R2_eksm_1

R2_eksm_2

R2_eksm_3

Oppgåve 1 (4 poeng)

 

Deriver funksjonane

 

a) \(f(x) = 3cosx\)

 

b) \( g(x) = 6sin(\pi*x) + 7 \)

 

c) \( h(x) = 3e^{(2x)}*sin(3x)\)

Oppgåve 2 (4 poeng)

 

Bestem integralet \(\int \frac{2x}{x^2 – 4} dx\) ved å bruke

 

a) variabelskifte

 

b) delbrøkoppspalting

Oppgåve 3 (4 poeng)

 

Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt.

 

a) Bestem \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\). Bruk resultatet til å bestemme arealet av \(\Delta ABC\)  

b) Bestem \(\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}\). Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet av \(\Delta ABC\)

 

Oppgåve 4 (3 poeng)

 

Løys differensiallikninga
y’ = 6xy når y(0) = 2
 

Oppgåve 5 (5 poeng)

 

Ei rekkje er gitt ved

\(S_n = 1 + 3 + 5 + 7 +…+ a_n\)  

 

a) Bestem \(a_{16}\) og \(S_{16}\)

 

b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for \(a_n\) og \(S_n\).

 

c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for at \( {S_{n}} > {400}\)

Oppgåve 6 (2 poeng)

 

Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f :
• \(f(x) > 0 \) for alle \( x \in \mathbb{R} \) • \(f(x) > 0 \) for alle \( x \in <\leftarrow , -2>\cup <2, \rightarrow > \) • \(f'(x) = 0 \) for x = -2 og for x = 2
• \(f'(x) = 0 \) for x = 1 og for x = 3

 

Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.

Oppgåve 7 (2 poeng)

 

 

Bruk induksjon til å bevise påstanden

\(P(n): a + ak + ak^2 + ak^3 +…+ak^{n-1} = a*{{k^n-1}\over{k-1}} , n\in \mathbb{N}\)

R2_eksm_4

Oppgåve 1 (4 poeng)

 

Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda.

 

a) Forklar at

\(y’ = 8 – 0,05*y\)

 

b) Vis at \(y(t) = 160 – 160e^{-0,05t}\) når y (0) = 0

 

c) Bestem \(\lim_{t\rightarrow \infty} y(t)\). Kommenter svaret.

Oppgåve 2 (6 poeng)

 

Funksjonen f er gitt ved

\(f(x) = 12e^{-0,5x}*sin(0,5x) , x \in[0, 4\pi]\)

 

a) Teikn grafen til f .

b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f.

c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.

 

Oppgåve 3 (8 poeng)

 

Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem.
Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)

R2_eksm_5

 

a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.

 

b) Sideflata ABD ligg i eit plan α.

Vis ved rekning at planet α har likninga

4x + 3z – 12 = 0

 

c) Bestem avstanden frå punktet O til planet α.

 

d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.

 

Oppgåve 4 (6 poeng)

 

Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning \(x^2 + y^2 = 9\). Punktet A har koordinatane (2,0) og \(\angle OAC = 90^{\circ}\)

R2_eksm_6

 

a) Vis at koordinatane til C er \(2,\sqrt{5} \).
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.

 

b) Når flatestykket \(F_1\) blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.

 

c) Når flatestykket \(F_1\) blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.

 

Oppgåve 5 (6 poeng)

 

På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ∠v er vinkelen mellom x og D.

R2_eksm_7

 

a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som

O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv

Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.

 

b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

 

c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Oppgåve 6 (6 poeng)

 

Sierpiński-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), lagar vi slik:

 

1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1.

2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2.

3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpiński-trekanten.

Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
\(A*({1\over4}+{3\over16}+{9\over64}+{27\over256}+…)\)

 

a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekanten?

 

b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25− ovanfor er høvesvis

\(3*{3\over2}*a, 3*{9\over4}*a, 3*{27\over8}*a \)og \(3*{81\over16}*a \)

 

c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik \(3*(3\over2)^n*a\)

Forklar at \(3*(3\over2)^n*a \rightarrow \infty \) når \( n \rightarrow \infty \)

Kva fortel det om omkretsen til Sierpiński-trekanten?