VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Tallfølger og rekker
19:36
08:38
28:45
49:28
17:57
41:31
28:09
35:10
28:19
15:14
Integrasjon
23:57
10:26
50:30
26:51
13:52
44:32
23:29
44:01
Trigonometriske likninger
18:56
30:28
20:01
03:26
13:30
19:46
52:10
21:52
Trigonometriske funksjoner
31:47
40:37
Vektorer & romgeometri
28:24
13:30
23:47
15:07
31:39
47:19
26:56
07:03
41:39
18:40
17:19
27:40
14:06
17:52
11:36
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
05:09
Teori 2
Frie svingninger - vi setter opp likningen.
(Dette er et tema som er med i noen lærebøker, men som neppe kommer på eksamen etter den nyeste læreplanen)
(Dette er et tema som er med i noen lærebøker, men som neppe kommer på eksamen etter den nyeste læreplanen)
I denne videoen skal vi se på den generelle differensialligningen for frie svingninger. Og noen har kanskje sett en video som ligner litt på dette her, men forrige videoen [..]. Forskjellen nå er at vi drar med friksjon, og det har å gjøre med fjærer. Her er en tom fjær på en måte hengt opp i taket. Så slenger vi på et lodd, og hvis den da henger i ro, blir det et visst strekk i den fjæra. Mens hvis vi drar videre og slipper, kan dette systemet begynne å synge.
Quiz section 0
Hva betyr frie svingninger?
Svingninger uten ekstra påvirkning
Svingninger med konstant skyvekraft
Svingninger uten bevegelse
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og da er det jo sånn at avhengig av hvor i bevegelsen vi er, vil fjærekraften variere. Jo lenger unna likevektsposisjonen fjæra er, desto mer kraft kommer fra fjæra på loddet. Men så tar vi med en ting til, nemlig friksjon. Vi kan kanskje kalle det luftmotstand. På engelsk er det resistance.
Quiz section 1
Hva kalles kraften som virker mot bevegelse i luft?
Friksjon
Tyngdekraft
Ingen kraft
Så det er en slags resistansekraft på en måte, så vi kaller den r. Den er alltid motsatt vei av farten. Hvis vi tenker oss det øyeblikket hvor den tingen er på vei nedover, for den skal enda lenger ned før den snur og går opp igjen.
Quiz section 2
Hvilken vei virker motstandskraften?
Ingen bestemt retning
Motsatt retning av bevegelsen
Samme retning som farten
Så går farten den veien. Da vil kraften (motstandskraft) være motsatt vei av farten. Derfor er det et minus-tegn her. Den l-en er en slags proporsjonalitetskonstant, og det er ikke sikkert at det alltid er proporsjonalt med farten. Det kunne vært farten i annen eller noe annet rart, men vi regner på det nå. Farten er det samme som x-derivert, så da får vi minus én gange x-derivert. Så kan vi da [..].
Quiz section 3
Hva er fart i matematisk form?
Summen av posisjoner
Førstederivert av posisjon
Dobbelderivert av posisjon
Se litt på Newtons lover her. Newtons andre lov som jo er [..].
Quiz section 4
Hvilken av Newtons lover sier at summen av kreftene er masse ganger akselerasjon?
Newtons tredje lov
Newtons første lov
Newtons andre lov
Kjernen i fysikk egentlig. Som jeg har sagt før, synes jeg det er rart at det er i matte, men i hvert fall, hvis vi går til den i ro-situasjonen, har vi summen av kreftene lik masse ganger akselerasjon. Ingen akselerasjon i det hele tatt når ting er i ro, så da blir det null på høyresiden. Summen av de to kreftene må være null. Og g, det er m*g da. Fjærekraften er også en konstant ganger strekke, som i dette tilfellet kalles x null. Da får vi m*g minus to x null. Minustegnet skyldes at fjærekraften alltid [..] motsatt vei av den veien fjæra er strukket eller [..].
Quiz section 5
Hva er akselerasjonen når et objekt er i ro?
Den er uendelig
Den er konstant
Den er null
Jepp. Og så går vi bort på den hovedsituasjonen, den vi virkelig skal sette opp likningen for. Nå må vi ta summen av kreftene der, og da har vi jo g.
Quiz section 6
Hvilken kraft trekker alltid nedover?
Normalkraften
Ingen kraft
Tyngdekraften
Og så har vi fjærkraft, og så har vi motstandskraften. Det blir da [..] ganger x-derivert for dobbelderivert [..], for akselerasjon er det samme som dobbeltderivert av posisjonen.
Quiz section 7
Hvilken størrelse tilsvarer posisjonens dobbelderiverte?
Konstant verdi
Akselerasjon
Fart
Så ja. Og så g, det er jo m*g da. Ja, men jeg tror at [..].
Quiz section 8
Hva representerer uttrykket m*g?
Motstandskraften
Ingen kraft i det hele tatt
Tyngdekraft på massen
Og så var det den F N da, som var minus [..].
Quiz section 9
Hva slags fortegn får en kraft som virker mot bevegelsesretningen?
Positivt
Negativt
Ingen fortegn
k x0
Quiz section 10
Hva symboliserer k i en fjær-ligning?
Tyngdeakselerasjonen
Luftmotstanden
Fjærstivheten
Pluss x i parentes, og da blir det jo minus k x0 minus k x når vi ganger ut parentesen. Og så kommer l-en til slutt, som var minus l. Ja, blir det minus da [..]?
Quiz section 11
Hva står x ofte for i et fjær-lodd-system?
Utslag fra likevekten
Massen til loddet
Tiden systemet bruker
Minus l ganger x-derivert.
Quiz section 12
Hva representerer l i dette systemet?
Massen til loddet
Motstandskoeffisienten
Fjærkonstanten
Så dette blir en herlig differensialligning, hvor vi har både dobbeltderiverte, den deriverte og ingen av delene. Og så var det en ting som faller heldig ut, for dette ser jo fryktelig stygt ut.
Quiz section 13
Hvilke ledd inngår i en dempet svingning?
x'', x' og x
Bare x''
Bare x
De der er lik null, så de kan vi bare stryke.
Quiz section 14
Hva kan vi gjøre med ledd som blir like og trekker hverandre ut?
Dele dem i to
Legge dem sammen
Stryke dem
Og da har vi egentlig kommet i mål på mange måter. Da får vi, hvis vi kaster alt over på høyresiden, at null er lik m x dobbeltderivert pluss l x-derivert pluss k x. Og hvis du velger å dele på m, og så er det litt dumt å ha nullen der, så blir det x dobbeltderivert pluss l over m x-derivert pluss k over [..].
Quiz section 15
Hva får vi om vi deler alle ledd i ligningen på massen?
En normalisert differensialligning
En integrallikning
Ingen gyldig likning
For [..] ganger x er lik null.
Quiz section 16
Hva betyr det når et ledd er lik null i en differensialligning?
Systemet er i likevekt på det punktet
Systemet har ingen løsning
Systemet er ustabilt
Ja, og det er liksom differensialligningen for frie svingninger. Da kommer det litt an på hvor stor motstandskraften er, for det som skjer nå er at hvis vi ikke hadde den i det hele tatt, slik som i den forrige videoen, vil det bli en slik harmonisk svingning.
Quiz section 17
Hva skjer med svingninger uten noen form for demping?
De øker i amplitude for alltid
De stopper umiddelbart
De fortsetter uendelig
Hvis det er friksjon, vil det dempe svingningen. Etter en stund vil den slutte å gynge, og det er jo det som skjer med de fleste ting her i verden. Hvis du har et slikt system med en fjær og et eller annet og drar og slipper, så gynger det. Men det gynger ikke i all evighet. Det vil jo etter hvert dempes.
Quiz section 18
Hva gjør friksjon med en svingning?
Demper bevegelsen
Øker energien i systemet
Ingen effekt på svingningen
Og ja.
Quiz section 19
Hva skjer med de fleste svingende systemer over tid i virkeligheten?
De fortsetter evig
De går over i fritt fall
De dempes etter hvert
Quiz section 20
Quiz section 21
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.