Oppgåve 1 (2 poeng)

Løys likningane

a) \( 2 lgx + 3 = 5 \)

b) \( 2x^2 + 2x = 12 \)

Oppgåve 2 (2 poeng)

Løys likningssystemet ved rekning

\( \begin{bmatrix}y=6-x^2\\ y+4=-3x\end{bmatrix}\)

Oppgåve 3 (4 poeng)

Skriv så enkelt som mogleg

a) \( {2^{-3} \cdot a^0 \cdot (a \cdot b)^2}\over{2^{-4}\cdot a^{-1}\cdot b^{2}}\)

b) \( lg(a \cdot b)^2 – lg(\frac{a^{3}}{b^{2}}) + lg(a \cdot b^2)\)

---

 

Oppgåve 4 (3 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

\( f(x) = \frac{3x – 1}{x-3}\)

a) Lag ei skisse av grafen til

b) Bestem gjennomsnittleg veksthastigheit for funksjonen frå x = 4 til x = 7

Oppgåve 5 (8 poeng)

a) Skriv opp dei ni første radene av Pascals taltrekant.

b) Bruk Pascals taltrekant til å bestemme binomialkoeffisientane \( \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5 \\ 2 \end{pmatrix} og \begin{pmatrix}8 \\ 3 \end{pmatrix}\)

I oppgåvene nedanfor kan du få bruk for denne formelen:

Frå ei gruppe med 3 gutar og 5 jenter skal det veljast ein komité på 3 elevar ved loddtrekning.

c) Bestem sannsynet for at det blir 1 gut og 2 jenter i komiteen.

Frå ei gruppe med 8 elevar skal det veljast ein komité. Du får vite at komiteen kan setjast saman på 28 ulike måtar.

d) Kor mange elevar kan det vere i komiteen?

---

 

Oppgåve 6 (3 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

\(f(x)= \frac{2}{3}x^3 + x^2 – 12x + 1\)

a) Bestem f'(x)

b) Teikn forteiknslinja til f'(x). Bruk denne til å avgjere kvar grafen til f stig, og kvar han søkk.

Oppgåve 7 (2 poeng)

Tog A og tog B startar samtidig frå stasjon 1. Dei køyrer på kvart sitt spor til stasjon 2. Køyrelengda er 120 km for begge toga.

Gjennomsnittsfarten til tog A er v km/h, og dette toget bruker t timar på strekninga mellom stasjonane.

Gjennomsnittsfarten til tog B er 20 km/h større enn til tog A, og tog B bruker ein time kortare tid enn tog A.

Forklar at vi kan sette opp likningssystemet

\(\begin{bmatrix}v \cdot t = 120 \\ (v+20)\cdot(t-1)=120 \end{bmatrix}\)

Bestem gjennomsnittsfarten til kvart av toga.

---

Oppgåve 1 (6 poeng)

Ein epledyrkar har funne ut at 80 % av epla han plukkar, har god nok kvalitet til at dei kan seljast til vanleg forbruk. Resten går til produksjon av eplesaft, syltetøy og liknande.

a) Ein dag plukkar han 70 eple. Bestem sannsynet for at akkurat 60 av dei kan seljast til vanleg forbruk.

b) Bestem sannsynet for at minst 60 av desse epla kan seljast til vanleg forbruk.

Epledyrkaren sel eple frå ei kasse som inneheld 80 eple av sort A og 100 eple av sort B. Epla er lagde tilfeldig ned i kassa.

c) Ein kunde kjøper 20 eple. Bestem sannsynet for at kunden får akkurat 10 av kvar sort når epla blir trekte ut tilfeldig.

Oppgåve 2 (5 poeng)

Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom høgda over havet målt i kilometer og lufttrykket målt i hektopascal (hPa), under visse vilkår.

a) Bruk eksponentiell regresjon til å bestemme ein modell p(x) som viser lufttrykket som funksjon av høgda x over havet.

b) Titicacasjøen ligg 3,8 km over havet på grensa mellom Peru og Bolivia. Bruk modellen p(x) og bestem lufttrykket i denne høgda.

c) Bestem ved rekning kor høgt vi er over havet når vi måler lufttrykket til 700 hPa.

---

 

Oppgåve 3 (10 poeng)

Funksjonen f er gitt ved

\(f(x)= x^4 – 4x^2\)

a) Teikn grafen til f når \( x\in \: \: <-2,5 \: , \: 2,5>\)

b) Bestem ved rekning skjeringspunkta grafen har med koordinataksane.

c) Bruk f(x) til å avgjere kvar grafen til f stig, og kvar han søkk. Bestem koordinatane til topp- og botnpunkt på grafen til f.

Ein annan funksjon g er gitt ved

g(x) = ax^2, der a er ein konstant.

Grafen til g skal gå gjennom dei to botnpunkta på grafen til f.

d) Bestem a.

e) Teikn grafen til g i same koordinatsystem som grafen til f.

---

 

Oppgåve 4 (6 poeng)

Ei bedrift produserer to typar laksefôr, Godlaks og Gladlaks. Begge fôrtypane inneheld stoffa A og B.

– For å lage 1 tonn av fôret Godlaks blandar ein 300 kg av stoffet A og 700 kg av stoffet B.

– For å lage 1 tonn av fôret Gladlaks blandar ein 600 kg av stoffet A og 400 kg av stoffet B.

– Bedrifta kan kvar veke få kjøpt inntil 20 tonn av stoffet A og inntil 18 tonn av stoffet B.

– Den maksimale produksjonsmengda er inntil 35 tonn laksefôr per veke.

Bedrifta produserer x tonn av fôret Godlaks og y tonn av fôret Gladlaks kvar veke.

a) Forklar at x og y må oppfylle ulikskapane

\(\begin{matrix}x\geq 0, y\geq 0 \\ 0,3x + 0,6y\leq 20\\ 0,7x + 0,4y\leq 18\\ x+y\leq 35\end{matrix}\)

Marker det området som x og y må høyre til i eit koordinatsystem.

Bedrifta sel heile produksjonen. Salsprisen for fôret Godlaks er 5 000 kroner per tonn, mens fôret Gladlaks blir selt for 8 500 kroner per tonn.

b) Kor mykje må bedrifta produsere av kvar fôrtype for at salsinntekta per veke skal bli størst mogleg? Bestem denne salsinntekta.

---

Oppgåve 5 (9 poeng)

Ei bedrift har funne ut at dei samla kostnadene f ved å produsere x einingar av ei vare er gitt ved

\(f(x)= 55 + 0.01x^2\)

a) Dei samla kostnadene må ikkje overstige 200. Kor mange einingar kan bedrifta da høgst produsere?

b) Heile produksjonen blir seld. Salsinntekta g er gitt ved

\(g(x) = 1,6x\)
Kva for produksjonsmengder gir overskot for bedrifta? Kva for produksjonsmengd gir størst overskot? Kor stort er dette overskotet?

Dersom prisen per eining er p , kan salsinntekta skrivast som

\(h(x) = p\cdot x\)
Bedrifta vil undersøkje kor lågt prisen kan setjast dersom det skal vere mogleg å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter.

c) Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til h tangerer grafen til f. Sjå figuren.

Det kan visast at den minste prisen som vil gi balanse, er

d) Forklar at prisen er minst når p = f'(a) , der a er førstekoordinaten til tangeringspunktet T på figuren. Bruk dette til å bestemme kor mange einingar det blir produsert og selt når prisen er minst.

e) Likninga f(x) = h(x) kan omformast til \(0,01x^2 – px + 55 = 0\)

Bestem ein verdi for p som gjer at denne likninga har berre éi løysing. Forklar kvifor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse.