VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Tallfølger og rekker
19:36
08:38
28:45
49:28
17:57
41:31
28:09
35:10
28:19
15:14
Integrasjon
23:57
10:26
50:30
26:51
13:52
44:32
23:29
44:01
Trigonometriske likninger
18:56
30:28
20:01
03:26
13:30
19:46
52:10
21:52
Trigonometriske funksjoner
31:47
40:37
Vektorer & romgeometri
28:24
13:30
23:47
15:07
31:39
47:19
26:56
07:03
41:39
18:40
17:19
27:40
14:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
05:49
Teori 3
Lengdeintegral.
Lengden av en graf. Hva mener vi med det?
Quiz section 0
Hva omtales når vi snakker om lengden av en graf?
Summen av x-verdier
Avstanden langs kurven
Volumet under aksen
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Rettere sagt et grafsegment.
Quiz section 1
Hva kalles et lite stykke av en kurve?
En akse
Et grafsegment
En tangent
Og du lurer kanskje på hva det er [..]
Quiz section 2
Hva spør man ofte om når man møter et nytt begrep?
Hvordan det staves
Hva det betyr
Hvem som fant det opp
Hvor lang er grafen når X går fra A til B? Hva kan vi spørre om her? Jo, hvis du tenker deg en funksjon f(x), og så ser du da et område mellom X = A og X = B. Det ser du der markert med blått.
Quiz section 3
Hva kalles området mellom x=A og x=B?
En avledning
Et intervall
Et bunnpunkt
Hvor langt er det, liksom?
Quiz section 4
Hva beskriver uttrykket “hvor langt” i matematikk?
Retningen
Avstanden
Farten
Og det vi tenker nå er at vi har i hvert fall lært å regne hypotenuser. Så du ser den trekanten på figuren. Den ene kateten heter Delta X.
Quiz section 5
Hvilket teorem bruker vi for å finne hypotenusen i en rettvinklet trekant?
Pascals setning
Pytagoras
Eulers formel
Og den andre heter Delta Fi fordi vi kan tenke oss at der nede er det Xi, og så et hakk lenger bort er det Xi pluss en. Da har funksjonen vokst fra f av X (funksjonsverdien her nede) til funksjonsverdien der oppe, så det tillegget kalles Delta f. Og da er det som sagt Pytagoras.
Quiz section 6
Hva kalles en endring i funksjonsverdi?
Alfa
Delta f
Phi
{skip} Og vi kan trikse litt med det der. Vi kan faktorisere Delta x i annen utenfor en parentes, og hvis du tar Delta x² utenfor parentes, så står det jo ingenting igjen her, så det blir en. Og ingenting betyr igjen når vi faktoriserer.
Quiz section 7
Hva betyr det å faktorisere ut Δx²?
Å ta Δx² utenfor en parentes
Å dele alt på x
Å legge sammen alle leddene
Med litt slurvete sagt, men du skjønte hva jeg mente. Delta x i annen ganger igjen blir det som sto der, og hvis du tar Delta noen ganger med den brøken da... Vi ser at Delta f hadde jo ikke Delta x i det hele tatt. Nei, unnskyld, Delta X.
Quiz section 8
Hva kalles det når vi tar ut en felles faktor fra et uttrykk?
Ekspansjon
Faktorisering
Konjugering
Men hvis du allikevel trekker utenfor parentes, så må det få en sånn nevner, fordi da stemmer det jo at Delta ganger den brøken blir det vi startet med.
Quiz section 9
Hva må ofte justeres i en brøk når vi trekker ut en faktor?
Enheten
Nevneren
Telleren
Sånn.
Quiz section 10
Hvilket kort ord kan antyde at noe er ferdig eller forklart?
Sum
Sånn
Deriv
Og det kan vi gjøre litt til med. Som du ser har vi tatt den Delta X [..]. Vi har tatt kvadratroten av det, og når du tar kvadratrot, når det ikke er kvadrert lenger, så får du på en måte... Hvis du tar kvadratroten av fem i annen, så får du fem.
Quiz section 11
Hva er kvadratroten av et tall i andre potens?
Tallet ganget med 2
Tallet selv
0
km², og det andre er det du ser der oppe, det som står igjen under roten.
Quiz section 12
Hvilken enhet kan brukes for å måle areal?
Liter
km²
Newton
{skip} Men dette var jo bare å trikse litt med den ene lengden av den hypotenusen der. Men det blir jo helt feil å påstå at den hypotenusen er det samme som den blå kurven.
Quiz section 13
Er en rett linje alltid lik lengden til en kurve?
Bare hvis kurven er en sirkel
Nei
Ja, alltid
På den annen side, hvis vi hadde hatt mange, og delt opp intervallet fra A til B i mange slike biter.
Quiz section 14
Hva skjer når vi deler et intervall i mange små biter?
Vi mister hele funksjonen
Vi får mange små segmenter
Ingenting endres
Vi må legge sammen alle de rette segmentene mellom x = A og x = B. Det er jo ikke bare ett. På tegningen har vi bare ett, men vi kunne laget flere slike.
Quiz section 15
Hva gjør vi med de rette linjesegmentene når vi vil finne total lengde?
Vi ganger dem med pi
Vi summerer dem
Vi trekker dem fra hverandre
Og lengden har hvert segment Delta X. Vi må tenke oss at her har vi jo kanskje bare delt i tre.
Quiz section 16
Hva kalles en liten endring i x?
Beta x
Delta x
Sigma x
Så når vi har tatt b minus a delt på tre, så ser vi [..]. Det ble en tredjedel av hele [..]. Men hvis vi deler i n segmenter i stedet, så blir det b minus a delt på n. Det blir da Delta X.
Quiz section 17
Hva er (b − a)/n?
(a + b)/n
(b − a)*n
(b − a)/n
Og hvis du da har mange slike, må vi sørge for at det blir så mange segmenter. Det betyr at Delta X blir veldig liten.
Quiz section 18
Hva skjer med Δx når antall segmenter øker?
Den blir større
Den blir mindre
Den forblir uendret
Så hvis det var noe delt opp, hvis du i stedet for å dele opp i tre, så kunne du delt opp i trehundre segmenter. Da hadde det ikke vært så lett å se på tegningen, men da ville til gjengjeld den hypotenusen ligget mye nærmere grafen, slik at den egentlig representerte lengden til grafsegmentet i samme område.
Quiz section 19
Hva skjer med et polygonstrekk når antall segmenter øker?
Det forsvinner
Det nærmer seg kurvens form
Det blir helt flatt
Vi må sørge for at Delta X blir så liten at det rette segmentet og grafsegmentet i samme intervall blir tilnærmet like lange. Og jeg har skrevet det.
Quiz section 20
Når er et lite rett linjestykke omtrent like langt som en bitteliten kurve?
Når Δx er stor
Når Δx er svært liten
Når vi ikke deler opp
Ja vel.
Quiz section 21
Hvilken norsk frase kan bety “greit” eller “forstått”?
Hei
Ja vel
Nei takk
Skal vi se hva dette betyr. Legge sammen betyr å summere. Du ser det er et summetegn her.
Quiz section 22
Hva kalles prosessen å legge sammen flere ledd?
Differensiering
Divisjon
Summering
Og så tenker vi at for å få det til å bli en så liten Delta X, kan vi ta limit når n går mot uendelig. Jeg sa riktignok trehundre, men vi kan jo gå opp til hva vi vil. Matematisk sett, når dette skal gjøres numerisk, er det kanskje slik at vi er fornøyd med trehundre eller tusen, eller noe slikt.
Quiz section 23
Hva betyr “limit når n går mot uendelig”?
At n blir null
At n blir veldig stort
At n blir negativt
Python for eksempel har ikke noe problem med å gjøre ting tusen ganger.
Quiz section 24
Kan et dataprogram håndtere mange repetisjoner?
Kun i teorien
Ja
Nei
Så summen [..] når n går mot uendelig. Det betyr at vi har mange slike små segmenter, slik som det du ser der, som kommer etter hverandre. Så skal vi legge sammen alle de hypotenusene, og da betyr jo det at det uttrykket vi summerer, er jo akkurat det uttrykket vi jobbet oss frem til her oppe.
Quiz section 25
Hva må vi gjøre for å finne total lengde av mange små linjestykker?
Legge dem sammen
Trekke dem fra hverandre
Lage en ny funksjon
Du ser jeg har markert med rødt den brøken, fordi den brøken, når Delta X går mot null, er jo den deriverte. Dette var noe vi lærte i første klasse, med at [..] R1 også. Delta f på Delta X, limit når Delta X går mot null, er den brøken der det er etter hvert.
Quiz section 26
Hva kalles grenseverdien av (Δf / Δx) når Δx → 0?
Konstantledd
Derivert
Integral
Og det har vi gjort noe med her. Her har vi byttet ut den brøken med f-derivert av Xi, for vi er fortsatt på segment nummer Xi. Men hvis du ser på denne summen her, så er det jo egentlig en slags Riemann-sum, og det har vi snakket om tidligere. Og slike Riemann-summer er jo nettopp i grensa når n går mot uendelig, blir det nettopp det bestemte integralet.
Quiz section 27
Hvilken type sum blir et bestemt integral i grensen?
Riemann-sum
Omvendt funksjon
Summering av logaritmer
Så det betyr at da integrerer vi det vi ser her. Det gir oss lengden på grafsegmentet mellom A og B.
Quiz section 28
Hva kan et bestemt integral representere?
Tyngden av en gjenstand
Lengden av en kurve
Volumet av en sirkel
Quiz section 29
Quiz section 30
04:34
Teori 1
Enheten på aksene og arealet under grafen - Dimensjonsanalyse.
03:29
Teori 2
Gjenommsnitsverdi - power point.
07:29
Oppgave 1
Fra et vannmagasin forsvinner liter vann per minutt, der . Hvor mange liter forsvinner på én time?
09:41
Oppgave 2
Bestemt integral når grafen er helt eller delvis under x-aksen med CAS/Geogebra. Gitt funksjonen .
a) Regn ut
b) Bestem arealet avrgenset av grafen , x-aksen og linjene og . (Vi lærer å bruke en smart kommando i CAS.)
08:00
Oppgave 3
a) Gitt to tall og , slik at . Hva forteller likningen ?
b) Gitt funksjonen , bestem slik at .
07:31
Oppgave 4
En funksjon er definert , der grafen til er gitt på tavla.
a) Tegn en skisse av grafen til .
b) Bestem toppunktet og nullpunktet til .
06:37
Oppgave 5
Grafen til en funksjon er tegnet på tavla.
a) Bestem arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjene og
b) Regn ut de bestemte integralene.
1)
2)
3)
c) Bestem tallet slik at .
05:14
Oppgave 6
Bestem arealet mellom grafene til og .
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.