grafer ofte et skjæringspunkt?
Kun for polynomer
Nei
Ja
Ok, så hvis vi tar det stedet og endrer noe på...
Quiz section 35
Kan man justere integrasjonsgrenser etter å ha funnet et skjæringspunkt?
Bare hvis funksjonene er lineære
Ja
Nei
Det var den, så hvis vi nå skriver, i stedet for å skrive en komma null null, så skriver vi en komma sju.
Quiz section 36
Kan nøyaktige tall fra et skjæringspunkt brukes i integrasjonsberegning?
Nei
Ja
Irrelevant
Fem.
Quiz section 37
Kan desimaler som 1.75 brukes som grenser i en integralberegning?
Bare heltall
Nei
Ja
To sju.
Quiz section 38
Er det mulig å spesifisere flere desimaler for å få mer nøyaktig integrasjon?
Nei
Ja
Bare én desimal
Som for, da får vi med hele, det bare avgrenser arealet, så hakeparentes.
Quiz section 39
Kan større grenser gi et større areal under en funksjon?
Ja
Nei
Det blir alltid likt
Skal vi se.
Quiz section 40
Kan man velge fleksible start- og sluttpunkter for integrasjon i et grafverktøy?
Nei
Vet ikke
Ja
Komma, det skulle være punktum sju fem to sju, så vi prøver det.
Quiz section 41
Kan presise desimaler være avgjørende for nøyaktig arealberegning?
Ja
Nei
Ikke viktig
Da ser vi at den klarte det, så det arealet vi ser her nå mellom de to grafene er en komma null åtte sju null.
Quiz section 42
Kan integrasjon mellom to grafer gi et positivt tall?
Av og til
Nei
Ja
Quiz section 43
Quiz section 44
04:27
Teori 1
Bestemt integral - fundamentalteoremet.
02:11
Teori 2
Å finne areal ved bestemt integral.
04:11
Teori 3
Å finne areal ved bestemt integral: Vi regner.
01:38
Teori 4
Bestemt og ubestemt integral.
03:51
Teori 5
Hvorfor er ?
06:00
Teori 6
Vi antideriverer.
01:11
Teori 7
03:19
Teori 8
Bestemt integral og areal under x-akse.
09:52
Teori 9
Arealet delvis over og delvis under x-aksen.
07:21
Teori 10
Arealet mellom to grafer.
03:55
Oppgave 1
Finn det ubestemte integralet til funksjonen
04:29
Oppgave 2
Grafen til funksjonen er tegnet på tavlen. Funksjonen .
a) Bestem
b) For hvilke verdi av tallet er .
01:58
Oppgave 3
Finn det ubestemte integralet
06:06
Oppgave 4
Gitt funksjonen . Tegn grafen og finn på to måter arealet mellom grafen og x-aksen fra x = -2 til 2.
04:29
Oppgave 5
Finn det ubestemte integralet
05:54
Oppgave 6
Vi tenker oss dette som en del 1 oppgave, dvs ingen hjelpemidler tillatt: Gitt funksjonen . Tegn grafen, og finn arealet mellom grafen og x-aksen mellom x = 1 og x = 4.
Hva representerer et bestemt integral?
00:00
Hva heter integralet uten grenser?
00:21
Hvordan skrives vanligvis antiderivert funksjon?
00:39
Hva skjer når en antiderivert funksjon deriveres?
00:54
Hva kalles den antideriverte funksjonen?
01:07
Hva må legges til ved ubestemt integral?
01:16
Hvilken metode brukes for å beregne arealet under en kurve?
00:00
Kan integrasjon brukes til å summere små biter av areal?
00:04
Er det mulig å integrere ulike funksjoner?
00:07
Finnes det funksjoner med periodiske egenskaper?
00:24
Kan man bruke integrasjon for å finne areal over et gitt intervall?
00:29
Hva kalles prosessen for å finne en antiderivert?
00:44
Er integrasjon og derivasjon omvendte prosesser?
00:50
Kan desimaler være viktige ved angivelse av grenser for integrasjon?
00:54
Må man spesifisere intervallgrenser nøyaktig for integrasjon?
00:56
Kan integraler representere geometriske størrelser?
01:04
Kan man justere integrasjonsgrenser etter behov?
01:16
Kan integralet av en periodisk funksjon over en hel periode være null?
01:23
Kan et integral bli null selv om funksjonen har positive og negative verdier?
01:24
Er det mulig å integrere nye funksjoner når som helst?
02:00
Må man alltid vurdere funksjonens definisjonsområde før man integrerer?
02:07
Krever matematisk notasjon ofte presis formatering?
02:16
Kan små endringer i notasjonen endre resultatet?
02:31
Er ln(x) kun definert for x større enn 0?
02:33
Er integrasjon over intervallet [0,1] en vanlig praksis i matematikk?
02:48
Kan en funksjon være udefinert i deler av integrasjonsintervallet?
02:56
Kan funksjoner med singulariteter gi problemer under integrasjon?
03:03
Kan nullpunkter av og til skape utfordringer i et integral?
03:06
Er negative integralsvar mulig?
03:28
Kan avrunding påvirke tolkningen av integrasjonsresultat?
03:33
Kan flere desimaler gi mer presise integrasjonsresultater?
03:43
Kan man ofte justere presisjon i digitale verktøy?
03:47
Kan integrasjon av en funksjon gi et brøkresultat?
03:51
Kan man integrere mellom to ulike funksjoner for å finne området mellom dem?
04:18
Er det vanlig å kalle ulike funksjoner for f og g?
04:30
Kan man bruke svært små intervaller for å unngå problemer ved integrasjon?
04:37
Kan man finne skjæringspunkter mellom funksjoner for å avgrense et areal?
04:42
Kan man velge nye grenser for integrasjon basert på skjæringspunkter?
04:50
Er det mulig å plotte flere integraler samtidig i et verktøy?
04:55
Kan digitale verktøy automatisk finne skjæringspunkter?
05:14
Heter møtepunktet mellom to grafer ofte et skjæringspunkt?
05:16
Kan man justere integrasjonsgrenser etter å ha funnet et skjæringspunkt?
05:38
Kan nøyaktige tall fra et skjæringspunkt brukes i integrasjonsberegning?
05:45
Kan desimaler som 1.75 brukes som grenser i en integralberegning?
05:55
Er det mulig å spesifisere flere desimaler for å få mer nøyaktig integrasjon?
05:57
Kan større grenser gi et større areal under en funksjon?
05:59
Kan man velge fleksible start- og sluttpunkter for integrasjon i et grafverktøy?
06:07
Kan presise desimaler være avgjørende for nøyaktig arealberegning?
06:11
Kan integrasjon mellom to grafer gi et positivt tall?
06:19
Hvilken metode brukes ofte for å beregne areal mellom to funksjoner?
00:00
Hva slags ligning kan oppstå når to kvadratiske funksjoner møtes?
00:50
Er det lurt å se på grafer før man regner?
01:01
Hva integrerer man når man skal finne areal mellom to kurver?
01:05
Hvilke punkter trenger man for å bestemme integrasjonsgrensene?
01:19
Er det vanlig med mye algebraisk arbeid i slike oppgaver?
01:39
Bør man være nøye med parenteser ved utregning?
01:53
Hvilken regneoperasjon er sentral for å klargjøre et uttrykk før integrasjon?
01:59
Er nøyaktige fortegn viktige i integrasjonsregning?
02:09
Er små regnefeil vanlige når man håndberegner integraler?
02:14
Kan man noen ganger integrere direkte uten å omforme uttrykket først?
02:19
Hva blir potensen til x² etter integrasjon?
02:28
Endrer en konstant selve x-leddene i integrasjonsresultatet?
02:35
Fører flere ledd i en funksjon til mer regning?
02:38
Hva kalles motsatt operasjon av derivasjon?
02:42
Bruker man ofte skjæringspunktene som integrasjonsgrenser?
02:47
Hva kalles funksjonen man får etter integrasjon?
02:53
Bør man sjekke hvilken av funksjonene som ligger øverst?
03:01
Setter man inn øvre og nedre grense i den antideriverte?
03:15
Kan man gjøre tastefeil eller småfeil ved håndregning?
03:21
Blir det mange tall å holde styr på ved polynomintegrasjon?
03:33
Er nøyaktighet viktig ved manuell integrasjon?
03:43
Kan små algebrafeil endre sluttresultatet?
03:48
Bør man være særlig nøye med parenteser under subtraksjon?
03:51
Påvirker fortegn utfallet av integrasjonen?
03:58
Trekker man den antideriverte ved nedre grense fra øvre grense?
04:02
Hvorfor kan det være fordelaktig å løse opp parentesene først?
04:06
Kan løsing av parenteser føre til flere ledd?
04:09
Hva gjør man når ledd har ulike nevnere?
04:13
Er fellesnevner nyttig for å legge sammen brøker?
04:18
Bør man summere ledd etter at fellesnevner er funnet?
04:23
Er det ofte mange steg ved integrasjon av polynomer?
04:31
Kan en slik integrasjon være tidkrevende?
04:35
Bør man dobbeltsjekke algebraen til slutt?
04:39
Kan parentesoppløsning tidlig gjøre integrasjonen lettere?
04:50
Må man holde kontroll på fortegn når man multipliserer inn i parenteser?
05:07
Hva bør man unngå for å spare seg ekstra arbeid under integrasjonen?
05:15
Hjelper det å være ekstra fokusert på små steg i regningen?
05:19
Er grundige beregninger ofte nødvendige for presise resultater?
05:23
Hva kan skje hvis man roter til fortegn underveis?
05:32
Kan tegning av funksjoner gi bedre forståelse før integrasjon?
05:44
Er det alltid nødvendig å tegne grafer på forhånd?
05:49
Kan digitale verktøy forenkle integrasjonsprosessen?
05:55
Er matematisk forståelse fortsatt viktig selv med digitale hjelpemidler?
06:00
Bør man kunne manuell integrasjon?
06:04
Kan systematisk arbeid redusere slurvefeil?
06:07
Hva er en fordel ved å løse mindre deloppgaver først?
06:16
Er fellesnevner en vanlig teknikk ved brøksammenslåing?
06:29
Kan to 2.-gradslikninger gi en felles andregradsligning ved skjæringspunkt?
06:33
Kan man bruke integrasjon for å finne areal mellom kurver?
06:36
Hvorfor er nøyaktighet viktig i matematiske beregninger?
06:46
Blir integrasjon enklere med god oversikt over algebra?
06:54
Kan det spare tid å ha gjort noen utregninger på forhånd?
07:05
Er manuelle beregninger i stand til å gi endelige tallresultater?
07:14
Hva kan antiderivasjon brukes til?
00:00
Hvilken type funksjon er x i annen?
00:23
Hva kalles flaten mellom en funksjonskurve og x-aksen?
00:30
Hva definerer grensene for arealet ved et bestemt integral?
00:37
Hva representerer et bestemt integral mellom to punkter?
00:48
Hva er antiderivert av x i annen?
01:11
Hvorfor inkluderer man ofte en konstant C i ubestemte integraler?
01:30
Hva kjennetegner et bestemt integral?
01:39
Hvorfor dropper man konstanten C i et bestemt integral?
01:46
Hva gjør man med arealfunksjonen når man beregner et bestemt integral?
01:53
Hvordan viser man vanligvis at man skal sette inn grenseverdier i den antideriverte?
02:23
Hvilken standard notasjon brukes for integrasjonsgrenser i en antiderivert?
02:27
Hva menes med "vanlig føring" i matematiske utregninger?
02:29
Hvordan brukes arealfunksjonen i et bestemt integral?
02:31
Hvordan finner man et bestemt integral mellom to grenser generelt?
02:42
Hva gjør man rett etter at øvre grense er satt inn i den antideriverte?
02:53
Hvorfor setter man inn tallverdier for x i antideriverte?
02:55
Hva innebærer x i tredje potens?
02:59
Hva menes med "arealfunksjonen" i integralregning?
03:01
Hvilket symbol brukes for å uttrykke differanse i matematikk?
03:13
Hva beskriver vanligvis en tidligere video i en undervisningsserie?
03:16
Hva betyr det at "det bare gjenstår regning" etter at man har satt opp et integral?
03:24
Hva slags trinn gjenstår ofte etter å ha funnet en antiderivert i et bestemt integral?
03:35
Hvordan finner man totalarealet når man har to funksjonsverdier fra antideriverte?
03:46
Hva betyr det når man sier "men vi kan si det sånn" i en forklaring?
03:52
Hva vil det si at noe "ligger i forklaringen"?
03:55
Hva menes med "måten å gjøre det på" i en matematisk sammenheng?
03:58
Brukes integrasjon for å finne arealer under en kurve?
00:00
Er et bestemt integral definert mellom to grenser?
00:06
Kan et bestemt integral beskrive området mellom to x-verdier?
00:17
Vises et areal under en kurve ofte som et skravert felt?
00:36
Er en antiderivert ofte kalt en arealfunksjon?
00:39
Viser en arealfunksjon arealet fra null til x?
00:52
Brukes b ofte som øvre grense i et bestemt integral?
00:55
Er den deriverte av en arealfunksjon lik den opprinnelige funksjonen?
00:59
Hører en funksjon og dens antideriverte naturlig sammen?
01:10
Må man trekke fra arealet opp til A for å finne arealet mellom A og B?
01:11
Kan man fjerne uønskede deler av et areal ved å trekke dem fra i integralet?
01:21
Er arealet mellom A og B lik antiderivert(B) minus antiderivert(A)?
01:33
Kan bestemte integraler brukes på konkrete funksjoner?
02:00
Hva skjer når integrasjonsgrensene bytter plass?
00:00
Hva representerer et bestemt integral?
00:19
Hva skjer med integralet når grensene snus?
00:40
Hva mangler den enkle definisjonen av integraler?
01:05
Hva beskriver en arealfunksjon?
01:34
Hvordan kan integralet fra a til b uttrykkes?
01:53
Hva viser differansen mellom arealfunksjonene?
02:02
Hva skjer når grensene a og b byttes i integralet?
02:29
Hva betyr "det motsatte" i integralregning?
02:55
Hva skjer når rekkefølgen byttes ved subtraksjon?
03:04
Hva bestemmer integralets fortegn?
03:35
Det ubestemte integralet er det samme som
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden da får man en funksjon for arealet under grafen opp til x.
Bestem integralene:
a)
b)
c)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
(\frac{1}{5}x^5)\' = x^4
(\frac{1}{3}x^3)\' = x^2
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Bestem integralene:
a)
b)
c)
Riktig svar!
Har at
Bruker så delbrøksoppspalting
Dette gjør at
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Bestem integralene:
a)
b)
c)
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Bruker substitusjon ved å sette
u = -x^2 \ , \ u\' = -2x
Ved substitusjon så må man bytte hva man tar integral over, altså man må endre til
Dette gjør man ved at
dx = \frac{du}{u\'}
Setter dette inn og regner ut
Den DERIVERTE til er..
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Dette må man bare huske.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
= ..?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden den deriverte blir x i andre.
Finn integralene
a)
b)
c)
Riktig svar!
Riktig!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen gitt ved
Vi dreier grafen til f om -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.
-
a) Bestem volumet av omdreiningslegemet.
- b) Bestem . Omdreiningslegemet har overflateareal . Forklar at .
-
c) Vi lar Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.
Bestem og dersom grenseverdiene eksisterer. kommenter svarene.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Overflatearealet er hele arealet til omdreiningslegemet, mens kun er verdien til skjæringspunktene mellom omdreiningslegemet og planet.
Hvilket skulle vises.
Vi har funksjonene og . Hva forteller om grafen til f ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Det er det den forteller.
Vi har en (positiv) funksjon f(x) og har også funnet en antiderivert funksjon F(x) . Hvordan finner vi arealet avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjene x = a og x = b, der a < b ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Da blir de slutt minus start. Siden F(b) er større enn F(b) vil arealet være positivt.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi har en funksjon f(x) som er negativ i hele intervallet [2,4]. Da vil være lik
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Siden arealet under x-asken er negativt.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Gitt funksjonen . Hvor stort er arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjene x = 0 og x = 2
Riktig svar!
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi har en kontinuerlig funksjon f(x) og den antiderivert funksjonen F(x) . Når er det riktig å si at representerer arealet avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=a og x = b ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Fordi da skifter F(x) fortegn.
Vi har en funksjon f(x) som er negativ i intervallet a til b, og har også funnet en antiderivert funksjon F(x) . Hvilket uttrykk representerer IKKE arealet avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjene x = a og x = b, der a < b ?
Riktig svar!
Dette blir negativt. Et areal kan ikke være negativt, så dette representerer ikke arealet.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Vi har to funksjoner f(x) og g(x) , og de antideriverte funksjonene F(x) og G(x) . Grafen til g ligger over grafen til x. Hvilket uttrykk gir IKKE arealet mellom grafene i intervallet a til b ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Dette hadde gitt riktig svar hvis f(x) var over g(x), men siden g(x) er større vil gi feil svar.
Funksjonen f er gitt ved
Tangentene i punktene og R(t,f(t)) skjærer hverandre i et punkt P.
Se skisse 1.
a) Vis at likningene for de to tangentene er
og
b) Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved
Den vertikale linjen deler området mellom grafen og tangentene i to områder.
Se skisse 2.
c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.
Se løsning og registrer oppgaven
Vi bruker kommandoen «IntegralMellom[<Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» og finner arealene av de to områdene.
Vi ser at uttrykkene i linje 6 og 8 ovenfor er like og uavhengig av parameterne a og b.
Funksjonen f er gitt ved
Tangentene i punktene og R(t,f(t)) skjærer hverandre i et punkt P.
Se skisse 1.
a) Vis at likningene for de to tangentene er
og
b) Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved
Den vertikale linjen deler området mellom grafen og tangentene i to områder.
Se skisse 2.
c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.
Se løsning og registrer oppgaven
Vi finner skjæringspunktet mellom tangentene ved å løse likningen
Vi finner at
Funksjonen f er gitt ved
Tangentene i punktene og R(t,f(t)) skjærer hverandre i et punkt P.
Se skisse 1.
a) Vis at likningene for de to tangentene er
og
b) Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved
Den vertikale linjen deler området mellom grafen og tangentene i to områder.
Se skisse 2.
c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.
Se løsning og registrer oppgaven
Vi bruker CAS og definerer f i linje 1.
Videre bruker vi kommandoen «Tangent[<Punkt>, <Funksjon>]» og finner likningen for tangentene i linje 2 og 3.
Ved å omforme litt på likningene får vi
og
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.