Tid: 3 timer
Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.

 

Oppgave 1 (5 poeng)

 

Deriver funksjonene

a) \(f(x)=2x^3-5x+4\)

b) \(g(x)=x^2e^x\)

c) \(h(x)=\sqrt{x^2-3}\)

 

 

Oppgave 2 (4 poeng)

 

Skriv så enkelt som mulig

a) \(\large{\frac{x^2-3}{x^2-9} + \frac{1}{x+3} + \frac{5}{x-3}}\)

b) \(2 \cdot ln(a^{-3} \cdot b^{2}) \space\ – \space\ 3 \cdot ln(\frac{b}{a^2}) \)

 

Oppgave 3 (4 poeng)

 

Tre punkt \(A(-1,6)\), \(B(2,1)\) og \(C(4,4)\) er gitt.

 

a) Bestem \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\)

 

Et punkt \(D\) er gitt slik at

 

b) Bestem koordinatene til \(D\)

---

 

 

Oppgave 4 (6 poeng)

 

Funksjonen P er gitt ved

 

\(\large{P(x)=2x^3-6x^2-2x+6}\)

 

a) Begrunn at \(\small{(1,0)}\) er et vendepunkt på grafen til \(\small{P}\).

b) Faktoriser \(\small{P(x)}\) i lineære faktorer.

c) Løs likningen

 

\(\Large{2e^{3x}-6e^{2x}-2e^x+6=0}\)

 

Oppgave 5 (6 poeng)

 

Hjørnene i en trekant er \(\small{A(1,0)}\) , \(\small{B(6,2)}\) og \(\small{C(3,5)}\) .

Midtpunktene på sidene i trekanten er \(\small{D}\), \(\small{E}\) og \(\small{F}\). Se figuren.

a) Forklar at koordinatene til punktene \(\small{D}\), \(\small{E}\) og \(\small{F}\) er

\(\Large{D \big(\frac{9}{2},\frac{7}{2} \big)}\), \(\Large{E \big(2, \frac{5}{2} \big)}\) og \(\Large{F \big(\frac{7}{2}, 1 \big)}\)

Skjæringspunktet mellom medianene i trekanten er T.

b) Forklar at vi kan skrive \(\large{\overrightarrow{AT}}\) på to måter:

\(\large{\overrightarrow{AT} = s \cdot \overrightarrow{AD}} \space\ \space\ , \space\ \space\ s = \mathbb{R}\)

\(\large{\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{BE}} \space\ \space\ , \space\ \space\ t = \mathbb{R}\)

der s og t er reelle tall.

c) Bruk vektorlikningene i oppgave b) til å bestemme s og t. Bestem koordinatene til T.

---

 

 

Oppgave 6 (4 poeng)

 

En fabrikk produserer lyspærer. Alle lyspærene blir kontrollert. I kontrollen blir 8,0 % av
lyspærene forkastet. Nærmere undersøkelser viser at

• 92,0 % av de forkastede lyspærene er defekte
• 2,0 % av de godkjente lyspærene er defekte

a) Vis at sannsynligheten er 9,2 % for at en tilfeldig produsert lyspære er defekt.

b) Bruk Bayes’ setning til å bestemme sannsynligheten for at en defekt lyspære blir
forkastet i kontrollen.

 

 

Oppgave 7 (7 poeng)

En rettvinklet \(\Delta{ABC}\) der \(\angle{C} = 90^{o}\) er gitt. Den innskrevne sirkelen har sentrum i \(\small{S}\) og radius \(\small{r}\). Sirkelen tangerer trekanten i punktene \(\small{D}\), \(\small{E}\) og \(\small{F}\). Vi setter \(\small{AC = b}\), \(\small{BC = a}\) og \(\small{ AB = c}\). Du får oppgitt at \( \small{BF = BE}\) og \( \small{AD = AE}\)

a) Bruk figuren til å forklare at \(\small{a = BF +r}\) og \(\small{b = AD +r}\)

Av figuren ser vi dessuten at \(\small{c = AE + BE}\)

b) Vis at \(\small{a + b – c = 2r}\)

c) Forklare at vi kan skrive arealet T av trekanten på to måter:

\(\large{T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b}\) og \(\large{T = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a+b+c)}\)

d) Bruk resultatene du fant i oppgavene b) og c) til å utlede Pytagoras’ setning.

---

 

 

 

Oppgave 1 (6 poeng)

 

I en kortstokk er det 52 kort. Kortene er fordelt på de fire fargene hjerter, ruter, spar og
kløver. Hver farge har 13 kort fordelt på verdiene 2 til 10, knekt, dame, konge og ess.
Tenk deg at du skal trekke tilfeldig fem kort fra kortstokken.

a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med verdi 10.

b) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med samme verdi.

c) Bestem sannsynligheten for at alle kortene du kommer til å trekke, har samme farge.

Figur 1:
Ett mulig utfall i oppgave a)

Figur 2:
Ett mulig utfall i oppgave b)

Figur 3:
Ett mulig utfall i oppgave c)

 

Oppgave 2 (6 poeng)

 

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved

\(\large {\overrightarrow{r}(t)= \left [ t^2-1,t^3-t \right ] }\)

a) Tegn grafen til \(\small{\overrightarrow{r}}\) når \( t \in \left [ -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] \).

b) Bestem fertsvektoren \(\small{\overrightarrow{v}}(t)\) og akselerasjonsvektoren \(\small{\overrightarrow{a}(t)}\).

c) Bruk CAS til å bestemme den minste banefarten til partikkelen.

---

 

Oppgave 3 (4 poeng)

En stige på 7,0 m er stilt opp langs en vegg. Stigen danner sammen med veggen og bakken en rettvinkler \(\small{\Delta{ABC}}\). Se figuren.

Vi setter\(\small{ AC = x}\). Den korteste avstanden fra \(\small{C }\) til stigen er \( \small{d}\) meter.

a) Vis at \( d = \large{\frac{x \sqrt{49-x^2}}{7} }\)

b) Bestem \(\small{x}\) slik at \( \small{d}\) blir lengst mulig.

Hvor lang er d for denne verdien av x ?

 

 

Oppgave 4 (8 poeng)

 

Funksjonen \(\small{f }\) er gitt ved

\(\large{f(x)=2x^3 – 6x^2 + 5x}\)

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til \(\small{f}\).

Grafen til\(\small{ f}\) har tre tangenter som går gjennom punktet\(\small{ A(4, 3)}\) .

b) Forklar at x-koordinaten til tangeringspunktene må være løsning av likningen

\(\large{\Large{\frac{f(x)-3}{x-4}} = f'(x)}\)

c) Bruk CAS til å løse denne likningen. Bestem likningen til hver av tangentene.

La \(\small{P(a, b)}\) være et punkt i planet.

d) Hva er det maksimale antallet tangenter grafen til \(\small{f }\)kan ha som går gjennom \(\small{P }\)?